【沪教版必修第一册】高一数学5.2.3函数的最值（教学课件）

5.2.3函数的最值第5章函数的概念、性质与应用

沪教版(2020)必修第一册·高一章节导读学

习

目

标12理解函数最值的概念.会求简单函数的最值.情景引入1.生活中的最值问题如何判断小明“用时最少”呢？问题1

小明同学在100米短跑测试中是全班跑得最快的同学之一，如何判断这个结果？小明同学在100米短跑测试中用时最少全班同学的“用时”≥小明同学的用时（最少用时）情景引入2.数学中的最值问题

情景引入2.数学中的最值问题

为什么可以说最小值是2呢？

1不是代数式的值，所以，最小值不是1新知探究函数的最值问题3

“对于定义在D上的函数y=f(x)，M是函数y=f(x)的最小值”，如何用符号语言描述呢？M=f(x0)(x0∈D）)且任取x∈D，f(x)

≥M.

定义

函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)

，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≥f(x0)

都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最小值（minimum）新知探究函数的最值定义

函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)

，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≥f(x0)

都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最小值（minimum）定义中的“任意”改成“存在”可以吗？f(x0)

是函数值域的所有元素中最小的一个值所有不能新知探究函数最值问题4

类比函数最小值的定义，函数最大值如何定义？

定义

函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)

，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≤f(x0)

都成立，那么f(x0)就叫做函数y=f(x)的最大值（maxium）f(x0)

是函数值域的所有元素中最大的一个值新知探究【判一判】判断下列说法是否正确，请说明理由，（1）定义在R上的函数y=f(x)，恒有f(x)≤2，则此函数的最大值是2.（2）函数y=f(x)的值域是{-1}∪[2,+∞)，则此函数的最小值是-1.（3）设函数y=f(x)的定义域是D，若存在x0∈D，使得任意x∈D，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数y=f(x)的最大值.“2”不是函数值，比如：函数y=1.“-1”是值域中的一个元素，且是最小的值√√典例分析例1求下列函数的最大值或最小值：(1)y=2x²-3x+1,x∈R;(2)y=2x²-3x+1,x∈[-2,2].

典例分析例1求下列函数的最大值或最小值：(2)y=2x²-3x+1,x∈[-2,2].

典例分析对于定义在闭区间[a,b]上的单调函数y=f(x),它的最大值和最小值一定能在区间的端点a和b处取到.因此，对于具有单调性的函数，可以借助其单调性来求得其最值.典例分析

典例分析例3

已知a<2,求函数y=|x-1|,x∈[a,2]的最大值.解：对于函数y=|x-1|,当x≥1时，y=x-1;而当x≤1时，y=-x+1.因此y=|x-1|在区间(1,+∞)上是严格增函数，在区间[一∞,1]上是严格减函数.情形一：当1≤a<2时，y=|x-1|在区间[a,2]上是严格增函数，此时函数的最大值为1.情形二：当a<1时，y=|x-1|在区间[a,1]上是严格减函数，而在区间[1,2]上是严格增函数.从而此时函数的最大值为|2-1|与|a-1|中的较大者.因此，当a<0时，该函数的最大值为|a-1|=1-a;而当0≤a<1时，该函数的最大值为1.综上所述，当a<0时，该函数的最大值为1-a;当0≤a<2时，该函数的最大值为1.典例分析利用函数的单调性求最值的关注点(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.求函数最值题型一题型探究1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值.作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3].所以函数的最大值为3，最小值为－3.求函数最值题型一题型探究分类讨论求二次函数的最值2.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.求函数最值题型一题型探究2.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.题型探究(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养.利用函数最值求参数题型二题型探究3.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A.[1，＋∞) B.[0,2]C.(－∞，2] D.[1,2]√解析

f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2.利用函数最值求参数题型二题型探究4.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝_____，b＝_____.－20解析

y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.应用题型三题型探究5.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为_____.6解析在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6).所以f(x)的最大值为6.课堂小结逻辑推理逻辑推理数学抽象直观想象数学建模函数的最值函数的最大（小）值与函数图像最高（低）点的纵坐标相对应图像语言符号语言描述性语言数学抽象函数y=f(x)在x0处的函数