初中9年级数学 暑假自学预习 第01讲 一元二次方程(原卷版)

第01讲一元二次方程内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断是否是一元二次方程题型2利用一元二次方程的定义求参数题型3一元二次方程的一般形式题型4一元二次方程的解求参数的值题型5一元二次方程的解求代数式的值题型6一元二次方程的解的估算04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一元二次方程、一般形式、系数、整式方程、建模思想1.理解一元二次方程的概念，掌握其定义的三要素（整式、一元、二次）。2.掌握一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次项、一次项、常数项及系数。3.理解一元二次方程根（解）的概念，能检验一个数是否为方程的根。4.经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想。学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式（a≠0），能准确识别各项系数。学习难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，理解二次项系数a≠0的意义。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一元二次方程的概念定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.【易错提醒】必须同时满足：整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数a≠0。缺一不可。即时即练1．下列方程是一元二次方程的有（

）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为．3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是．知识点02一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点：(1)只有当a≠0时，方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.【易错提醒】一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。务必先移项、合并化为右边为0，并注意各项需带符号，切勿漏写负号。即时即练1．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（

）A． B． C． D．2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是

)A．，， B．，， C．，， D．，，知识点03一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【易错提醒】代入方程应使左右相等。注意等号两边都要算。若方程有根为0，则常数项c=0；若根为1，则a+b+c=0；若根为-1，则a-b+c=0。即时即练1．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为．2．若是方程的一个根，则代数式的值为．题型1判断是否是一元二次方程【例1】下列方程是一元二次方程的是()A． B． C． D．【例2】下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】1.整理：化为ax2+bx+c=0形式。2.看条件：a≠0，最高次为2，且为整式方程（分母无未知数）。【变式1-1】下列方程是一元二次方程的有（

）①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型2利用一元二次方程的定义求参数【例3】若方程是一元二次方程，则k的值是．【例4】若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为．【技巧归纳】1.化标准式：整理为ax2+bx+c=0。2.列条件：二次项系数a≠0，最高次数为2。3.解参数：联立解得参数值，注意排除使a=0的值。【变式2-1】关于的方程是一元二次方程，则的值为的．【变式2-2】若是关于的一元二次方程，则的值为．题型3一元二次方程的一般形式【例5】方程化为一元二次方程的一般形式是（

）A． B．C． D．【例6】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】1.移项排序：将所有项移到左边，按降幂排列：ax2+bx+c=0。2.明确字母：a为二次项系数(a≠0），b为一次项系数，c为常数项。【变式3-1】方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（

）A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4【变式3-2】将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（

）A．5 B． C．4 D．题型4一元二次方程的解求参数的值【例7】已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为．【例8】已知关于x的方程的一个根为，则．【技巧归纳】1.直接代入：将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。2.解方程：解出新方程，求出参数值。3.注意验根：确保二次项系数a≠0，避免增根。【变式4-1】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是．【变式4-2】已知一元二次方程有一个根为4，则m为．题型5一元二次方程的解求代数式的值【例9】若a是方程的一个根，则的值为．【例10】若m是方程的一个实数根，则的值为．【技巧归纳】1.代入化简：将根代入原方程得关系式（如m2=2m+1），降次代入所求式。2.整体代换：利用韦达定理m+n、mn，整体求值。【变式5-1】如果是一元二次方程的解，则．【变式5-2】已知m为方程的根，那么的值为．题型6一元二次方程的解的估算【例11】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断．1.21.31.41.50.360.75【例12】根据下表得知，方程的一个近似解为（精确到0.1）x………0.561.251.96…【技巧归纳】1.找相邻整数：代入整数x，观察代数式值的正负变化。2.缩小范围：根在使值异号的两个整数之间，再取中点或小数逼近。3.结合图象：看抛物线与x轴交点位置。【变式6-1】探索一元二次方程的一个正数解的过程如表：x0123451323可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为．【变式6-2】根据表格对应值：0120.842.293.76判断关于x的方程的一个解x的范围是．一、单选题1．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（

）A．， B．， C．， D．，2．若是方程的解，则的值是（

）A． B．3 C． D．13．下列方程中，一元二次方程共有（

）个．①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．54．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（

）A．2024 B．2025 C．2027 D．20285．已知关于的一元二次方程．①若，则该方程一定有一个根为；②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为．下列判断正确的是（

）A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误二、填空题6．将一元二次方程化为一般式为______．7．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________．8．关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________．9．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______．10．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．三、解答题11．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)；(2)；(3)；(4)．12．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？13．已知a是一元二次方程的一个根：(1)求的值