高级基础统计 1

第八章预测第8章预测对于制定成功的计划，精准的预测至关重要。因此，预测已成为商业中或是政府部门运用计量经济学的首要目标。预测未来事件的方法有很多：一方面，有些预测所用到的预测模型包含数百个方程；另一方面，有些很准确的预测却仅仅只是靠很好的想象力以及适度的自信心。遗憾的是，用短短的一章，想要清楚地讲述预测，哪怕是其中的一小部分知识都不现实。事实上，有很多非常好的书籍和期刊专门探讨预测问题。因此，本章的主要目的是，简要介绍统计学在预测中的应用。本章首先用简单的线性模型介绍预测；接着讲述比较复杂的预测；最后，介绍一种用ARIMA模型预测的方法并对其进行拓展延伸。ARIMA模型预测完全依靠被解释变量过去的变化，而不用任何别的解释变量。ARIMA几乎被当作一种标准预测，因此，就算不是基于经济学原理，理解ARIMA模型也非常重要。•8.1什么是预测•8.2比较复杂的预测•

8.3ARIMA模型•8.4SARIMA模型：处理季节性时间序列的扩展章节目录8.1什么是预测8.1

什么是预测总的来说，预测就是预期未来。在计量经济学中，预测指的是运用不属于同一数据集的观测值来估计被解释变量的期望值。尽管绝大多数的预测都是预期未来时间段的值，然而，用截面数据模型预测不属于样本范围内的国家或民族的情况也很常见。为了简化专业术语，在本章中预测和预期两个词可以互换。预测可分为两步：（1）设定并估计一个方程，所要预测的是该方程的被解释变量的值。通过为预测的变量设定方程并进行估计，得到预测方程：用来表示样本容量是时间序列预测中的标准做法（t代表“时间”）。8.1

什么是预测（2）获得各个解释变量观测值的预测值，并把它们代入预测方程。为了用刚刚的方程计算预测值，就要得到变量和在期时的值，然后代入方程：代表什么？它代表基于之前方程所得到的预测值，它是期（样本范围外）时，根据变量和的值所预测的Y的值。8.2比较复杂的预测8.2

比较复杂的预测前面所讲的预测都比较简单，但事实上，绝大多数的预测都包含其他更多的问题。例如：（1）变量的值未知。实际上，除已知样本外解释变量的值都不可知。（2）序列相关。如果存在序列相关，预测方程就要用广义最小二乘法来估计。当预测方程是用广义最小二乘法估计时，应该怎样调整预测值？（3）置信区间。前面所估计出来的都是单个值，但是，这些单个值几乎不可能完全准确。那么，当真实值在该区间的概率为某一特定值时，估计一个置信区间不是更好吗？应该怎样计算置信区间？（4）联立方程模型。在第5章中提到，很多经济学或商业上用到的方程都属于联立方程模型。如果想要预测的被解释变量的变化反过来又会导致解释变量的变化，那么，怎么能用这个解释变量来预测被解释变量呢？仅仅几个这样的问题，就足以说明预测其实比第8.1中所讲的要复杂得多。8.2.1

条件预测（在预测期变量X的值未知）若知道所有解释变量在预测期的确切值，则把这种预测称为无条件预测（unconditionalforecast）。但是，正如前面所讲，能够进行这种无条件预测的情况非常少见。由于通常都会有一个或是更多未知变量，因此，更多时候需要进行条件预测。条件预测在预测被解释变量的值之前，必须先预测解释变量的值。也就是说，对被解释变量的预测是以对解释变量的预测为条件的。条件预测准确性的关键在于能够准确地预测解释变量的值。如果解释变量的预测值无偏，那么，用条件预测的被解释变量的值也是无偏的。对解释变量的值的预测再怎么完美也会有误差，从而条件预测的预测误差的方差将会比无条件预测的大。因此，在进行条件预测时，要选择解释变量的无偏的、最小方差的预测值。要想得到解释变量较好的预测值，就应该在最初进行模型设定时，充分考虑各个潜在解释变量的可预测性。8.2.1

条件预测（在预测期变量X的值未知）例如，在考虑应在方程中加入哪两个多余的变量用于预测时，就应该选择能够被准确预测的变量。如果可以，应尽量选择已经被别人预测出来的解释变量（例如，一家计量经济学预测公司预测的），这样自己就不用再进行预测。有时候，若从一开始做到谨慎选择解释变量，就能够有效避免使用条件预测。如果解释变量是领先指数的函数，那么，就可能不用条件预测。领先指数（leadingindicator）是指其变化先于被解释变量的解释变量。最有名的领先指数是领先经济指标指数，这些指数每月发布一次。例如，利率对投资的影响，一般要在利率变化2-3个季度以后才表现出来。回顾有投资函数模型：式中，I代表总投资；Y代表GDP；r代表利率。从方程可以看出，r可用来预测下一期的投资。然而，要预测就必须先预测。因此，用r这样的领先指数进行预测时，如果只预测之后一两期的值就可以避免条件预测。对于长期预测而言，条件预测通常是必需的。8.2.2误差项序列相关时的预测回顾第7章，如果是纯1阶序列相关，则表明当期的误差项受它的前1期与自相关系数的影响，即式中，代表序列不相关的误差项。当序列相关较为严重时，可以用广义最小二乘法估计：然而，当使用广义最小二乘法来解决方程存在的纯1阶序列相关时，用该预测程序就变得很复杂。因此，如果用广义最小二乘法方程来进行预测，则预测的是的值而非的值。该预测值并不是真正需要的预测结果。如果预测值是用广义最小二乘法方程来预测的，那么，在预测之前就应该解出：如果将t换为，并将参数、自相关系数以及解释变量的估计值代入方程，得：若方程是用广义最小二乘法来估计的，那么，就应该用这个方程进行预测。8.2.3

预测置信区间到目前为止，我们重点讨论的都是如何获得某一点的估计值。无论是在参数估计还是在预测时都是这样。前面提到，点估计所得的结果仅仅是其中一种情况，当样本不同或是解释变量不同（预测时）时，所得结果也会不同。如果同时能够获得这些预测值的变化情况，那么这些点估计值的应用价值将会提高。通常用置信区间来衡量这些预测值的变化情况。在进行预测时存在样本差异。在假设检验中用到的方法同样也适用于构造置信区间。给定一个预测值，要获得一个围绕预测值的置信区间，就需要知道t统计量的临界值（给定的置信水平下），还需要知道估计量的标准差，于是t统计量的临界值可以在统计表B-1中找到（对自由度为的双侧检验）。当只有一个解释变量时，预测的标准差等于预测误差方差开平方根：8.2.3

预测置信区间从之前的方程可以看出，预测误差的方差会随着样本的扩大而减小，样本中变量X的值越多，就越接近于其样本均值。另外，用来预测被解释变量Y的解释变量X离样本均值越远，的置信区间的范围越大。这一点可以从下图中看出，当离均值较远时，置信区间的范围较大。既然预测样本范围外的值是很常见的，在进行预测时就应该注意这个问题。的置信区间8.2.4

用联立方程组进行预测正如在第5章中所讲，大多数的计量经济学或商业模型实际上都是联立的。例如，本章第8.2节中提到的投资方程就是用两阶段最小二乘法估计的，这个方法正是第5章中的宏观经济联立方程模型的一部分。既然GDP是投资方程中的解释变量，而且当投资增加时，GDP也会增加，那么，如果只用一个方程来进行预测，模型就不能反映投资对GDP的反馈影响。那么，在联立方程模型背景下应该怎样进行预测呢？这个问题有两种答案，主要是看模型中各个方程的右边是否存在滞后内生变量。如果模型中不存在滞后内生变量，那么，特定内生变量的简约式方程可以用来进行预测，因为它代表着要预测的内生变量的联立解。既然简约式方程是用内生变量以前定变量的形式表示的，这就使得预测内生变量不用考虑任何的反馈或是联立影响。8.2.4

用联立方程组进行预测这个结果解释了为什么有的研究者在使用单一方程预测潜在的联立的解释变量时，方程中同时包含有供给方和需求方的前定变量。他们其实是在用调整后的简约式方程来进行预测。如果模型中存在滞后内生变量，那么预测时就要考虑滞后内生变量引起的相互作用。对于简单的模型而言，有时可以替换简约式方程中出现的滞后内生变量。如果这样做很困难，那么就要用到一种叫作模拟分析的方法。模拟包含用简约式方程预测第一个样本时期简约式方程中出现的内生变量；在预测第二个样本时期时，用上一期的内生变量的预测值作为方程中滞后一期的内生变量的值，对于滞后两期或两期以上的内生变量继续使用样本值。这个过程一直持续到预测所用的简约式方程中各个滞后内生变量都可以用前面各期的内生变量的预测值来替代为止。尽管这种分析方法不是本章要讲的内容，但是在用联立方程模型进行预测时它是非常重要的。8.3ARIMA模型8.3ARIMA模型前两节介绍的预测方法通常应用于较为常见的回归模型。用线性回归方程来预测被解释变量时，是将解释变量的值代入估计方程中计算出被解释变量Y的预测值。对被解释变量的预测是基于解释变量的（以及基于估计参数）。ARIMA（后面会简单地介绍这个名称）是一种应用得越来越广泛的预测方法。该方法在预测时完全不考虑解释变量。ARIMA是一种高度精练的曲线拟合方法，能用被解释变量的过去值与现在值来精确地预测该变量短期内的值。当试图用一个传统的计量经济学模型解释和估计一个变量的内部结构时（如消费函数和货币需求函数），ARIMA将这些结构视为“黑盒”并简捷地分析变量之间的相关模式来预测它。例如，证券分析师预测股票市场价格就是基于股票价格过去的变化情况。8.3ARIMA模型任何不考虑解释变量的预测方法在预测时也不需要考虑潜在的理论，除非假设要研究的变量存在某种不断重复的变化。既然前面已经强调了估计方程前理论基础的重要性，那为什么还提倡使用ARIMA呢？这是因为出现下列情况时使用ARIMA是很合适的：不了解将要预测的被解释变量；解释变量很重要但是却不能被准确地预测；或是仅仅只需要预测之后的一期或两期。在这些不同的情况下，用ARIMA来进行短期预测要比回归模型预测更好。ARIMA尤其适合预测样本或预测期间没有大结构变化的系统。在这种情况下，样本外的预测中，简单的ARIMA可以超过复杂的计量经济学模型接近最先进的宏观模型（依据主要宏观变量的预测）。另外，ARIMA有时候能够更好地解释回归方程的残差（例如，由省略了某些变量或其他问题引起的）。除了以上这些情况，其他时候并不建议使用ARIMA。以上对ARIMA的介绍是非常简短的，关于这个问题更为完整的介绍可以参见其他资料8.3ARIMA模型ARIMA方法在一个方程中包含两种不同的设定（又叫过程）。第一个设定是自回归过程（ARIMA中的AR），第二个设定是移动平均过程（即MA）。自回归过程（autoregressiveprocess）是指被解释变量是该变量过去值的函数。如果有p个不同的Y的滞后值，那么，方程又叫作“p阶”自回归过程。移动平均过程（moving-averageprocess）是指被解释变量是误差项过去值的函数。这个函数是误差项过去观测值的移动平均，用它加上Y的均值就可以得到Y的过去值的移动平均。如果用到q个的过去值，那么就叫作“q阶”移动平均过程。构造一个ARIMA模型，首先在不包含解释变量的计量经济学方程中加入自回归过程以及移动平均过程：式中，和分别代表自回归过程和移动平均过程的参数；p和q分别代表Y和过去值的个数。在将该方程应用于时间序列分析之前，必须保证该时间序列是平稳的。8.4SARIMA模型：处理季节性时间序列的扩展8.4SARIMA模型：处理季节性时间序列的扩展在现实世界中，许多时间序列不仅存在趋势（如经济增长、气温变化），还具有季节性波动（如月度电力消耗的季节峰谷、季度零售销售的节日效应）。传统ARIMA模型擅长处理平稳化的趋势性数据，但对周期性重复的季节性变化缺乏针对性。为此，季节性时间序列SARIMA（SeansonalARIMA）模型应运而生，它是ARIMA的扩展，专门用于分析和预测包含季节性特征的时间序列。季节性时间序列SARIMA是指那些在固定时间间隔内呈现重复模式的数据序列，可以支持带有季节性成分特点的时间序列数据。这种季节性波动通常由外部周期性因素引起，例如气候更替、节假日周期、商业活动规律等。它在ARIMA模型的基础上增加了4个季节性参数，分别是3个超参数（P,D,Q）和季节性周期参数s。SARIMA模型的参数概念与特点如下表所示：8.4SARIMA模型：处理季节性时间序列的扩展参数概念特点非季节自回归的阶数针对AR模型，借PACF确定。若ACF拖尾、PACF

p

阶截尾，对应阶数

p非季节移动平均的阶数针对MA模型，借ACF确定。若PACF拖尾、ACF

q

阶截尾，对应阶数

q一步差分次数差分操作的执行次数，做几次一步差分，d

就为几季节自回归的阶数（通常≤3）依据PACF推断，若季节长度为12，看滞后12、24、48阶等偏自相关系数，如滞后24阶显著则

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