等边三角形的性质和判定练习题

等边三角形的性质和判定练习题在平面几何的丰富世界里，三角形作为最基本的多边形之一，其家族中不乏特性鲜明的成员，等边三角形便是其中的佼佼者。它以三条边均等、三个角齐同的完美对称性，在数学问题的解决与实际生活的应用中都占据着举足轻重的地位。深入理解并熟练掌握等边三角形的性质与判定方法，不仅是学好平面几何的基础，更是培养逻辑推理能力和空间想象能力的有效途径。那么，如何检验我们对这些知识的掌握程度呢？下面的练习题将帮助你巩固和深化理解。一、知识梳理：性质与判定回顾在着手练习之前，让我们简要回顾一下等边三角形的核心知识，这将是我们解题的基石。等边三角形的性质：1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等。这是它最基本的特征，也是定义的核心。2.三角相等：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60度。这是由三边相等推导而来的重要性质。3.三线合一：等边三角形底边上的高、底边上的中线以及顶角的角平分线互相重合，简称为“三线合一”。实际上，由于等边三角形的任意一边都可以看作“底边”，任意一个角都可以看作“顶角”，因此这个性质对于等边三角形的任意一边和其对角均成立。4.轴对称性：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，每条对称轴都经过一个顶点和其对边的中点（或说垂直平分线）。等边三角形的判定方法：1.定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。这是最直接的判定方法。2.三角相等法：三个内角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和为180度，若三角相等，则每个角必为60度。3.含60度角的等腰三角形法：有一个内角等于60度的等腰三角形是等边三角形。这里需要注意，这个60度角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角。二、练习题（一）基础巩固1.判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)等边三角形一定是等腰三角形。(2)等腰三角形一定是等边三角形。(3)有两个角是60度的三角形是等边三角形。(4)等边三角形的高、中线、角平分线共有三条。2.已知一个等边三角形的边长为a，求它的周长和每个内角的度数。3.在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，若AB=6，求BD的长度和∠BAD的度数。4.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。（二）能力提升5.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到点E，使CE=CD。求证：DB=DE。6.已知：如图，在△ABC中，∠A=60度，AB=AC。点D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。7.如图，△ABC为等边三角形，P为BC边上一点（不与B、C重合），过点P分别作AB、AC的垂线，垂足分别为M、N。求证：PM+PN为定值。（提示：定值即与点P在BC上的位置无关）（三）综合应用8.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE。求证：AD=BE。9.在等边三角形ABC所在的平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都为等腰三角形。这样的点P共有多少个？请简要说明你的思路或画出示意图。三、答案与解析（一）基础巩固1.判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)正确。因为等边三角形满足等腰三角形“至少两边相等”的定义，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。(2)错误。等腰三角形只需两边相等，其顶角不一定是60度，因此不一定是等边三角形。(3)正确。三角形内角和为180度，若两个角是60度，则第三个角也是60度，三个角都相等，因此是等边三角形。(4)正确。等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别重合，因此总共只有三条线段。2.已知一个等边三角形的边长为a，求它的周长和每个内角的度数。*周长：3a（因为三边相等，周长为边长之和）。*每个内角的度数：60度（等边三角形的性质）。3.在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，若AB=6，求BD的长度和∠BAD的度数。*解析：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6。AD是BC边上的高，根据“三线合一”性质，AD也是BC边上的中线和∠BAC的角平分线。*因此，BD=DC=BC/2=6/2=3。*∠BAC=60度，所以∠BAD=∠BAC/2=60度/2=30度。*答案：BD=3，∠BAD=30度。4.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。*证明：*∵△ABC是等边三角形，*∴∠A=60度。*又∵AD=AE，*∴△ADE是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。*∵等腰三角形ADE的顶角∠A=60度，*∴△ADE是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）。（二）能力提升5.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到点E，使CE=CD。求证：DB=DE。*证明：*∵△ABC是等边三角形，*∴∠ABC=∠ACB=60度，AB=BC=AC。*∵BD是AC边上的中线，*∴BD平分∠ABC（等边三角形三线合一）。*∴∠DBC=∠ABC/2=60度/2=30度。*∵CE=CD，*∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠E。*又∵∠ACB是△CDE的一个外角，*∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。*∴60度=2∠E，即∠E=30度。*∴∠DBC=∠E=30度。*∴DB=DE（等角对等边）。6.已知：如图，在△ABC中，∠A=60度，AB=AC。点D是BC边的中点，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。*证明：*∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60度，*∴△ABC是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形）。*∴∠B=∠C=60度，AB=BC=AC。*∵点D是BC边的中点，*∴AD平分∠BAC（等边三角形三线合一），即∠BAD=∠CAD=30度。*∵DE⊥AB，DF⊥AC，*∴∠AED=∠AFD=90度。*在△AED和△AFD中：*∠EAD=∠FAD（已证），*∠AED=∠AFD（已证），*AD=AD（公共边），*∴△AED≌△AFD（AAS）。*∴DE=DF（全等三角形对应边相等）。*（另证思路：可证△BDE≌△CDF，或利用角平分线的性质定理直接得出DE=DF。）7.如图，△ABC为等边三角形，P为BC边上一点（不与B、C重合），过点P分别作AB、AC的垂线，垂足分别为M、N。求证：PM+PN为定值。*证明：设等边三角形ABC的边长为a，高为h（h为定值，可由边长a求出，如h=(√3/2)a）。连接AP。*∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，*即(1/2)*BC*h=(1/2)*AB*PM+(1/2)*AC*PN。*∵AB=AC=BC=a，*∴(1/2)*a*h=(1/2)*a*PM+(1/2)*a*PN。*两边同时除以(1/2)*a，得：h=PM+PN。*∵h是等边三角形ABC的高，为定值，*∴PM+PN为定值（等于等边三角形的高）。（三）综合应用8.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE。求证：AD=BE。*证明：*∵△ABC和△CDE都是等边三角形，*∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60度。*∵点B、C、D在同一条直线上，*∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE（即∠BCE=∠ACD）。*在△ACD和△BCE中：*AC=BC（已证），*∠ACD=∠BCE（已证），*CD=CE（已证），*∴△ACD≌△BCE（SAS）。*∴AD=BE（全等三角形对应边相等）。9.在等边三角形ABC所在的平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都为等腰三角形。这样的点P共有多少个？*答案：10个。*简要思路：1.等边三角形的中心（重心、垂心、外心、内心合一）：1个点。这个点到三个顶点的距离相等，到三条边的距离也相等。2.在每条边的垂直平分线上：*以三角形的每个顶点为圆心，边长为半径画弧，与对边的垂直平分线交于两点（除顶点本身外）。每个顶点对应2个，共3个顶点×2=6个点。但要注意，其中有3个点是三角形外部的，另外3个点是三角形内部的吗？不，实际上，以A为圆心，AB为半径画弧，与BC的垂直平分线交于两点，一点在△ABC内部（即中心），另一点在外部。但中心已经单独计数，所以这里每个顶点对应的外部点是1个，共3个。*以每条边为底边，作等边三角形（在这条边的两侧各一个）。除了原三角形本身，每条边可以在外侧得到一个新的顶点，这个顶点到这条边的两个端点距离相等（等于边长），到第三个顶点的距离也可能满足等腰条件。这样每条边对应1个外部点，共3个点。3.综上，1（中心）+3（顶点为圆心的弧与对边中垂线的外侧交点）+3（每条边外侧的等边三角形顶点）+3（顶点为圆心的弧与对边中垂线的内侧交点，但内侧交点只有中心一个是重复的，所以这里可能之前的分类有误）。*更清晰的分类方法：*内部：1个（中心）。*边上：每条边的中点，共3个。但这些中点是否满足？以BC边中点D为例，△DAB中，DA=DB（等边三角形三线合一），△DAC中，DA=DC，△DBC中，DB=DC。所以是的，每条边的中点也是符合条件的点。哦，之前漏掉了这个！*外部：对于每个内角，在其外角的平分线上可以找到两个点（关于边对称），但综合考虑三个顶点，共有6个外部点。*因此，1（中心）+3（边中点）+6（外部）=10个点。*（注：关于边中点是否算，需要仔细斟酌。若P与顶点或边中点重合，是否算？题目说“点P”，一般不排除边中点。例如，BC边中点P，△PAB中PA=PB（因为P是中点，等边三角形AP也是高，AP=BP吗？不，AP是高，BP是半边长，AP=(√3/2)a，BP=a/2，所以PA≠PB。哦！这里犯了错误！边中点P，PA是中线（高），长度为(√3/2)a，PB=PC=a/2。所以△PAB中，PA≠PB，AB=a，所以只有当PA=AB或PB=AB时才是等腰三角形。因此，边中点本身并不满足条件！之前的思路有误。）*正确的外部点寻找：以A为顶点，AB、AC为腰，在△ABC外部可以找到两个点P，使得P