初中9年级数学 暑假自学预习 第07讲 二次函数的概念(解析版)

第07讲二次函数的概念内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1二次函数的识别题型2根据二次函数的定义求参数题型3二次函数的一般形式题型4二次函数的各项系数题型5二次函数图象上点的坐标特征题型6建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）题型7建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航二次函数、一般形式、a≠0、二次项系数、函数模型。1.理解二次函数的概念，掌握其定义的三要素（整式、自变量的二次式、a≠0）。2.能识别二次函数的二次项、一次项、常数项及各项系数。3.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。4.体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，感悟函数模型的多样性。学习重点：二次函数的概念及一般形式y=ax2+bx+c（a≠0），能准确识别各项系数。学习难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以及理解a≠0的必要性（区分二次函数与一次函数）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01二次函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．【易错提醒】形如y=ax2+bx+c，必须满足a≠0。若a=0则为一次函数。同时x的最高次数必须为2，且是整式，分母中不能有自变量。即时即练1．下列函数属于关于的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误；B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误；C、是二次函数，选项正确；D、当时，不是二次函数，选项错误；故选：C．2．若是关于的二次函数，则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：且，解得：且，，故答案为：．知识点02二次函数的一般形式一般式：（，，为常数，）；【易错提醒】一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，并按x降幂排列，右边为0。即时即练1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1【答案】A【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键．根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解．【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，，答案：A．2．已知二次函数，则，，．【答案】【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为一次项系数为常数项为根据定义逐一作答即可．【详解】解：，则，故答案为：，，．题型1二次函数的识别【例1】下列各式中，是的二次函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数，形如的函数是二次函数，据此判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．【详解】解：、不是二次函数，该选项不合题意；、是一次函数，该选项不合题意；、是二次函数，该选项符合题意；、不是二次函数，该选项不合题意；故选：．【例2】在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可．【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意；B、不是整式，不是二次函数，故选项B不符合题意；C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意；D、当时，不是二次函数，故选项D不符合题意；故选：A．【技巧归纳】1.看形式：y=ax2+bx+c（a≠0），最高次为2，整式方程。2.判非零：确保二次项系数不为0。3.排除法：若可化为上述形式即为二次函数。【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查二次函数定义，形如的函数．选项A和D含有分式，不是整式；选项B简化后为一次函数；选项C符合定义．【详解】∵二次函数形式为，对于A：，在分母，不是整式；对于B：，展开得，为一次函数；对于C：，满足，是二次函数；对于D：，x在分母，不是整式；故选C．【变式1-2】下列函数是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如），只有选项C符合条件；选项A和D不是整式，选项B是一次函数【详解】∵二次函数的标准形式为，选项A：含有分式，不是整式函数；选项B：最高次数为1，是一次函数；选项C：满足，符合二次函数定义，是二次函数；选项D：是根式函数，不是整式函数∴只有C是二次函数故选C题型2根据二次函数的定义求参数【例3】已知是关于的二次函数，那么．【答案】2【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：，故答案为：．【例4】若是关于x的二次函数，则m的值是．【答案】【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键．根据二次函数的定义解题即可．【详解】解：由题意知，，解得：．故答案为：．【技巧归纳】1.化为标准式：整理成y=ax2+bx+c。2.列条件：二次项系数a≠0，且x最高次数为2。3.解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0的值。【变式2-1】若函数是关于的二次函数，则．【答案】2【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0．据此进行解答即可．【详解】解：由题意，得且．解方程得，即，解得或又，故，所以．故答案为：2【变式2-2】若是关于x的二次函数，则m的值为．【答案】2【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴，，∴．故答案为：2．题型3二次函数的一般形式【例5】将二次函数化为一般形式后，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．【详解】，故选：D．【例6】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案．【详解】解：；其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4．故选：D【技巧归纳】1.标准形式：y=ax2+bx+c（a≠0），按降幂排列。2.识别系数：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。3.注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c则b=0。【变式3-1】将二次函数整理为一般式得【答案】【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可；【详解】解：，故答案为：【变式3-2】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)．【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1(2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．（1）将化为，即可求解；（2）将化为，即可求解.【详解】（1）解：，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；（2），二次项系数为，一次项系数为1，常数项为.题型4二次函数的各项系数【例7】二次函数的一次项系数是（

）A．1 B．5 C．2 D．【答案】B【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答．【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5．故选：B．【例8】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．，， B．，， C．，4， D．，，1【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可.【详解】解：∵二次函数，∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为.故选：B.【技巧归纳】1.化标准式：整理为y=ax2+bx+c。2.对应找系数：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。3.注意符号：带符号移项，缺项系数为0。【变式4-1】把变成一般式，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．【答案】【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键．根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可．【详解】所以二次项系数：，一次项系数：，常数项：．故答案为：；；．【变式4-2】二次函数中，二次项系数是，一次项系数是．【答案】3【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项．根据二次函数的定义解答即可．【详解】解：∵，∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5．故答案是：3，．题型5二次函数图象上点的坐标特征【例9】已知二次函数，当时，y的值为（

）A． B． C．3 D．11【答案】A【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可．【详解】解：将代入函数中：，故选：A．【例10】已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解．【详解】解：依题意，，，解得：，故选：C．【技巧归纳】1.代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。2.利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。3.求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。【变式5-1】若二次函数的图象经过原点，则的值为（

）A． B． C．或 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．把代入求解，注意的取值范围．【详解】解：把代入得，解得或，，，故选：B．【变式5-2】已知二次函数，当时，图象经过原点．【答案】1【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法．根据函数过原点，代入求解即可．【详解】由题知函数过原点，，解得．故答案为：1．题型6建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）【例11】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可．【详解】∵参加会议的人两两彼此握手，∴．故选：B．【例12】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式．【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得：与满足的函数关系式是．故选：D【技巧归纳】1.找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。2.设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。3.定定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。【变式6-1】中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可．【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：，2024年我国高铁的运营总里程：，根据题意，可列函数解析式为：．故选．【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为(化为一般式)【答案】【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可．【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：．故答案为：．题型7建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）【例13】用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可．【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，．故选：D．【例14】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解.【详解】解：∵四边形是正方形，∴.∵，∴，∴，∴，∴四边形是菱形.∵，∴，∴，∴四边形是正方形.∵，∴.在中，，∴，即.故选：D.【技巧归纳】1.设关键线段：用未知数x表示边长、高或距离。2.用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S关于x的表达式。3.化简整理：化为S=ax2+bx+c形式，注意自变量范围由几何约束确定。【变式7-1】如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是．【答案】【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可．【详解】解：新圆的面积为，∴．故答案为．【变式7-2】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得展开得：整理得：根据题意，得解得：．∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：一、单选题1．下列各式中，是的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数.∵选项A中是一次函数，∴A不符合题意；∵选项B中，符合二次函数的定义，∴B符合题意；∵选项C中，未说明，当时不是二次函数，∴C不符合题意；∵选项D中里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义，∴D不符合题意.2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项），∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是，故选：．3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查根据题意列函数关系式．根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式．【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x，∴8月份的销售量为个，∴9月份的销售量．故选：A．4．若是二次函数，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，且．由，得，解得或．又∵，即，∴．故选：A．5．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，一次函数关系D．正比例函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型．【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系；大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系．综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系．二、填空题6．二次函数的二次项系数是______，常数项是_____．【答案】【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解．【详解】解：∵变形为，二次项系数为，常数项是．故答案为：，．7．若是二次函数，则_______．【答案】【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2，即，整理，得，∴，∴，解得或，结合，可得．8．若二次函数的图象经过点，则的值为___________．【答案】1【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴将，代入解析式得，即，解得．故答案为：1．9．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围）【答案】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案．【详解】解：由题意得：长方形的长为，∴，故答案为：．10．二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值．将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可．【详解】解：二次函数与轴的一个交点是∴将，代入解析式，得即∴则故答案为：．三、解答题11．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)．【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1(2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．（1）将化为，即可求解；（2）将化为，即可求解.【详解】（1）解：，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；（2），二次项系数为，一次项系数为1，常数项为.12．若函数是二次函数．(1)求的值；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据二次函数的定义列式求解即可；（2）把代入函数解析式即可．【详解】（1）解：依题意有，解得：，∴k的值为；（2）解：把代入函数解析式中得：，当时，．∴y的值为．13．已知函数（m为常数），求当m为何值时：(1)y是x的一次函数？(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．【答案】(1)(2)，纵坐标为的点的横坐标【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．（1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值．【详解】（1）解：（1）由题意，得，且，解得，当时，y是x的一次函数；（2）由题意，得，且，解得，当时，y是x的二次函数，当时，，解得，纵坐标为64的点的横坐标．14．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键．（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次