初中8年级数学 暑假自学预习 第15讲 一次函数的应用(7类重点题型+过关检测)(原卷版)

第15讲一次函数的应用内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1一次函数的应用之分配方案问题题型2一次函数的应用之最大利润问题题型3一次函数的应用之行程问题题型4一次函数的应用之几何问题题型5一次函数的应用之梯度计费问题题型6已知直线与坐标轴交点求方程的解题型7利用图象法解一元一次方程04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航一次函数应用、待定系数法、图象法、方程与不等式、建模、数形结合。1.能根据实际问题中的条件，确定一次函数的表达式（待定系数法）。2.能利用一次函数的图象和性质，解决简单的实际问题（如行程、方案选择、费用等）。3.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象解方程和不等式。4.经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数形结合与数学建模思想，提升应用能力。学习重点：用待定系数法求一次函数的表达式，以及利用一次函数解决实际问题。学习难点：准确从实际问题中提取信息建立函数模型，理解函数、方程、不等式三者之间的内在联系，并能灵活转化。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01一次函数的实际应用1）数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.2）正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.3）选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【易错提醒】一次函数实际应用易错警示：审清题意，正确设变量。注意自变量取值范围（如时间、数量非负）。求最值时，若为分段函数需比较各段。单位统一，结果要符合实际意义（如人数取整数），勿忽略端点。即时即练1．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？2．某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表．甲型车租金乙型车租金工地800元/台600元/台工地600元/台300元/台(1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）．(2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围．(3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．知识点02一元一次方程与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.【易错提醒】一元一次方程与一次函数关系易错警示：方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标。注意：方程的解是x值，交点坐标是(x,0)。勿将纵坐标当作解，也不可混淆“解”与“交点”。即时即练1．如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③题型1一次函数的应用之分配方案问题【例1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料，(1)设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格A地B地C地x②D地①③①

②

③(2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程【例2】“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）：方案一劳动工具元件，运费元；方案二劳动工具元件，免费送货上门．若学校购买件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．(1)请分别写出与之间的函数解析式；(2)请你为该学校选择合适的购买方案．【技巧归纳】设两种方案的费用函数（一次函数），由自变量（数量）比较大小。求交点：令两式相等得临界值；选择：小于临界选一种，大于选另一种。注意定义域（正整数或范围）。也可列表格，代入典型值验证。常结合不等式。【变式1-1】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：(1)求对应的函数表达式．(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？【变式1-2】某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下：设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元）①下表是调研中的两组数据：车辆类型传统燃油车氢能源车行驶路程（万公里）1010总费用2328②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点．结合上述调研信息，回答问题：(1)传统燃油车购车费用是___________万元；(2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低．题型2一次函数的应用之最大利润问题【例3】“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元．(1)求出y与x之间的函数关系式．(2)该花店如何进货才能获得最大利润？【例4】港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表：种植种类成本（万元/亩）销售额（万元/亩）柏树苗2.43松树苗22.5设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元．(1)求y与x的函数表达式；(2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本）【技巧归纳】利润=单件利润×销量-固定成本，若均为一次关系则得一次函数。根据k符号判断：k>0，利润随销量增大而增大，取最大销量；k<0，取最小销量。注意自变量受实际限制（如库存、市场需求）。有时为分段函数。【变式2-1】某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示：价格\品牌甲品牌水杯乙品牌水杯进价（元/个）4030售价（元/个）5035设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元．(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少?【变式2-2】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题．内容材料一某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．材料二某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐．任务一（1）根据图像求出与的函数关系式．任务二（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．题型3一次函数的应用之行程问题【例5】汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为．(1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式；(2)指出自变量t的取值范围；(3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？【例6】如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)求甲在的时间段内的函数关系式；(2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米．【技巧归纳】设时间t为自变量，路程s=vt+b（b为初始距离）。相遇时s甲=s乙，列方程求t。追及时路程差=初始距离。注意速度单位统一，方向：相向加，同向减。画线段图辅助，分段运动时需分段建立函数。【变式3-1】一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开A地的距离为，轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示．(1)轿车从A地驶往B地的速度为，；(2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围）(3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离．【变式3-2】如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系．(1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为；(2)求线段对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）；(3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由．题型4一次函数的应用之几何问题【例7】如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点A,B，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点．(1)求点（用含的代数式表示）的坐标；(2)当△ABC的面积为时，求的值；(3)在2的条件下，在轴上找一点，使得△APC为等腰三角形，求点的坐标．【例8】如图1，在Rt△ABC中，，AB=3，AC=4动点P从A出发，沿着折线A→B→C运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），△ACP的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若直线y1=x+b与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围．【技巧归纳】将几何量（如面积、周长）表示成边长的一次函数。利用图形性质（矩形、三角形）列式，求最值时根据k的增减性取边界。注意自变量范围由几何约束决定（如边长>0）。若为动态几何，设时间t，用t表示边长再列函数。【变式4-1】如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点．(1)如图，过点C作直线：．①用含k的代数式表示b；②若直线与线段AB有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围；(2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若DE=1，且k，m均为整数，求m的值．【变式4-2】如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段AB上的一个动点，点C为射线上一点．(1)求点A，B的坐标．(2)如图1，过点E作EF⊥x轴交直线于点F，设点E的横坐标为m．①用含有m的式子表示线段的长；②若△ABF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；(3)把△AOC沿直线翻折得到△ACD．①如图2，当点D在△ABO的内部时，连结OD并延长交AB于点P．若，求点P的坐标．②如图3，点M为AB的中点，连结MD，当MD与x轴平行时，请直接写出的长．题型5一次函数的应用之梯度计费问题【例9】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为．(1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式；(2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？【例10】某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．用水量x（立方米）应交水费y（元）不超过12立方米每立方米3.5元超过12立方米超过的部分每立方米4.5元(1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；(2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？【技巧归纳】分段计费：按用量或时间分区间，每段费用函数不同（一次函数）。找临界点（如阶梯水价电量），明确每段单价与起步价。求总费用时先判断所在区间，再代入对应式。注意跨段时需分段计算再求和，避免重复计费。【变式5-1】为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：年用水量收费标准不超过部分元超过，不超过部分元超过部分元小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．(1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式；(2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．【变式5-2】为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示：居民电费专用发票计费期限：一个月用电量（度）电价（元/度）第一档：0.50第二档：0.55第三档：0.80本月实用金额：106.5（元）（大写）壹佰零陆元伍角根据以上提供信息解答下列问题：(1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式；(2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量；(3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元题型6已知直线与坐标轴交点求方程的解【例11】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为．【例12】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为．【技巧归纳】与x轴交点(x₀,0)即方程kx+b=0的解x₀；与y轴交点(0,b)即为常数项。已知两交点可求k、b，得解析式。也可由横截距和纵截距直接写截距式：x/a+y/b=1。注意截距符号。交点坐标代入方程验证。【变式6-1】一次函数，当时，，这条直线与x轴的交点的坐标是，因此，方程的解是．【变式6-2】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题：（1）关于的方程的解为；（2）关于的方程的解为；（3）关于的方程的解为．题型7利用图象法解一元一次方程【例13】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为．

【例14】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是．【技巧归纳】画出y=kx+b的图象，与x轴交点的横坐标即方程kx+b=0的解。也可将方程化为两个函数相等，找图象交点横坐标。近似解可用估读。注意区分方程左右两边作为两个函数，交点横坐标为解。竖线法读x。【变式7-1】如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是．【变式7-2】如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为．一、单选题1．方程的解可以看作一次函数y=2x+1的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（

）A． B． C．x=3 D．x=−32．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（

）．A．元 B．元 C．元 D．9元3．某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（

）A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（

）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．）A．当石块下降3cmB．当时，拉力与之间的函数表达式为C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底5．如图①，在四边形中，AB∥CD，∠ADC=90°，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，△PAD的面积为（

）A．16 B．20 C．24 D．32二、填空题6．如图，一次函数（k为常数且）和y=3x+1的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______．7．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多400米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米．8．如图，点B2,0在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数y=12x的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________．9．平面直角坐标系中有三点，，，若直线（为非零常数）将分成面积为4:1的两部分，则的值是__________．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）．对于正方形OABC边上的一点P，若点Q在正方形OABC内部且线段PQ与区域有公共点，则称点Q是点P的“盲点”．点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为．(1)点E3,1的“盲区”的面积是_______；(2)若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积______（用含的代数式表示）．三、解答题11．节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示．(1)优惠前草莓的销售价格为每千克________元；(2)当时，求与之间的函数关系式；(3)若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为35千克，直接写出该游客所花的费用．12．河南驻马店汝南特产——宿鸭湖烤鸭蛋，品质天然、蛋黄呈现蟹黄口感，蛋白兼具卤蛋香气．宿鸭湖景区售卖两种口味的烤鸭蛋，分别是原味烤鸭蛋和五香烤鸭蛋．其进货单价分别为8元/盒、10元/盒．五香烤鸭蛋在售出40盒后，为吸引更多顾客，采取“打m折”促销，且促销后的价格一直保持到这批五香烤鸭蛋全部售完、原味烤鸭蛋售价不变．这两种烤鸭蛋的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：盒）之间的函数关系如图所示．(1)当时，求五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式；(2)________；（写成中文形式）(3)当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，