甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题含答案

酒泉市普通高中2025～2026学年度第二学期期末考试

高二数学试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第4章、选择性必修第二册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,一5),

则顶点D的坐标为

A.(1,-13,3)B.(—5,1,-7)C.(5,-1,7)D.(—1,13,-3)

2.已知f(x)=sin2x+e²ˣ,则f(x)=

A.2cos2x+2e²B.cos2x+e²x

C.2sin2x+2e²xD.—2cos2x+2e²x

3.算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档(如

图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁

上一珠拨下，记作数字5,梁下四珠，上拨一珠记作数字1(如图2算盘表示整数51).若拨动图

1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为

A.6

B.8

C.10十位个位十位个位

D.15图1图2

4.若,则P(B)等于

BD

5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)23456

销售额y(万元)1925343844

根据上表可得回归直线方程为y=6.3x+a,则下列说法正确的是

【高二期末考试·数学第1页(共4页)】

A.回归直线y=6.3x+a必经过样本点(2,19),(6,44)

B.这组数据的样本中心点(x,y)未必在回归直线y=6.3x+a上

C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元

D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元

6.函数f(x)的定义域为R,它的导函数f(x)的部分图象如图所示，则下y

列结论正确的是

A.在(1,2)上函数f(x)为增函数

B.在(3,5)上f(x)为增函数

C.在(3,5)上函数f(x)有极大值

D.x=3是函数f(x)在[1,5]上的极小值点

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB,则下列数

量积中最大的是

A.BD·PC

B.PB·PC

C.BC·PC

D.PA·PC

8.若eˣ—ax≥lnax—x(a>0,x>0),则实数a的取值范围为

BC.(0,e)D.(e,十∞)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.将2男2女共4个优秀毕业生分配给A,B,C,D四个公司，每人只去一个公司，则下列说法

正确的是

A.共有24种分配方法

B.每个公司都有分配到人，有24种分配方法

C.恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法

D.每个公司都有分配到人，且公司A只要女生，有12种分配方法

10.下列结论正确的是

A.若随机变量X服从两点分布，,则

B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+1)=6

C.若随机变量ξ服从二项分布,则

D.若随机变量η服从正态分布N(1,c²),P(η<2)=0.82,则P(0<η<2)=0.64

11.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2,AA₁=3,D为BC的中点，则

A.直线A₁B⊥平面ADC₁

B.点B₁到平面ADC₁的距离

C.异面直线A₁B₁和C₁D所成角的余弦值为

D.平面A₁BC⊥平面ADC₁

【高二期末考试·数学第2页(共4页)】

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(1+x)⁵+(1—x)⁶展开式中，含x⁴的项的系数是.(用数字表示)

13.某校有20名同学报名参加全市数学竞赛选拔赛，其中来自高一的有8人，来自高二的有8人，

来自高三的有4人.高一、高二、高三学生能通过选拔进入比赛的概率分别为0.4,0.7,0.9,则

从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是

14.如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D中，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD

=60°,AB=AD=AA₁=1,则A₁C=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

已知函数f(x)=x³+ax+1在x=-1处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)当x∈[-1,2]时，求函数f(x)的最大值和最小值.

16.(本小题满分15分)

某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2名参加学校举办的文艺汇演活动.

(1)求男生甲被选中的概率；

(2)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率；

(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

17.(本小题满分15分)

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2,P为棱BC的中点，Q为侧面A₁ABB₁内

的一点，已知BQ=AQ,PQ=2.

(1)求证：PQ//平面AA₁C₁C;

(2)求PQ与平面ABB₁A所成角的正弦值；

(3)求点Q到平面A₁CP的距离.

18.(本小题满分17分)

已知函数(其中a为常数).

(1)若a=-2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)当a<0时，求函数y=f(x)的最小值；

(3)当0≤a<1时，试讨论函数y=f(x)的零点个数，并说明理由.

【高二期末考试·数学第3页(共4页)】

19.(本小题满分17分)

直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力

量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显

示，2025年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周

内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示.若将销售主播按照年龄分为“年轻人”

(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为

6或6以上的称为“经常使用直播销售用户”,使用次数为5或不足5的称为“不常使用直播

销售用户”,则“经常使用直播销售用

直播销售主播年龄等级分布一周内直播销售的频率分布

50.0%8~9次

40.0%19.2%

34.5%

30.0%6~7次超过9次

30.1%10.7%

20.0%14.1%不超过3次

10.0%-4.7%4~5次18.2%

0L1.2%21.8%

19岁及以下20~29岁30~39岁40～49岁50～59岁

图1图2

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方

法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联

表判断是否有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关；

年轻人非年轻人合计

经常使用直播销售用户

不常使用直播销售用户

合计

附：

0.150.100.010

P(x²≥x₀)0.0500.025

xo2.0722.7063.8415.0246.635

(2)某投资公司在2026年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有

两种销售方案供选择：

方案一：线下销售.根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%,可能

亏损15%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：

方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%,可能

亏损30%,可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：

针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并

说明理由.

【高二期末考试·数学第4页(共4页)】

酒泉市普通高中2025～2026学年度第二学期期末考试·高二数学试卷

参考答案、提示及评分细则

1.D2.A3.B4.B5.D6.A7.B8.C

9.BCD10.AD11.BC

12.2013.0.6214.√2

15.解：(1)因为f(x)=3a²+a,2分

因为f(x)在x=-1处取得极值，所以f'(-1)=0,解得a=-3,经检验符合题意，

所以a=-3.…………………………4分

(2)由(1)得f(x)=x³-3x+1,f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x—1),

令f(x)=0,解得x=-1或x=1.………………………8分

当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表所示：

x-1(-1,1)1(1,2)2

f(x)0负0正

f(x)3递减极小值-1递增3

………………11分

所以当x∈[-1,2]时，函数f(x)的最大值为3,最小值为-1.…………13分

16.解：(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,从6名成员中挑选2名成员，有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,

BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共有15种情况，

记“男生甲被选中”为事件M,不妨假设男生甲为A,事件M所包含的基本事件数为AB,AC,AD,Aa,Ab,共

有5种，故

或……………………5分

(2)记“女生乙被选中”为事件N,不妨假设女生乙为b,则事件MN包含的基本事件为Ab,只有1种，所以

…………………7分

或………………………7分

又由(1)知,所以在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率为

(3)记“挑选的2人一男一女”为事件S,则事件S包含的基本事件有8种，

所以,……………12分

或………………………12分

【高二期末考试·数学参考答案第1页(共4页)】

记“女生乙被选中”为事件N,则,……………13分

或……………………13分

则在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为

17.(1)解法一：以A为原点，建立如图空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A₁(0,0,2),C₁(2,2,2).

因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0)1分

因为Q为侧面A₁ABB₁内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤≤2.

因为PQ=2,所以(2-1)²+(1-0)²+(0-t)²=4→t=√2.

所以Q(1,0,√2).………2分

所以PQ=(-1,-1,√2).

又因为BDLAC,BDLAA,AC,AA₁C平面AA₁C₁C,且AC∩AA₁=A,

所以BD⊥平面AA₁C₁C.

所以BD=(-2,2,0)为平面AA₁C₁C的法向量.………3分

因为PQ·BD=(-1,-1,√2)·(-2,2,0)=0,且PQC平面AA₁C₁C,

所以PQ//平面AA₁C₁C.………………5分

解法二：因为BQ=AQ,设AB的中点为M,连接QM,则QMLAB,

所以在正方形ABB₁A中，QM//AA,且QMC平面ACC₁A,AA₁C平面ACC₁A₁,

所以QM//平面ACCA₁.

又因为P为棱BC的中点，M为AB中点，连接PM,则PM//AC,

且PMC平面ACC₁A₁,ACC平面ACC₁A₁,所以PM//平面ACC₁A,

因为QM∩PM=M,QM,PMC平面PQM,所以平面PQM//平面ACCA,

PQC平面PQM,所以PQ//平面ACC₁A₁.5分

(2)说明：若第(1)问用解法二，则第(2)问需要先建立空间直角坐标系，若第(1)问用解法一，则第(2)问可直

接利用第一问的向量坐标，从求平面法向量开始即可.

以A为原点，建立如图空间直角坐标系.

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A₁(0,0,2),C(2,2,2).

因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0).

因为Q为侧面A₁ABB内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤I≤2.

因为PQ=2,所以(2—1)²+(1-0)²+(0—t)²=4→t=√2.

所以Q(1,0,√2),所以PQ=(-1,-1,√2).…………6分

在正方体ABCD-AB₁CD中，AD⊥平面ABBA,

所以AD=(0,2,0)是平面ABB₁A₁的一个法向量，………………7分

【高二期末考试·数学参考答案第2页(共4页)】

又因为PQ=(-1,-1,√2),设PQ与平面ABB₁A₁所成角为θ,

即直线PQ与平面ABB₁A所成角的正弦值为………10分

(3)因为A₁C=(2,2,0),A₁P=(2,1,-2).

设平面A₁CP的法向量为m=(x,y,z),

则令x=2可得m=(2,-2,1).……………11分

所以PQ·m=(-1,-1,√2)·(2,-2,1)=√2.

所以Q点到平面A₁C₁P的距离为

18.解：(1)当a=-2时，可得,可得

所以f(2)=2且f(2)=4-21n2,………………………2分

所以切线方程为y—(4—21n2)=2(x—2),即2x-y-21n2=0,

所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为2x-y—21n2=0.……·5分

(2)由函数,可得函数f(x)的定义域为(0,十∞),

又由,令f(x)=0,解得x₁=a,xj=1,

当a<0时，f(x)与f(x)在区间(0,+∞)的情况如下表：

x(0,1)1(1,+∞)

f'(x)一0十

f(x)极小值↗

所以函数的极小值为,也是函数f(x)的最小值，

所以当a<0时，函数f(x)的最小值为…………10分

(3)当a=0时，令f(x)=0,解得x₁=2,x₂=0(舍去),

所以函数y=f(x)在(0,十∞)上有一个零点；……………13分

当0<a<1时，f(x)与f(x)在区间(0,+∞)的情况如下表：

x(0,a)a(a,1)1(1,十∞)

f(x)十0一0十

f(x)1极大值极小值↗

所以函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，此时函数f(x)的极大值为

【高二期末考试·数学参考答案第3页(共4页)】

alna<0,所以函数y=f(x)在(0,1)上没有零点；………14分

又由且函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，且当x→+∞时，f(x)→+∞,

所以函数f(x)在(1,+∞)上只有一个零点………………16分

综上可得，当o≤a<1时，f(x)在(0,十∞)上有一个零点.…………17分

19.解：(1)由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30.1%+19.2%+10.7%)×200=120人，其中年轻

人有

由图1知，样本中的年轻人有(45.5%+34.5%)×200=160人，…………2分

补充完整的2×2列联表如下，

年轻人非