2026年（北师大版）高中数学选修2-2第8讲-数学归纳法 含解析

/数学归纳法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明…＞（n＞1，且）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、用数学归纳法证明32n＋2－8n－9能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。 一、选择题1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜32．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a33．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,2n＋1) B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－27．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证()A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30B．26C．36D．69．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝()A.eq\f(2,(n＋1)2)B.eq\f(2,n(n＋1))C.eq\f(2,2n－1)D.eq\f(2,2n－1)10．对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则n＝k＋1时，eq\r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．12．已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n(n＋1))，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．16．求证：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n－2,2)(n≥2)．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜32．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a33．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．eq\f(1,2n＋1) B．eq\f(1,2n＋2)C．eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)8．已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,nn＋1)，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________.9．用数学归纳法证明：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，第一步应验证的等式是________．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．能力提升一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1 B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2) D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)212．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,3)13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)314．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．数学归纳法____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=n2（n＋1）2证明：①当n=1时，左边=13=1，右边=，故等式成立． ②假设n=k（，且k≥1）时等式成立。即13＋23＋33＋…＋k3＋=k2(k+1)2成立． 则当n=k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k+1)3==．即当n=k＋1时等式也成立． 综合①，②，对一切，等式都成立．题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明…＞（n＞1，且）．证明：①n=2时，左边=＞=右边，不等式成立.②假设n=k（，k≥2）时不等式成立，即…＞成立．则当n=k＋1时，…=（…）＋（－）＞＋（－）＞＋（－）=即当n=k＋1时不等式也成立．综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．题型三、用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、用数学归纳法证明32n＋2－8n－9能被64整除．证明：①当n=1时，32＋2－8×1－9=64显然能被64整除，命题成立．②假设n=k（k≥1，）时命题成立．即32k＋2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时，32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9=9·32k＋2－8k－8－9=9（32k＋2－8k－9）＋64k＋64．∵32k＋2－8k－9与64均能被64整除，∴32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9能被64整除．即当n=k＋1时命题也成立．综合①，②，对一切，32n＋2－8n－9能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。 分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。 解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组： 解得 下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有： ① （1）当时，①式成立 （2）假设成立，即： 那么当时 故当时①式成立。 综上，可知当时，等式成立。一、选择题1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3[答案]B[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,2n＋1) B.eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D.eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)[答案]D[解析]f(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,(n＋1)＋1)＋\f(1,(n＋1)＋2)＋…＋\f(1,2n)＋\f(1,2n＋1)＋\f(1,2(n＋1))))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2(n＋1))－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案]C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证()A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案]D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30B．26C．36D．6[答案]C[解析]因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝()A.eq\f(2,(n＋1)2)B.eq\f(2,n(n＋1))C.eq\f(2,2n－1)D.eq\f(2,2n－1)[答案]B[解析]由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝eq\f(a1,3)＝eq\f(1,3)a3＝eq\f(2,4)a2＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(3,5)a3＝eq\f(1,10).由a1＝1，a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)猜想an＝eq\f(2,n(n＋1))，故选B.10．对于不等式eq\r(n2＋n)≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)<k＋1，则n＝k＋1时，eq\r((k＋1)2＋(k＋1))＝eq\r(k2＋3k＋2)<eq\r((k2＋3k＋2)＋(k＋2))＝eq\r((k＋2)2)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n(n＋1))，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________.[答案]eq\f(n,n＋1)[解析]解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案]5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案](1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；(k－1)[3(k－1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1][解析]由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[证明]①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．16．求证：eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n－2,2)(n≥2)．[证明]①当n＝2时，左＝eq\f(1,2)>0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)>eq\f(k－2,2)成立．那么n＝k＋1时，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k－1＋1)＋…＋eq\f(1,2k－1＋2k－1)>eq\f(k－2,2)＋eq\f(1,2k－1＋1)＋…＋eq\f(1,2k)>eq\f(k－2,2)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k)＋…＋eq\f(1,2k)＝eq\f(k－2,2)＋eq\f(2k－1,2k)＝eq\f((k＋1)－2,2)，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成eq\f(k2＋k＋2,2)＋k＋1＝eq\f((k＋1)2＋(k＋1)＋2,2)块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＜3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＜3[答案]B[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3)，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案]B[解析]因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．eq\f(1,2n＋1) B．eq\f(1,2n＋2)C．eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)[答案]D[解析]f(n＋1)－f(n)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1＋1)＋\f(1,n＋1＋2)＋…＋\f(1,2n)＋\f(1,2n＋1)＋\f(1,2n＋1)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋…＋\f(1,2n)))＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立[答案]C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案]C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．eq\f(2k＋1,k＋1) D．eq\f(2k＋3,k＋1)[答案]B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.8．已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,nn＋1)，通过计算得S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)，由此可猜测Sn＝________.[答案]eq\f(n,n＋1)[解析]解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).9．用数学归纳法证明：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，第一步应验证的等式是________．[答案]1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)[解析]当n＝1时，等式的左边为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，右边＝eq\f(1,2)，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝eq\f(3,2)；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝eq\f(7,4).由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝eq\f(2n－1,2n－1)成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1 B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2) D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[答案]D[解析]n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1