2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试卷4

2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册

第25章一元二次方程单元测试卷4满分100分时间90分钟一、选择题（共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．x2+y=11 C．x2−13=0 2．将一元二次方程2x−x(x−3)=3化为一般形式，正确的是（

）A．5x−x2=3 B．x2−5x=−3 3．用配方法解方程x2+10x+9=0，变形后的结果正确的是（A．x+52=16 B．x+52=25 C．4．若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2026−6A．2023 B．2024 C．2025 D．20265．下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（

）A．x2+1=0 C．x2+2x+1=0 6．已知实数a，b满足a2+2b2aA．5或−2 B．−5或2 C．5 D．27．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（

）A．12n(n−1)=136 C．12n(n+1)=136 8．三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（A．10 B．11 C．10或12 D．129．关于x的方程x2+m+3x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，那么A．−1≤m<0 B．−1<m≤0C．−2≤m<−1 D．−2<m≤−110．对于一元二次方程ax2+bx+c=0①若方程的两个根为−2和1，则2b+c=0；②若a+b+c=0，则方程一定有解；③若ab−bc=0，且ac④若am2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共15分）11．若关于x的方程xm+1−2x−5=0是一元二次方程，则m=12．方程x2=4x的根是13．对于非零的两个实数a、b，规定a⊗b=2b−1a．若x⊗14．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的数，则其中x的值是____．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−x+t=0的两个实数根，则三、解答题（共55分）16．（6分）解方程：(1)x2(2)3xx−517．（7分）已知关于x的一元二次方程a−3(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个根均为整数，求a的值．18．（8分）已知关于x的方程x2−p+2(1)利用判别式判断该方程的根的情况；(2)C是线段AB上一点，AB=p，AC的长t是该方程的一个根，且2t(p−t)=1．①求证p−t=1；②确定点C在线段AB上的位置，并说明理由．19．（8分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12 m．计划建造车棚的面积为80 m2，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为(1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54 20．（8分）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．

素材2该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售

(1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度(2)解决果园种植的预期利润问题（总利润=销售利润−承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？21．（9分）已知不等边△ABC的三条边分别为BC=a，AC=b，AB=c．(1)若a+c=2b，求b−ca−b(2)已知D为BC边上一点，连接AD，若△ABD与△ACD的周长相等，求BD的长；(3)若关于x的一元二次方程a−bx2+c−ax+22．（9分）阅读与思考下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．“相似系”一元二次方程【概念理解】在一元二次方程ax2+bx+c=0abc≠0中，当【问题1】若关于x的一元二次方程2x2+bx+5=0是“相似系”一元二次方程，则【问题2】若关于x的方程x2+bx+c=0为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为x=−1，求出解：∵方程为“相似系”一元二次方程，∴c……任务：(1)问题1中，“▲”应填写_____．(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．(3)已知Rt△ABC（∠C=90°）的三边分别是AB=c，BC=a，AC=b，且关于x的方程2ax参考答案一、选择题题号12345678910答案CCABDCADDC二、填空题11．112．x1=013．12或14．1615．1三、解答题16．（1）解：xxxx−3x−3=±解得：x1=3+11（2）解：3x3xx−5x−5=0或3x+2=0解得：x1=5，17．(1)证明：方程为一元二次方程，故a−3≠0即a≠3，判别式Δ=∴方程总有两个实数根．（2）解：由求根公式得

x=计算得x1=2∵两根均为整数，∴1∴a−3=±1，解得a=4或a=2．18．(1)该方程有两个不相等的实数根(2)①证明：∵AC的长t是该方程的一个根，∴t2−p+2∵2tp−t∴2pt−2t①+②，得4p−4t=4．∴p−t=1．②解：C在线段AB靠近A的三等分点处，即AC=1∵2tp−t∴t=1∴AC=119．（1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有x≤12 则车棚的另一边的长度为：26 根据车棚的面积：28−x2解得：x=8（x=20不符合题意舍去），则车棚的另一边的长度为：28−x2即：这个车棚的三边长分别应为10米、10米、8米；（2）设小路的宽为a米，即有a<8，如图，将小路平移，则根据题意有：10−a×解得：a=1（a=13不符合题意舍去），即小路的宽度是1米．20．（1）解：根据题意得：300−2x200−2×2x整理得：x2解得：x1=10，∴道路宽度为10米；（2）设每平方米草莓平均利润下调y元，100−y整理得：y2解得：y1=10，又∵从客户的角度考虑，要让利于顾客，∴y=40．答：每平方米草莓平均利润下调40元．21．(1)1(2)BD=(3)证明：设一元二次方程a−bx2+c−ax+∴(a−b)x−(b−c)(x−1)=0∴x1=b−c∵关于x的一元二次方程a−bx∴x1=x∴a−b=b−c，∴a+c=2b，即c=2b−a，∵2a+b=2c，∴2a+b=2(2b−a)，b=2c−2a，即2b=4c−4a，∴2b=a+c=4c−4a，∴4a=3b，5a=3c，即a:b=3:4，a:c=3:5，∴a:b:c=3:4:5，设a=3k，则b=