2026年5月北斗星盟高二数学试题

2025学年第二学期高二阶段性质量检测试卷

高二年级数学试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求。

1.已知集合퐴={0，1，3，4}，퐵={3，4，5，6，7}，则∁퐵(퐴∩퐵)=（）

퐴.{3，4}퐵.{5，6，7}퐶.{1，2，5，6，7}퐷.{1，2，3，5，6，7}

2.命题“∀푥>1，푥2−2푥+1≥0”的否定是（）

퐴.∀푥>1，푥2−2푥+1<0퐵.∀푥≤1，푥2−2푥+1≤0

퐶.∃푥≤1，푥2−2푥+1<0퐷.∃푥>1，푥2−2푥+1<0

2

3.若复数푧=，则|푧+푖|=（）

1−푖

퐴.2퐵.√5퐶.4퐷.5

4.2026年马来西亚羽毛球公开赛中，国羽斩获两金三银，展现出顽强的拼搏精神与团队意识。某

校举办羽毛球团体赛，现从5名男生，5名女生中选出8名组成4队混双(一男一女)参加比赛，则

不同的组合方式有（）种

퐴.25퐵.600퐶.1200퐷.14400

푥푥1푥2

5.已知퐴，퐵两点在曲线푦=푒上，퐶，퐷两点在曲线푦=푙푛푥上，设퐴(푥1，푒)，퐵(푥2，푒).当直

线퐴퐶，퐵퐷均为曲线푦=푒푥和푦=푙푛푥公切线时，则푒푥1+푥2的值为（）

퐴.1퐵.푒퐶.2퐷.푒2

푎2푥−2푎

6.已知函数푓(푥)=푙푛(√푥2−2푥+2+푥−1)与푔(푥)=(푎∈푅)恰有三个交点퐴(푥,푦)，

2푥+211

퐵(푥2,푦2)，퐶(푥3,푦3)，则푥1+푥2+푥3+푦1+푦2+푦3=（）

퐴.-3퐵.0퐶.3퐷.与푎的取值有关

7.已知函数푓(푥)=푠푖푛2푥−√3푐표푠2푥。若对任意푥∈푅，都有푓(푥)≤푚푠푖푛2푥+1，则实数的最小

值为（）

√3−13(√3−1)

퐴.퐵.√3−1퐶.퐷.2√3−1

22

8.已知点퐴，퐵在曲线퐶：푥2−푦2=1(푥>0)上，以点퐴，퐵为切点的关于曲线C的切线交于点푃(푃在

휋

第一象限)，作푃퐻⊥퐴퐵，垂足为퐻，푂为坐标原点.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且∠푃퐴퐻=，则直线푂푃的斜率

퐵퐻=3퐻퐴4

为（）

√2−1√3−1

퐴.퐵.퐶.√2−1퐷.√3−1

22

高二数学学科的试题第1页共4页

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得

6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表：

锻炼次数

频数

根据以上数据，下列结论正确的是（）

퐴.这组样本数据的中位数为2.5

퐵.这组样本数据的平均数为2.4

20

퐶.从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于3次的概率为

39

퐷.若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4

人

10.已知函数푓(푥)=푥3−3푥，下列说法正确的是（）

퐴.若푎∈(−2，2)，则方程푓(푥)=푎有3个不相等的实数根

222

퐵.若푥1<푥2<푥3是方程푓(푥)=푎的3个不相等的实数根，则푥1+푥2+푥3=6

퐶.存在实数푏，使得直线푦=푥+푏与函数푦=푓(푥)的图像有3个不同交点

퐷.对任意实数푡，函数푔(푥)=푓(푥+푡)−푓(푥−푡)都是奇函数

푎푛+1푎푛+1푎푛푎푛

11.已知数列{푎푛}满足：2+4=4+8，푎1=1下列说法正确的是（）

퐴.3<푎3<4

퐵.数列{푎푛}单调递增

푛−1

퐶.存在正整数푛，使得푎푛>2

퐷.数列{푎푛+1−푎푛}单调递增

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，共15分.

12.(푥+1)(푥+2)6展开式中푥3的系数是__________.

13.将6个半径为1的小球放置在一个球形容器中（厚度忽略不计），求球形容器的半径的最小值

_________.

14.已知向量푎，푏⃗是互相垂直的单位向量,向量满足|푐−(3푎+푏⃗)|+|푐−(푎+3푏⃗)|=2푚(푚>

0)，若恰有两个不同的푐使得|푐|取到最大值，则푚的取值范围是_______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

3

15.已知锐角∆퐴퐵퐶中，푎=푏∙푐표푠퐶+√푐∙푠푖푛퐵.

3

(1)求퐵的大小；

(2)若푏=2，求∆퐴퐵퐶周长的取值范围.

高二数学学科试题第2页共4页

16.如图所示，已知三棱锥퐴−퐵퐶퐷中，퐴퐷=3，퐴퐶=퐶퐷=5，퐵퐶=퐵퐷=7，퐴퐵=8.

(1)在棱퐴퐵上取点퐸使퐴퐸=3，证明：퐴퐷⊥퐶퐸.

(2)求二面角퐶−퐴퐵−퐷的余弦值.

17.平面内有一点퐹(1，0)和直线푙：푥=4，动点푇(푥，푦)满足：푇到点퐹的距离与푇到直

1

线푙的距离的比值是.记点푇的运动轨迹是曲线퐸.

2

(1)求曲线퐸的方程；

(2)过퐹且斜率存在的动直线푙与曲线퐸交于퐴、퐵两点，푃是푥轴上的动点，满足|푃퐴|=|푃퐵|.

(푖)求∆푃퐴퐵面积的取值范围；

(푖푖)是否存在定点푄，使得对于任意的动直线푙，都有퐴、퐵、푄、푃四点共圆.

高二数学学科试题第3页共4页

18.甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：

甲每次有1概率传给乙，2概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；

33

已知传球游戏开始前，球在甲手中.

(1)经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少？

(2)经过푛次传球之后，球在甲手中的概率是多少？

(3)已知：若随机变量푋푖服从两点分布，且푃(푋푖=1)=1−푃(푋푖=0)=푞푖，푖=1,2,⋯,푛，则

푛푛

퐸(∑푖=1푋푖)=∑푖=1푞푖.记前푛次（即从第1次到第푛次投篮）传球中，球在甲手中的次数为푌，求퐸(푌).

19.已知函数푓(푥)=푥3−3푥푙푛푥，直线푦=푘푥+푚，其中푘，푚∈푅.

(1)当푚=√2时，若该直线与푦=푓(푥)相切，求푘的值；

(2)求푚的最小值，使得对任意实数푘，方程푓(푥)=푘푥+푚有且只有一个实根.

3푙푛2√2

(3)方程푓(푥)=푥+有三个不同的实根푥，푥，푥(푥<푥<푥)，证明：푥3−푥1>1

24123123

高二数学学科试题第4页共4页

2025学年第二学期高二阶段性质量检测试卷

参考答案

命题人：临平中学天台中学；审题人：慈溪中学终审人：元济中学

1234567891011

BDBBACCCABCABCBD

√10

12.40013.√2+114.[√2，)

2

15【答案】(1)由射影定理知푎=푏∙푐표푠퐶+푐∙푐표푠퐵，

3

∴푐∙푐표푠퐵=√푐∙푠𝑖푛퐵，

3

휋

∴퐵=…………………………分

35

푏휋

(2)푎+푐=(푠𝑖푛퐴+푠𝑖푛퐶)=4푠𝑖푛(퐴+)，

푠푖푛퐵6

휋휋

∵锐角∆퐴퐵퐶，∴퐴∈(，)

62

∴푎+푐∈(2√3，4]，

∴∆퐴퐵퐶周长的取值范围是(2√3+2，6].…………………13分

3

16【答案】(1)取퐴퐷中点푀，∆퐴퐸푀中，퐴퐸=3，퐴푀=，∠，

2퐵퐴퐷=60°

33

∴퐸푀=√，퐸푀⊥퐴퐷，

2

∆퐴퐶퐷中，퐶푀⊥퐴퐷，∴퐴퐷⊥平面퐶푀퐸，

∴퐴퐷⊥퐶퐸.……………………6分

(2)作퐶퐻⊥퐴퐵于퐻，作퐷퐼⊥퐴퐵于퐼，퐻퐶⃗⃗⃗⃗⃗与퐼퐷⃗⃗⃗⃗所成角即为所求角，记为휃，

2222

퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗=퐶퐻⃗⃗⃗⃗⃗+퐻퐼⃗⃗⃗⃗+퐼퐷⃗⃗⃗⃗，平方得|퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|퐶퐻⃗⃗⃗⃗⃗|+|퐻퐼⃗⃗⃗⃗|+|퐼퐷⃗⃗⃗⃗|+2|퐶퐻⃗⃗⃗⃗⃗|∙|퐼퐷⃗⃗⃗⃗|∙(−푐표푠휃)，

53331

其中|퐶퐻⃗⃗⃗⃗⃗|=√，|퐼퐷⃗⃗⃗⃗|=√，∴푐표푠휃=

2215

1

∴二面角퐶−퐴퐵−퐷的余弦值为.…………15分

15

1

17【答案】(1)由题意√(푥−1)2+푦2=|푥−4|∙，

2

1

两边平方得푥2−2푥+1+푦2=(푥2−8푥+16)，

4

푥2푦2

化简得+=1；………………4分

43

(2)(𝑖)设푙퐴퐵：푥=푘푦+1(푘≠0)，设퐴(푥1，푦1)，퐵(푥2，푦2)

−6푘−9

与椭圆联立得(3푘2+4)푦2+6푘푦−9=0，푦+푦=，푦푦=

123푘2+4123푘2+4

1

线段퐴퐵的垂直平分线方程为푦=−푘(푥−)，

3푘2+4

1

∴푃的坐标为(，0)

3푘2+4

1

3

|푃퐹|∙|푦−푦|18(푘2+1)2

푆=12=，

∆푃퐴퐵2(3푘2+4)2

设√푘2+1=푡，푡>1

18푡354푡2(−3푡4+2푡2+1)

푓(푡)=，푓′(푡)=<0，∴푓(푡)单调递减，

(3푡2+1)2(3푡2+1)4

9

∴푆∈(0，)………………10分

∆푃퐴퐵8

(𝑖𝑖)若存在，由图形对称性知点푄在푥轴上，

由相交弦定理知，|퐹퐴|∙|퐹퐵|=|퐹푄|∙|퐹푃|，푄在퐹右侧，

9(푘2+1)

|퐹퐴|∙|퐹퐵|=(푘2+1)(−푦푦)=，

123푘2+4

3푘2+3

|퐹푃|=，∴|퐹푄|=3，

3푘2+4

∴푄的坐标是(4，0)……………15分

51

18【解析】(1)，0，；………………………3分

66

(2)设푛次球之后，球在甲手中的概率是푎푛，在乙手中的概率是푏푛，在丙手中的概率是1−푎푛−푏푛，

푎2푘−1=푏2푘=01

1푎2푘+2=1−푏2푘+1

푎2푘+2=(1−푎2푘+1−푏2푘+1)+푏2푘+12

{2，化简得{2，

1푏=1−푎

푏=(1−푎−푏)+푎2푘+132푘

2푘+12푘2푘32푘

11

∴푎=푎+，

2푘+232푘2

3135311푘

∴푎2푘+2−=(푎2푘−)，푎2=，∴푎=+∙()，

43462푘443

0，푛是奇数

∴푎={푛……………………13分

푛311

+∙()2，푛是偶数

443

푛

(3)퐸(푋)=∑푖=1푎푖，

푛

11

当푛是偶数时，퐸(푋)=(3푛+1−()2)；

83

푛−1

11

当푛是奇数时，퐸(푋)=(3푛−2−()2).……………………17分

83

19【答案】(1)设切点(푎，푎3−3푎푙푛푎)，푎>0，푓′(푥)=3푥2−3푙푛푥−3，

∴切线斜率푘=3푎2−3푙푛푎−3，

∴切线方程是푦=(3푎2−3푙푛푎−3)(푥−푎)+푎3−3푎푙푛푎，

(0，√2)代入化简得2푎3−3푎+√2=0，

2

√2

即(푎−)(푎+√2)=0，

2

233

∴푎=√，∴푘=푙푛2−.……………………4分

222

(2)푥3−3푥푙푛푥=푘푥+푚，

2

푚푚

法一：参变分离得푘=푥2−3푙푛푥−，记푔(푥)=푥2−3푙푛푥−，即求푚的最小值，使得푔(푥)在定义

푥푥

域内单调且值域为푅

3푚2푥3−3푥+푚

푔′(푥)=2푥−+=，

푥푥2푥2

22

分子记为ℎ(푥)=2푥3−3푥+푚，在(0，√)单调递减，(√，+∞)单调递增，

22

∴ℎ(푥)∈[푚−√2，+∞)，∴푚的最小值为√2，

3푥푙푛푥+푚23푥푙푛푥+푚

此时푔′(푥)≥0即푔(푥)单调递增，且lim(푥2−)=−∞，lim(푥−)=+∞，即푔(푥)的

푥→0푥푥→+∞푥

值域为푅

法二：参变分离得푚=푥3−3푥푙푛푥−푘푥，记퐴(푥)=푥3−3푥푙푛푥−푘푥，

即对于任意实数푘，求퐴(푥)中푥与푦一一对应的值域

22

퐴′(푥)=3푥2−3푙푛푥−3−푘在(0，√)单调递减，(√，+∞)单调递增，

22

33

퐴′(푥)=푙푛2−−푘，

푚푖푛22

33

当푘≤푙푛2−时，퐴(푥)单调递增，值域为푅，此时푚∈푅；

22

33

当푘>푙푛2−时，设퐴′(푥)=3푥2−3푙푛푥−3−푘的两个零点为，()

22푥1푥2푥1<푥2

∴퐴(푥)在(0，푥1)单调递增，(푥1，푥2)单调递减，(푥2，+∞)单调递增

∴푚>퐴(푥1)恒成立或者푚<퐴(푥2)恒成立

233