2026年6月温州十校联盟高二数学试题

绝密★使用前

高二数学学科练习

注意事项：

1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。

4.结束后，只需上交答题卡。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z在复平面内对应的点为（-2,1），则z（）

A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i

2.已知集合A0，1，2,3，Bxlnx1，则AB（）

A．B．1,2C．1，2,3D．0,1,2

13

3.(x)展开式中的常数项为（）

x

A．1B．2C．3D．4

11

4.在三角形ABC中，M是线段BC上的一个动点，且满足AMxAByAC，求

xy

的最小值（）

A.2B.4C.8D.1

5．如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则在下列

区间内，f(x)一定存在最大值的是（）

A．（3，2）B．（3，4）

第5题图

C．（0，4）D．（2，5）

2

6．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A,a23，

3

ABC的面积为3，则bc（）

A.4B.6C.23D.43

7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829

1，xQ

年定义了一个“奇怪的函数”：f(x)，其中R为实数集，Q为有理数集．

，

0xCRQ

高二数学学科第1页(共4页)

则关于函数fx的如下四个命题中，不．正．确．的是（）

A.xR，都有ff(x)1

B.xR，yQ，都有f(xy)f(x)

C.x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)

D.x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)

8.一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯中，内部装有高度为h的水，现将一个半径为

2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如右上图），则h3=（）

A.100B.120C.144D.216

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的有（）

A.若，则coscos

B.若，则sincos

2

C.若tan2，则3sincossin22

112

D.若sincos，则sincos

525

10.某学校数学兴趣小组在“探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况”的数学建模活动中，

c2xe

将时间x（分钟）与温度y（摄氏度）的关系用模型yc1e（其中为自然对数的底数）

拟合.设zlny，变换后得到一组数据：

x22.533.54

z4.044.013.98t3.91

由上表可得线性回归方程z0.06x4.16，则（）

A.样本数据x的下四分位数为2.5B．t3.96

当时，残差为4.16

C.x=40.01D.c1e

11.已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，E,F分别为边AB，A1B1的中点，且存在点

P，满足APABAD,,（0,1],则下列选项中正确的是（）

若直线平面点的轨迹长度为

A.C1P//AB1D1,P22

B.若，则直线DP与AC所成角的取值范围是[，]

11162

C.若2，则平面AB1P⊥平面DEF

1

若，则的最小值为

D.|D1P||PF|21

2

高二数学学科第2页(共4页)

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线f(x)exx在x=0处的切线方程为__________.

an1

，an为奇数

若正项整数数列满足，n1，已知则的所有可能取值

13.{an}a2a43,a1

，为偶数

2an1an

的和为__________.

14.暑假即将来临，某同学制定了一个5天游玩5个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩

一个景点，但第一天不去A景点，第二天不去B景点，最后一天不去C景点，其余两天没

有限制，则不同的游玩日程安排有__________种.（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量asinx,cos2x，b2cosx,3，若函数f(x)ab，

（1）求f()的值；

3

（2）求不等式f(x)1的解集.

16.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PAPD,

PAPD，PB6.

(1)求证：平面PAD平面ABCD；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

高二数学学科第3页(共4页)

17.某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整

理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10）：

（1）求图中a的值及平均值x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(，2)，其中近似

为样本平均数x，方差2121.利用该正态分布求P(65.5Z98.5)；

（3）现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5

件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止

时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望.

参考数据：

若Z~N(，2)，则P(Z)0.6827，P(2Z2)0.9545

*

18.数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知2Snn（2an），nN.

（1）求证：{an}是等差数列；

（2）已知a2=3，

an

(Ⅰ)若bn（an1）3，求数列{bn}的前n项和；

n*

(Ⅱ)若在ak和ak1之间插入{2}的前k项（kN），得到新数列{cn}，且{cn}的前n

项和为Tn，求Tn>2026时，n的最小值.

a

19.已知f(x)(1a)lnxx2a；

x

（1）讨论f(x)的单调性；

（）若；

2f(x1)f(x2)0，且x1x2

求的取值范围；求证：

(Ⅰ)a(Ⅱ)x1x22a.

高二数学学科第4页(共4页)

高二期末数学参考答案

一、单选题

12345678

ABCBCADB

二、多选题

91011

BDABDACD

三、填空题

12.y=2x+113.2414.64

15.解：（1）f(x)=2sinxcosx−3cos2x

=sin2x−3cos2x

=2sin（2x−）………………4分

3

（如果化简过程写在第二问，则在第二问中加2分，下面直接求值即给4分）

f()=2sin=3…………6分

33

（说明：向量的数量积对了给1分，二倍角公式对了给1分；若函数没有化简，直接算出答案给4分）

（2）由（1）知2sin（2x−）1

3

1

sin（2x−）…………………………8分

32

5

2k+2x−2k+,kz…………………11分

636

7

所以k+xk+,kz

412

7

即不等式的解集为[k+,k+],kz………………13分

412

16.（1）在四棱锥P-ABCD中，

∵PA=PD，PA⊥PD，∴三角形PAD为等腰直角三角形.

取AD中点O，连接OB.则OP⊥AD………………2分

∵四边形ABCD为正方形，∴OB=5，OP=1，∴OB2+OP2=PB2.∴OP⊥OB.…………………4分

又∵OB∩AD=O，且OB,AD平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD.………………6分

1

又∵OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.………………7分

（2）法一：（建系）由（1）得，如图，以OA为x轴，垂直AD为y轴，OP为z轴.

P（0,0,1），B（1,2,0），C（-1,2,0），D（-1,0,0）………………9分

（建系正确，并给出两个点坐标，给2分）

∴DP=(1,0,1)，DC=(0,2,0)，PB=（1,2,−1）

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，

DPn=x+z=0

,令z=1,则n=(−1,0,1)，………………12分

DCn=2y=0

（若法向量错误，有法向量运算列式，给2分）

PBn3

∴cosPB,n==

|PB||n|3

3

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为………………15分

3

（答案错误，有向量运算公式，给2分）

BQ⊥QC

法二：（补型）直三棱柱PAD-QBC，可证BQ⊥平面PDCQ

BQ⊥QP

∴∠BPQ为直线PB与平面PDC所成角的平面角.

QB23

在RtPBQ中，sinBPQ===

PB63

11

法三：（等体积）由V=V得：Sd=SOP，解得：d=2.

B−PDCP−BCD3PDCB3BDCB

d23

∴sin=B==

PB63

（以上法二、法三不同解法，酌情给分）

17.（1）a=0.035；x=76.5………………6分

（a和各3分）

0.9545−0.6827

（2）P(65.5Z98.5)=+0.6827=0.8186…………………10分

2

211

（3）P（X=2）==

5410

2

3213213

P（X=3）=2+=

54354310

2323

P（X=4）=3=

5435

X234

P133

10105

………13分

1337

E(X)=2+3+4=……………………15分

101052

（分布列对直接给3分，分布列错，一个概率对给1分，E（X）错的话，有列式给1分）

18.（1）法一：当n=1时，a1=2

2S=n(2+a)

nn

2Sn−1=(n−1)(2+an)(n2)

2an=2Sn−2Sn−1=nan−(n−1)an−1+2

(n−2)an−(n−1)an−1+2=0(n3)1

aa2

n−n−1+=02

n−1n−2(n−1)(n−2)

a−2a−2

n−n−1=0（n3）3

n−1n−2

an−2

是常数列，设该常数为k，则an=k(n−1)+2，（n2)，

n−1

a2=k+2，a2−a1=k也符合上式，因此an是等差数列。…………5分

法二：

3

2Sn=n(2+an)

2Sn−1=(n−1)(2+an)(n2)

2an=2Sn−2Sn−1=nan−(n−1)an−1+2

(n−2)an−(n−1)an−1+2=0①1

2Sn−2=(n−2)(2+an-2)(n3)

(n−3)an-1−(n−2)an−2+2=0②2

②-①

an+an−2=2an−14

则数列an是等差数列…………………………5分

法三：

当n=1时，解得a1=2

当n=3时，2S3=（32+a3)=3(a1+a3)

即（2a1+a2+a3)=3(a1+a3)

2a2=a1+a3,a1,a2,a3成等差数列……………………1

猜想an=a1+(n−1)d,d=a2−a1

（i）n=1,2,3时，a1,a2,a3成等差数列，猜想显然正确，

（ii）假设nk（k3)时猜想正确

k(k−1)

即a=a+(k−1)d,S=ka+d……………………2

k1k12

则当n=k+1时，2Sk+1=(k+1)(a1+ak+1)

（2Sk+ak+1)=(k+1)a1+(k+1)ak+1……………3

2ka1+k(k−1)d=(k+1)a1+(k−1)ak+1

（k−1)ak+1=(k−1)a1+k(k−1)d………………4

k3,k−10

ak+1=a1+kd=a1+[(k+1)−1]d

n=k+1时，猜想也正确，

4

*

综上所述，an=a1+(n−1)d,对nN都成立，………………5

an是等差数列

n+1

(2）（Ⅰ）a2−a1=3−2=1，an=2+(n−1)1=n+1，bn=n3，……………7分

（说明：算出a1给1分，算出an给1分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得

分）

设数列bn的前n项和为Hn

234n+1

Hn=13+23+33++n3①

34n+1n+2

3Hn=13+23++(n−1)3+n3②

②−①

234n+1n+2

−2Hn=3+3+3++3−n38

9(1−3n)

=−n3n+2

1−3

3n+2−9

=−n3n+2

2

(1−2n)3n+2−9

=10

2

(2n−1)3n+2+9

H=…………………11分

n4

（2）(Ⅱ）插入的k项之和为：21+22++2k=2k+1−2;

11212k

新数列{cn}为：a1,2,a2,2,2,a3,ak,2,2,2,ak+1，………………12分

11212k

将此数列分成若干组，a1,2为第一组；a2,2，2为第二组；……ak,2，2,,2为第k组

2（1-2k)

a与a之间的k项数列的和为：=2k+1−2

kk+11-2

k+1k(k+3)

数列C取到后的第k项时：n=k+=

n22

前k组之和为：

11212k

Tn=a1+2+a2+2+2++ak+2+2+2

234k+1

=(a1+a2+ak)+(2+2+2+2−2k)

k(2+k+1)4(1−2k)

=+−2k

21−2

5

k2−k−8

=+2k+2

2…………………………15分

Tn显然随k的增大而增大，

64+24

当k=8时，n==44，T=1048<2026,

244

2026-1048=978，a44再往后取m项，使m项的和大于978，

12mm+1

即：a9+2+2+2=2+8978，

2m+1970,当m=8时，29=5