2026年（北师大版）高中数学选修2第3讲-椭圆的标准方程与性质 含解析

/椭圆的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为；(2)若a＝c，则集合P为；(3)若a＜c，则集合P为．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围对称性顶点轴焦距离心率a，b，c的关系类型一椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆练习１：已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF,\s\up8(→))1⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．练习2：已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6 B．5 C．4 D．3类型二求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．类型三椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．练习1：已知A、B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)和双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．类型四直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为eq\f(\r(6),3).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．练习1：(2014·陕西卷)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点(0，eq\r(3))，离心率为eq\f(1,2)，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，求直线l的方程．类型五圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝eq\f(1,2)，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由练习1：(2014·湖南)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.1.（2015年高考福建卷）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．3.椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．4．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))的最小值为__________5.(2014·包头测试与评估)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝eq\f(1,2)，则eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(FP,\s\up8(→))的取值范围是________．6.已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－eq\r(2)的直线l恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(PN,\s\up8(→))的最大值为49，求椭圆C1的方程．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于()A. B. C.－ D.－12.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若椭圆离心率为，则∠PF1F2：∠PF2F1为()A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l3.设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4 B．3 C．2 D．54.已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距为4，则m等于()A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对5.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．6．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________。7.已知双曲线C与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．8.已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．能力提升9.（2014·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq\f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5eq\r(2) B.eq\r(46)＋eq\r(2) C．7＋eq\r(2) D．6eq\r(2)10.（2015年高考湖南卷）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.求的方程；椭圆的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2类型一椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线.,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习１：已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且eq\o(PF,\s\up8(→))1⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6 B．5 C．4 D．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．【解析】设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a >b>0)，由e＝eq\f(\r(2),2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.【答案】eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．【解析】x2+3y2/2=1【答案】x2+3y2/2=1类型三椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A1B2的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,b)＝1，直线B1F的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,－b)＝1，二者联立，得T(eq\f(2ac,a－c)，eq\f(b（a＋c）,a－c))，则M(eq\f(ac,a－c)，eq\f(b（a＋c）,2（a－c）))在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，∴，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2eq\r(7)－5.【答案】2eq\r(7)－5练习1：已知A、B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)和双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===-5．故答案为-5．类型四直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为eq\f(\r(6),3).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。【答案】（1）由已知可得，，，所以。又由，解得，所以椭圆的标准方程是。（2）设点的坐标为，则直线的斜率。当时，直线的斜率，直线的方程是。当时，直线的方程是，也符合的形式。设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。消去，得。其判别式，所以，，。因为四边形是平行四边形，所以，即。所以，解得。此时，四边形的面积。练习1：(2014·陕西卷)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点(0，eq\r(3))，离心率为eq\f(1,2)，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－eq\f(1,2)x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，求直线l的方程．【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。（2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。所以。设，，由得。由求根公式可得，。所以，由得，解得，满足。所以直线的方程为或。类型五圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝eq\f(1,2)，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【解析】（1）由定义法代入即可得答案。（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。【答案】（1）设椭圆E的方程为+=1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.∴椭圆方程具有形式+=1.将A(2,3)代入上式,得+=1,解得c=2,∴椭圆E的方程为+=1.（2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),∵BC⊥l,∴kBC==-.设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=,由于M在l上,故2x0-y0-1=0.①又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式写为·+··=0,并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.②①×2-②得x0=2,y0=3,即BC的中点为点A,而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B和C.解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴kBC=-.设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1,得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.则x1与x2是该方程的两个根.由韦达定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,∴B,C的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y=2x-1上,∴=m-1,得m=4.即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.练习1：(2014·湖南)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.【解析】由题可得C(),F(),因为C,F在抛物线上,代入抛物线可得,故填。【答案】1.（2015年高考福建卷）已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A2.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．【答案】eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝13.椭圆T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．【答案】eq\r(3)－14．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))的最小值为__________【答案】-25.(2014·包头测试与评估)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝eq\f(1,2)，则eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(FP,\s\up8(→))的取值范围是________．【答案】[0,12]6.已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－eq\r(2)的直线l恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(PN,\s\up8(→))的最大值为49，求椭圆C1的方程．【答案】（1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－)c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝.(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则＋＝1(c>0)，又·＝(＋)·(＋)＝－＝x2＋(y－3)2－1＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)．①当c≥3时，(·)max＝17＋2c2＝49，解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1；②当0<c<3<时，(·)max＝－(－c