初中9年级数学 暑假自学预习 第14讲 反比例函数的图象和性质(10类重点题型+过关检测)(原卷版)

第14讲反比例函数的图象和性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1判断(画)反比例函数图象题型2已知反比例函数的图象判断其解析式题型3判断反比例函数所在象限题型4判断反比例函数的增减性题型5已知反比例函数分布的象限求参数范围题型6已知反比例函数的增减性求参数题型7由反比例函数图象的对称性求点的坐标题型8比较反比例函数值或自变量的大小题型9判断反比例函数的图象和性质题型10反比例函数的图象和性质综合04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航双曲线、象限、增减性、k>0、k<0、每个象限内、数形结合。1.会用描点法画出反比例函数y=kx（k≠02.掌握反比例函数图象的性质：当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限。3.理解反比例函数的增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小（k>0）或增大（k<0）。4.体会数形结合、分类讨论的数学思想，能根据图象比较函数值的大小。学习重点:反比例函数图象的形状、位置及增减性，特别是k的正负对图象的影响。学习难点:理解“在每个象限内”这一前提条件，并能正确运用增减性比较不同象限内函数值的大小。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01反比例函数的图象与性质1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数图象所在象限增减性一、三象限在同一象限内，随的增大而减小二、四象限在同一象限内，随的增大而增大越大，函数图象越远离坐标原点【易错提醒】图象为双曲线，分两支。\(k>0\)在一三象限，k<0在二四象限。每个象限内y随x增大而减小（或增大），注意“每个象限内”前提，勿跨象限比较。即时即练1．关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么2．已知反比例函数，为常数，．(1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围；(2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由．3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8．(1)求的值；(2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围．题型1判断(画)反比例函数图象【例1】函数的图像大致是（

）A．B．C．D．【例2】函数的图象大致是（）A．B．C．D．【技巧归纳】图象为双曲线，两支关于原点对称。k>0时在一三象限，k<0在二四象限。画草图：列表取点（如x=±1,±2,±...），描点连线，渐近线为坐标轴。注意图象无限接近坐标轴但不相交。【变式1-1】函数在平面直角坐标系中的图形可能是（

）A．B．C． D．【变式1-2】一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（

）A．B．C．D．题型2已知反比例函数的图象判断其解析式【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（

）A．5 B．10 C． D．【例4】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】根据图象所在象限判断k的正负：一三象限k>0，二四k<0。取图象上一点坐标（非原点），代入y=k/x得k=xy。也可利用对称性，或由与坐标轴所围矩形面积|k|确定解析式。注意双曲线渐近线。【变式2-1】如图所示，该函数表达式可能是（

）A． B． C． D．【变式2-2】如图所示，其函数解析式可能是（

）A． B． C． D．题型3判断反比例函数所在象限【例5】反比例函数的图像在第象限，经过点（，）．【例6】反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是，在第二、四象限的是．【技巧归纳】由k符号决定：k>0，图象在一三象限；k<0，在二四象限。注意|x|和|y|越大，点离轴越远。k绝对值大小不影响象限，只影响弯曲程度。实际问题中根据变量乘积正负判断。【变式3-1】反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是，在第二、四象限的是；【变式3-2】关于的方程无解，则反比例函数的图象在第象限．题型4判断反比例函数的增减性【例7】在函数中，函数值随的增大而．【例8】函数中，在每个象限内，y随x的增大而．【技巧归纳】在每个象限内：k>0时，y随x增大而减小；k<0时，y随x增大而增大。注意“在每个象限内”前提，跨象限不能直接比较。比较函数值时，若两点同象限用增减性，异象限则负数<正数（k>0）。【变式4-1】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而．（填“增大”或“减小”）【变式4-2】下列函数：①；②；③；④；⑤．随的增大而减小的是（填序号）．题型5已知反比例函数分布的象限求参数范围【例9】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m=．【例10】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为（写出一个即可）．【技巧归纳】由分布象限确定k的符号：一三象限k>0，二四k<0。若解析式为y=(m-1)/x，则m-1>0得m>1。注意参数也可能影响定义域或分母非零。解不等式，最终写出参数范围，可结合具体增减性。【变式5-1】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是．【变式5-2】已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限．(1)求的取值范围；(2)若点在该反比例函数的图象上，求的值．题型6已知反比例函数的增减性求参数【例11】反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是．【例12】已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为．【技巧归纳】增减性：在每个象限内，y随x增大而减小→k>0；增大而增大→k<0。若解析式含参数，列不等式（如y=(m-2)/x，减小则m-2>0→m>2）。注意参数可能出现在分母或被开方数，需额外限制。【变式6-1】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为．【变式6-2】已知反比例函数．(1)若该函数经过，求k的值；(2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围．题型7由反比例函数图象的对称性求点的坐标【例13】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为．【例14】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是．【技巧归纳】反比例函数关于原点中心对称，若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在。也关于直线y=x和y=-x对称。利用对称性可求未知点坐标：如已知一点，关于原点对称得另一点；关于y=x对称则交换坐标。【变式7-1】如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为．题型8比较反比例函数值或自变量的大小【例15】已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为（用<号表示）【例16】若图象上有三个点，则大小关系是（

）A． B．C． D．【技巧归纳】先判断两点是否在同一象限，同象限用增减性比较；异象限时，若k>0，负函数值<正函数值；若k<0，正函数值<负函数值。也可直接计算y值比较，注意x≠0。数形结合更直观。【变式8-1】反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为．【变式8-2】已知点，，在函数的图象上，比较，，大小（用“”连接）．题型9判断反比例函数的图象和性质【例17】关于反比例函数，下列说法中正确的是（

）A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小【例18】关于反比例函数，下列说法错误的是（

）A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，【技巧归纳】k定象限：k>0在一三，k<0在二四；k定增减：一三象限减，二四增。图象无限接近轴但不相交，关于原点对称。|k|决定弯曲程度：|k|越大，离轴越远。解题结合草图。【变式9-1】已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（

）A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大C．当时， D．点在该图象上【变式9-2】已知反比例函数，则下列结论不正确的是（

）A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限B．图象关于原点成中心对称C．若、为函数图象上两点，且则D．图象关于直线成轴对称题型10反比例函数的图象和性质综合【例19】已知反比例函数（为常数）．(1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围；(2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围．【例20】（1）画出函数的图象．①列表：x……y……②描点并连线．（2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”）x……y…1236…【技巧归纳】综合应用：由一点坐标求k；利用面积定k；由增减性、象限求参数；比较函数值；与一次函数综合求交点、面积。常用数形结合，注意自变量的取值范围（实际意义或分母≠0），利用对称性简化。【变式10-1】探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整：(1)函数的自变量x的取值范围是______；(2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______；x…023…y…1244m1…(3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整；(4)若是函数图象上的两点，则______．【变式10-2】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质．(1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____；．．．．．．0123．．．．．．4．．．．．．(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象；(3)根据函数图象，发现：①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称；②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____．一、单选题1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（

）A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限2．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（

）A． B． C． D．3．下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小C．当时， D．点和点都在函数图象上4．已知点，都在反比例函数（为常数）的图象上，当时，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．5．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（

）A． B． C． D．二、填空题6．已知反比例函数，当时，的取值范围是_______．7．已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个）8．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限．9．已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，与反比例函数的图象交于点C，D，则k的值为______．三、解答题11．已知反比例函数图象经过点．(1)求函数解析式；(2)判断点是否在该函数图象上；(3)当时，随增大如何变化．12．在平面直角坐标系中，点，在反比例