初中数学九年级上册《过三点的圆》教案

初中数学九年级上册《过三点的圆》教案

一、课标要求与教材分析

（一）课标要求解读

本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域。课标明确要求：“理解不在同一直线上的三个点确定一个圆；了解三角形的外接圆、外心的概念，并能够作图。”此要求位于第三学段（7-9年级），属于“图形的性质”主题。课标强调，教学应引导学生通过观察、实验、推理等活动，探索并证明基本图形的性质，发展空间观念和几何直观，提升逻辑推理能力。

从核心素养视角审视，本节课是培养学生几何直观、推理能力、模型观念的绝佳载体。学生需从具体的、确定的点出发，通过尺规作图这一“几何实验”，直观感知“确定”的含义；进而通过逻辑推理，论证“为什么”不在同一直线上的三点能且只能确定一个圆；最终抽象出数学模型——三角形的外接圆及其外心，并理解其唯一性。这一过程完整地体现了“具体感知—形成猜想—推理验证—建立模型”的数学认知路径。

（二）教材地位与作用（冀教版）

在冀教版九年级数学上册的体系中，本节课（通常为第28章第2节）起着承上启下、贯通融合的关键作用。

1.承上：它建立在学生已系统学习的“圆的基本性质”基础之上，包括圆的定义、弦、弧、圆心角、圆周角等概念，以及垂径定理、圆心角与圆周角关系定理等。特别是圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是直角”，为本节课探究圆心位置（外心）的性质埋下了伏笔。

2.启下：它是学习后续“点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系”的认知基础。“过三点的圆”本质上是“确定圆的条件”这一核心问题的具体化。理解了圆是如何被确定的，才能深入分析点、直线与既定圆的位置关系。同时，“三角形的外接圆”与后续的“三角形的内切圆”构成了三角形与圆关系研究的两个基本维度，是初等几何中三角形“心”（外心、内心、重心、垂心）体系的重要组成部分。

3.学科价值：本节课蕴含了深刻的数学思想方法：

1.4.确定性与唯一性思想：探讨满足何种条件，图形（圆）能被唯一确定。这是数学，尤其是几何学的核心思想之一。

2.5.反证法思想：在证明“过同一直线上的三点不能作圆”时，自然引入了反证法的初步思路。

3.6.化归与转化思想：将“找过三点的圆的圆心”问题，转化为“找一点到三点的距离相等”问题，进而转化为“两条线段垂直平分线的交点”问题。

4.7.分类讨论思想：对三点位置关系（共线与不共线）进行分类讨论，得出不同结论。

（三）内容结构重组与优化建议

教材通常按“过一点、过两点可作无数圆——过不在同一直线上的三点确定一个圆——三角形外接圆与外心”的顺序展开。为提高思维深度和教学效率，本设计将进行以下优化：

1.问题驱动，整体建构：以一个核心问题“究竟需要几个点、满足什么条件才能确定一个圆？”贯穿始终，将过一点、两点、三点的情况作为探究此问题的阶梯，使知识形成有机整体，避免碎片化。

2.逆向设问，激发冲突：在探究三点共线情况时，不直接告知结论，而是先让学生尝试尺规作图，在“作不出来”的认知冲突中，引导学生追问“为什么作不出？”，从而自然导向逻辑证明的必要性。

3.技术融合，动态验证：引入几何画板等动态几何软件，在猜想和证明之后进行可视化、动态化的验证与拓展，深化对“确定”与“唯一”的理解。

4.联系实际，跨学科渗透：设计联系工程测量（如确定圆形考古遗址的中心）、物理（如三点支撑的稳定性）等情境的应用问题，体现数学的广泛应用价值。

二、学情分析

（一）认知基础

九年级的学生已经具备了以下相关知识储备：

1.知识层面：掌握了圆的基本概念和主要性质；熟练使用尺规作线段的垂直平分线；了解三角形的基本分类和性质。

2.技能层面：具备一定的尺规作图能力和图形观察能力；经历了简单的几何说理过程，逻辑推理能力正在发展中。

3.经验层面：在生活中对“确定位置”、“唯一性”有直观感受（如两点确定一条直线），但将这种感受迁移到“确定一个圆”上存在认知跨度。

（二）学习障碍点预判

1.“确定”一词的数学理解障碍：学生容易从生活经验出发，将“确定”理解为“能找到”或“可作出”，难以深刻理解其数学内涵——“存在且唯一”。教学中需要通过对比“过一点可作无数圆”（存在不唯一）与“过不在同一直线上的三点可作一个圆”（存在且唯一），来精准构建这一概念。

2.外心位置分类的认知困难：对于不同类型的三角形（锐角、直角、钝角），其外心的位置不同（形内、斜边中点、形外）。学生容易记忆结论，但难以从“圆心到三点距离相等”这一根本原理出发，理解导致位置差异的几何原因。

3.逻辑证明的表述困难：在证明“三点共线时不能作圆”时，需要运用反证法。学生首次在圆的性质中正式使用此法，如何清晰、规范地表述推理过程是一大挑战。

4.复杂尺规作图的精度与理解困难：作三角形的外接圆涉及两次作垂直平分线，步骤较多。部分学生可能停留在机械模仿步骤，而不理解每一步作图的几何原理（为什么要作垂直平分线）。

（三）学习心理与动机

九年级学生抽象思维迅速发展，乐于接受挑战，对具有探索性和逻辑性的内容感兴趣。他们不满足于“是什么”，更渴望知道“为什么”。因此，教学设计应突出探究性和思维深度，将课堂变成学生发现、猜想、论证的“数学实验室”。同时，通过联系现实世界的问题，激发其内在的学习动机。

三、教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.经历探索过程，理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论及其含义。

2.掌握“过不在同一直线上的三点作圆”的尺规作图方法。

3.理解三角形的外接圆、外心的概念，会识别并画出不同三角形的外接圆与外心。

4.能运用“确定圆的条件”解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.通过从“过一点”、“过两点”到“过三点”的渐进式探究活动，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法。

2.在尺规作图与动态几何验证中，增强几何直观和动手操作能力。

3.在论证“三点共线不能作圆”的过程中，初步学习反证法的思路，发展逻辑推理能力。

4.通过将实际问题抽象为数学问题（确定圆心），培养数学建模意识。

（三）情感、态度与价值观

1.在探究活动中获得成功的体验，感受数学的确定性和严谨性之美。

2.通过了解“确定圆的条件”在工程、艺术等领域的应用，体会数学的实用价值，增强学习兴趣。

3.在小组合作探究中，养成积极思考、乐于交流、敢于质疑的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论及其探索过程；三角形的外接圆与外心的概念。

2.教学难点：

1.3.“确定”的数学含义的理解（存在且唯一）。

2.4.对“过同一直线上的三点不能作圆”的证明（反证法的初步运用）。

3.5.理解三角形外心位置因三角形形状而变化的几何本质。

五、教学资源与准备

1.教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、三角板、圆规、磁性黑板贴（点、圆模型）。

2.学生准备：每人一套尺规作图工具（直尺、圆规）、练习本、学案。

3.环境准备：教室桌椅按4-6人小组合作形式排列。

六、教学过程设计（核心环节，详细展开）

第一课时：探索确定圆的条件

环节一：创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

1.2.播放一段简短视频：考古学家在地面发现三个位于古代圆形祭坛边缘的柱础石遗迹点A、B、C。提问：如何能最准确地复原这个圆形祭坛？（即找到圆心和半径）

2.3.展示图片：机器零件上有一个圆孔，但只留下孔边缘的三个测量点。

3.4.核心提问：生活中，我们常需要根据部分信息还原一个完整的圆。数学上，一个圆由圆心和半径决定。那么，至少需要知道几个点的信息，才能确定一个圆呢？（板书核心问题）

5.温故知新：

1.6.提问：回顾“确定一条直线”需要什么条件？（两点）。

2.7.追问：那么，确定一个圆呢？一个点可以吗？两个点呢？三个点呢？三点需要满足什么条件吗？

3.8.设计意图：从现实问题出发，引出数学本质问题。通过与“确定直线”类比，激活学生已有认知，搭建探究桥梁，明确本节课的探索主线。

环节二：阶梯探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究活动一：过一个点A能作几个圆？

1.学生活动：让学生在学案上任意画一点A，尝试用尺规作出经过点A的圆。多作几个，观察思考。

2.交流发现：学生展示作品。结论：圆心不定，半径不定，可以作无数个圆。（课件动态演示：圆心在平面上运动，始终保持经过定点A，生成无数个圆）。

3.初步小结：一个点不能确定一个圆。

探究活动二：过两个点A、B能作几个圆？

1.学生活动：在学案上画两个点A、B，尝试作经过A、B两点的圆。同样多作几个。

2.交流发现：学生展示。结论：圆心在线段AB的垂直平分线上运动，可以作无数个圆。（课件动态演示：圆心在AB的垂直平分线上移动，生成无数个等大的圆族）。

3.追问思考：这些圆的圆心有什么共同特征？（到A、B两点距离相等）为什么？（圆上点到圆心距离相等）。

4.深化小结：两个点同样不能确定一个圆，但将圆心的可能位置从整个平面约束到了一条直线（AB的垂直平分线）上。

探究活动三：过三个点A、B、C能作圆吗？（核心探究）

1.步骤1：动手尝试，引发猜想

1.2.布置任务：分组操作。第一、二组：画不在同一直线上的三点A、B、C，尝试作一个圆同时经过这三点。第三、四组：画在同一直线上的三点A、B、C，尝试作圆。

2.3.学生动手操作，教师巡视指导。很快，第一、二组大部分学生能作出（或接近作出）一个圆。第三、四组学生会遇到困难，产生“好像作不出来”的困惑。

4.步骤2：展示交流，形成初步结论

1.5.请成功的小组展示作法并说明步骤（先作AB、BC的垂直平分线，交点为O，以OA为半径画圆）。

2.6.请遇到困难的小组（三点共线）描述他们的尝试和困惑。

3.7.初步猜想：不在同一直线上的三点似乎可以作一个圆；在同一直线上的三点似乎不能作圆。

8.步骤3：理性分析，证明猜想

1.9.分析“能作”的情况：

1.2.10.引导学生将问题转化为：要找一点O，使OA=OB=OC。

2.3.11.由OA=OB，可知O在AB的垂直平分线上。

3.4.12.由OB=OC，可知O在BC的垂直平分线上。

4.5.13.因此，O是这两条垂直平分线的交点。

5.6.14.追问：这个交点一定存在吗？为什么？（因为△ABC是不在同一直线上的三点构成的三角形，AB和BC是三角形的两边，其垂直平分线在三角形内相交于一点）。这个交点唯一吗？（在同一平面内，两条不平行的直线有且只有一个交点）。

6.7.15.得出结论1：过不在同一直线上的三点A、B、C，可以作一个圆，且圆心是唯一的（AB和BC垂直平分线的交点），半径是OA（或OB、OC）。因此，这样的圆是存在且唯一的，即“确定”一个圆。

8.16.分析“不能作”的情况（难点突破）：

1.9.17.提问：如果A、B、C在同一直线l上，假设存在一个圆O经过它们，那么圆心O需要满足什么条件？（OA=OB=OC）。

2.10.18.由OA=OB，推出O在AB的垂直平分线m上。

3.11.19.由OB=OC，推出O在BC的垂直平分线n上。

4.12.20.但此时A、B、C共线，线段AB和BC的垂直平分线m和n是两条互相平行的直线（或重合，当B是AC中点时）。

5.13.21.采用反证法讲解：假设这样的圆心O存在，则它必须同时在m和n上。但平行线没有交点。这就产生了矛盾。

6.14.22.得出结论2：过同一直线上的三点，不存在到三点距离相等的点，因此不能作圆。

15.23.几何画板动态验证：教师操作几何画板，动态拖动三点，展示当三点从“不共线”状态被拖成“共线”状态时，原本存在的圆心“消失”在无穷远处，直观印证结论。

24.步骤4：归纳定理，规范表述

1.25.引导学生用精炼的数学语言总结：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2.26.强调“确定”二字：一是存在性（可以作），二是唯一性（只能作一个）。

3.27.介绍“确定圆的条件”即“圆心和半径被唯一确定”。

环节三：形成概念，初步应用（预计时间：10分钟）

1.概念生成：

1.2.承接以上结论，给出三角形外接圆、外心的定义。

2.3.定义：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

3.4.结合刚才的探究，强调：任意一个三角形都有且只有一个外接圆。三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点。

5.初步应用（简单作图与识别）：

1.6.例题1：作出已知△ABC的外接圆。（请一名学生板演，强调作图步骤与原理）。

2.7.练习1：判断正误：

（1）过三点一定可以作一个圆。（）

（2）任意一个三角形有且只有一个外接圆。（）

（3）任意一个圆有且只有一个内接三角形。（）

（4）三角形的外心到三角形各边的距离相等。（）（为第二课时外心性质埋下伏笔）

3.8.设计意图：及时将探究结论概念化、系统化。通过基础练习巩固对定理和概念的理解。

环节四：课堂小结，布置作业（预计时间：2分钟）

1.小结：引导学生回顾本节课探索的主线：从一个点、两个点到三个点，最终发现了“确定一个圆”的充要条件。总结了外接圆、外心的概念。

2.作业：

1.3.必做题：课本对应练习题。

2.4.思考题：三角形的外心与三角形的形状（锐角、直角、钝角）有怎样的位置关系？请画图探索。

3.5.实践题：寻找生活中利用“三点确定一个圆”原理的例子（如：如何在地上画一个大圆？）。

第二课时：三角形的外心及其应用

环节一：复习导入，深化理解（预计时间：5分钟）

1.复习提问：

1.2.确定一个圆需要什么条件？（不在同一直线上的三点）。

2.3.什么是三角形的外心？它是如何找到的？（三边垂直平分线的交点）。

3.4.三角形外心的本质是什么？（到三角形三个顶点距离相等的点）。

5.承上启下：

1.6.展示学生上节课思考题的探索成果（不同形状三角形外心的位置）。

2.7.提出本课核心问题：这个到三个顶点距离相等的点（外心），在三角形中究竟扮演着什么角色？它有哪些重要的性质？如何应用这些性质解决问题？

环节二：探究外心的性质（预计时间：15分钟）

1.性质探究活动：

1.2.学生分组，每组分别专门研究锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的外心。

2.3.任务：（1）尺规作出指定类型的三角形及其外接圆、外心O。（2）测量或观察：①外心O与三角形的位置关系（形内、边上、形外）；②OA,OB,OC的长度关系；③∠BOC与∠BAC的度数关系（对于锐角三角形）。

3.4.小组汇报，教师汇总填入表格：

三角形类型

外心位置

OA、OB、OC关系

特殊性质

锐角三角形

三角形内部

相等

∠BOC=2∠BAC（圆心角与圆周角关系）

直角三角形

斜边中点

相等，OA=OB=OC

外心是斜边中点；斜边是外接圆的直径。

钝角三角形

三角形外部

相等

无（可拓展：圆心角∠BOC与∠BAC关系，需考虑优弧）

1.性质论证与解释：

1.2.位置关系：引导学生从“距离相等”角度理解。对于直角三角形，因为外心到斜边两端点距离相等，且斜边上的中点到两端点距离也相等，因此外心必在斜边中点上。对于锐角和钝角三角形，则需结合角的大小进行解释（可利用几何画板动态演示角的变化引起外心位置变化的过程）。

2.3.直角三角形的特殊性质：重点论证“直角三角形外接圆的直径是斜边”。这是圆周角定理推论的直接应用（直径所对的圆周角是直角），也是直角三角形外接圆相关计算的关键。

环节三：综合应用与问题解决（预计时间：18分钟）

本环节设计由浅入深的例题，综合运用确定圆的条件和外心性质。

1.例题2（基础应用）：如图，某市要建造一个大型圆形体育馆，规划部门已经在地图上选定了A、B、C三个入口位置。请你帮助工程师在图纸上确定体育馆的圆心O。

1.2.分析：将实际问题转化为数学问题：已知不在同一直线上的三点，求作过这三点的圆的圆心。解法即作两条线段的垂直平分线求交点。

2.3.反思：为什么选择作垂直平分线？其原理是什么？（保证到线段两端点距离相等）。

4.例题3（性质应用）：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。求这个直角三角形外接圆的半径。

1.5.解法一（利用外心是斜边中点）：先由勾股定理求出斜边AB=10cm，则外接圆半径R=AB/2=5cm。

2.6.解法二（利用一般外心定义）：设外心O，则OA=OB=OC。建立方程求解。对比两种解法，体会利用特殊性质解题的简洁性。

3.7.变式：若将∠C=90°改为∠A=60°，AC=6，求外接圆半径。此时需作高，利用三角函数或构造直角三角形求解，提升思维层次。

8.例题4（存在性问题）：在平面直角坐标系中，有点A(1,2)，B(3,-1)，C(m,0)。问：当m为何值时，A、B、C三点确定的圆的圆心在y轴上？

1.9.分析：这是一个融合了坐标系知识的综合题。圆心在y轴上，设圆心O(0,n)。利用OA=OB=OC建立方程组，消去n，解出m。考查学生对“确定圆的条件”的代数理解。

2.10.小组讨论，教师点拨。

11.跨学科链接（机动拓展）：简要介绍“三点测圆”在机械工程（检测圆形工件精度）、GPS定位（三颗卫星信号确定地面接收器二维位置）中的原理，开阔学生视野。

环节四：课堂总结与分层作业（预计时间：7分钟）

1.总结提升：

1.2.知识层面：回顾“确定圆的条件”及三角形外心的定义、性质（位置、与三角形形状的关系）。

2.3.方法层面：总结了探索几何定理的路径（观察—猜想—验证—证明—应用）；体会了分类讨论、反证法、转化等思想。

3.4.素养层面：强调了数学的确定性、严谨性以及在解决实际问题中的力量。

5.分层作业：

1.6.A组（巩固基础）：完成课后练习题，重点巩固尺规作图和基本概念。

2.7.B组（能力提升）：

（1）已知△ABC中，∠A=120°，BC=6，求△ABC外接圆的直径。

（2）证明：锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆半径与外接圆半径之和。（选做，供学有余力者挑战）

3.8.C组（实践探究）：利用“三点确定一个圆”的原理，设计一个方案，测量一个圆形湖面（无法到达中心）的半径。写出简要步骤和原理。

七、板书设计

主板书（左侧）：

课题：过三点的圆——确定圆的条件

一、探索过程

1.过一点A：圆心？→无数个圆（不确定）

2.过两点A、B：圆心在AB垂直平分线上→无数个圆（不确定）

3.过三点A、B、C：

1.4.情况Ⅰ：不共线

1.2.5.分析：求O，使OA=OB=OC

2.3.6.O在AB垂直平分线m上

3.4.7.O在BC垂直平分线n上

4.5.8.O是m、n交点（存在且唯一）

5.6.9.结论：可以作一个，且只能作一个圆。→确定一个圆

7.10.情况Ⅱ：共线

1.8.11.假设存在圆心O...

2.9.12.则O在m、n上