初中数学自主招生难度讲义-8年级 专题21 梯形-答案

专题21梯形例1a＋b例2⑴上底角为120°，下底角为60°；⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；⑶能拼出菱形，以下图形供参考：例37cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.图a图b图c∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条件∠BPC＝90°的点P有2个.例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，∴SQ＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.⑵∵SB＝EQ\F(1,2)DO＋OB＝EQ\F(13,2),CS＝EQ\F(3,2)EQ\r(,3),BC＝7.∴△SPQ的边长SQ＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(7,2).∴S△SPQ＝EQ\F(EQ\r(,3),4)×(EQ\F(7,2))2＝EQ\F(49EQ\r(,3),16).(3）设CD＝a，AB＝b(a<b),BC2＝SC2＋BS2＝(EQ\F(EQ\r(,3),2)a)2＋(b＋EQ\F(a,2))2＝a2＋b2＋ab.∴S△SPQ＝EQ\F(EQ\r(,3),16)(a2＋ab＋b2).又EQ\F(S△AOD,S△COD)＝EQ\F(b,a)，则S△AOD＝EQ\F(EQ\r(,3),4)ab.又EQ\F(S△AOD,S△COD)＝EQ\F(b,a),则S△AOD＝EQ\F(3,4)ab.∵EQ\F(S△PQS,S△AOD)＝EQ\F(7,8),∴8×EQ\F(EQ\r(,3),16)(a2＋ab＋b2)＝7×EQ\F(EQ\r(,3),4)ab.即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得EQ\F(a,b)＝EQ\F(1,2).故CD：AB＝1:2.例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝EQ\F(1,2)(ER＋FS).易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，故PQ＝EQ\F(1,2)AB.A级1.60°2.33.6cm4.8EQ\r(,2)cm25.B6.D7.C8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝2EQ\r(,17).又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝EQ\F(8,17)EQ\r(,17).9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝EQ\F(1,2)BH，AD＝CH.11.略12.⑴EQ\r(,3)⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为EQ\r(,3)＋EQ\r(,7)＋4.②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但恒为等边三角形，过E作^于。当时，；当时，；当时，B级1.42.5cm3.10.5提示：以7，14作两底的梯形中位线最长4.6：4：6：95.B6.A7.DC提示：连结，，则，而提示：连结，，延长交的延长线于，则，又如图，过，分别作，垂直于，分别交于，，过、分别作所有直线于，，可证明，。∥∥，提示：设梯形的高为，则基其两条对角线分别为与，于是与都是完全平方数，即与都是完全平方数，从而即，又与的奇偶性相同，因此，得，或，（1）（2）由（1）知；则P点到达终点