第02讲 矩形的性质与判定-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第02讲矩形的性质与判定【学习目标】1．理解矩形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系；2．掌握矩形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．【基础知识】一．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．三．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．四．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】一．矩形的判定（共4小题）1．（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；2．（2022春•思明区校级期中）如图所示，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F，求证：四边形CDOF是矩形．3．（2021春•镇江期中）如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．4．（2021春•裕华区校级期末）如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．二．直角三角形斜边上的中线（共4小题）5．（2022春•广丰区校级期中）如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．6．（2022春•新邵县期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．7．（2021秋•镇海区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，连结AM．（1）求AM的长；（2）求证：MN⊥AC；（3）求MN的长．8．（2021春•来宾月考）如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？三．矩形的性质（共4小题）9．（2022•长清区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．10．（2021春•邳州市期中）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．11．（2021春•建平县期末）把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由．12．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．四．矩形的判定与性质（共4小题）13．（2022•盐池县二模）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．14．（2021春•黄山期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．15．（2021春•无为市期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．（1）求证：▱ABCD为矩形；（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．16．（2021•八步区模拟）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．【过关检测】一．选择题（共3小题）1．（2022春•綦江区期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直2．（2022春•溆浦县期中）已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC等于（）A．3 B．5 C．6 D．113．（2022春•东城区期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（）A． B． C．5 D．4二．填空题（共7小题）4．（2022春•大丰区期中）已知矩形ABCD中，若AC＝8，则BD＝．5．（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．6．（2022春•蓝山县期中）直角三角形斜边上的中线与高的长分别是6cm、5cm，则它的面积是cm2．7．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为．8．（2022春•西城区校级期中）小明在探究“四边形的不稳定性”活动中，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，如图所示．扭动矩形框架，观察矩形ABCD的变化，下列判断：①四边形ABCD由矩形变为平行四边形②A、C两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变正确的是（填序号）9．（2022•长春模拟）如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝10．（2022春•宁津县期中）工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是．三．解答题（共6小题）11．（2021•历城区二模）如图，矩形ABCD中，E、F分别为边AD和BC上的点，BE＝DF，求证：DE＝BF．12．（2021•福建模拟）如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF．13．（2021秋•金安区校级月考）已知：如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E．（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？14．（2021春•中山区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是AB的中点，