2026年广东省清远市清城区中考数学模拟试卷（一）（含解析）

/2026年广东省清远市清城区中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）温度上升3℃，记为+3℃，温度下降2℃，记为（）A．2℃ B．﹣2℃ C．1℃ D．﹣1℃2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线3．（3分）近年来，国内AI发展迅猛，AI应用到生活多个领域，据统计，DeepSeek应用上线20天后，日活跃用户达22150000，数据22150000用科学记数法表示为（）A．0.2215×108 B．2.215×107 C．2.215×106 D．2215×1044．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．（2x）3＝6x3 C．（x3）2＝x5 D．x5÷x3＝x25．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝15°，则∠β的度数为（）A．45° B．40° C．30° D．15°6．（3分）3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（）A．23，23 B．23，22.5 C．22，23 D．24，237．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（）A． B． C． D．8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝39．（3分）如图，四边形ABCD的两边AD，CD与⊙O相切于A，C两点，点B在⊙O上，若圆的半径为9，∠D＝80°，则∠B所对的弧长为（）A．3π B．4π C．5π D．6π10．（3分）下列图象与函数图象相符的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2﹣9＝．12．（3分）若二次根式有意义，则正整数m的值可以是．（写出一个即可）13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是．14．（3分）若a2﹣2a﹣2026＝0，则代数式﹣2a2+4a+2026的值为．15．（3分）如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在EF正下方通过，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝150°，AB＝AE＝1.4米，那么该地下车库的车辆限高的高度为米．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16．（7分）计算：．17．（7分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？18．（7分）研究表明，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度y（℃）与所处深度x（km）的部分数据如表：岩层的深度x/km…1234…岩层的温度y/℃…5590125160…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当该地点地表以下某处岩层的温度为300℃时，求此处岩层的深度．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）同学们知道：“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”．（1）请写出它的逆命题；该逆命题是一个命题（填“真”或“假”）．（2）如图，在Rt△ABC中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法：想法一：取AB中点D，连接CD，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决．想法二：画出AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，利用垂直平分线的性质使问题得到解决．想法三：沿线段AC所在的直线，将△ABC翻折得到△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．20．（9分）骑电动车、摩托车时佩戴头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了佩戴头盔专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车、摩托车的市民，就骑车佩戴头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．骑电动车、摩托车戴头盔情况调查问卷请在下面选项中选择骑电动车、摩托车时佩戴头盔情况，并在其后的“口”内打“√”（每位被调查市民只能选择其中一个选项），非常感谢您的配合．A每次戴□B经常戴□C偶尔戴□D都不戴□活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表类别人数A100BaC523D177合计1000请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）“活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，请计算a的值；（2）该市约有20万人骑电动车、摩托车，请估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数；（3）小华认为，宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的人有178人，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小华分析数据的方法是否合理？请说明理由．21．（9分）综合与实践【回归教材】（1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是；作这条射线的依据是（选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）；（2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝；【问题解决】（3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案．五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）22．（13分）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片ABCD（BC＞AB）进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，展开后，连接EF，就可以得到一个四边形ABFE．（1）如图1，求证：四边形ABFE是正方形；（2）如图2，若将图1中的矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，使得点C恰好与点E重合，展开后，折痕所在的直线交AB的延长线于点M，交AF于点N，交EF于点G，交BF于点H，若AD＝12，CD＝8，求MN的长；（3）如图3，（优弧D'Q'C）与（优弧DQC）关于直线EC对称，∠DQC＝45°，点R是（优弧D'Q'C）上的一个动点，连接BR，若AD＝12，CD＝8，求BR的最小值．23．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、C（3，0）两点，与y轴交于点B．（1）①求抛物线的表达式；②对于该抛物线上的两点P（x1，y1），R（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥4时，均有y1≥y2，请直接写出t的取值范围；（2）如图2，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，求的最大值；（3）如图3，点D是抛物线上的一动点，过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D，E分别作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G，F．过点A作BC的平行线交y轴于点H，当四边形DEFG在直线AH，直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面积的一半时，请求出点D的横坐标．

2026年广东省清远市清城区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）温度上升3℃，记为+3℃，温度下降2℃，记为（）A．2℃ B．﹣2℃ C．1℃ D．﹣1℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，温度上升3℃，记为+3℃，温度下降2℃，记为﹣2℃．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解．【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意，B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意，C．选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意，D．选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键．3．（3分）近年来，国内AI发展迅猛，AI应用到生活多个领域，据统计，DeepSeek应用上线20天后，日活跃用户达22150000，数据22150000用科学记数法表示为（）A．0.2215×108 B．2.215×107 C．2.215×106 D．2215×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：22150000＝2.215×107．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．（2x）3＝6x3 C．（x3）2＝x5 D．x5÷x3＝x2【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；B、（2x）3＝8x3，故该项不正确，不符合题意；C、（x3）2＝x6，故该项不正确，不符合题意；D、x5÷x3＝x2，故该项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝15°，则∠β的度数为（）A．45° B．40° C．30° D．15°【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵直尺的对边平行，∠α＝15°，∴∠1＝∠α＝15°．又∵∠β+∠1＝45°，∴∠β＝30°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（3分）3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄（单位：岁）20，21，22，22，23，23，23，24，25，26．这组数据的众数和中位数分别是（）A．23，23 B．23，22.5 C．22，23 D．24，23【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：年龄是23的人数有3人，出现次数最多，故众数为23；中位数为（23+23）÷2＝23，故中位数是23；故选：A．【点评】本题考查了众数、中位数，解题的关键是根据它们的定义来解答．7．（3分）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则的值等于（）A． B． C． D．【分析】连接AB、DC，由AB＝2，DC＝3，由AD与BC相交于点O，AB∥DC，证明△AOB∽△DOC，则，于是得到问题的答案．【解答】解：连接AB、DC，∵点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，小正方形的边长为1，∴AB＝2，DC＝3，∵AD与BC相交于点O，AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．8．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求解即可．【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴x1+x24，x1•x23，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．9．（3分）如图，四边形ABCD的两边AD，CD与⊙O相切于A，C两点，点B在⊙O上，若圆的半径为9，∠D＝80°，则∠B所对的弧长为（）A．3π B．4π C．5π D．6π【分析】连接OA，OD，由切线的性质可得∠OAD＝∠OCD＝90°，结合∠D＝80°解得∠AOC的度数，然后由弧长公式求解即可．【解答】解：如下图，连接OA，OC，∵AD，CD为⊙O的切线，∴OA⊥AD，OC⊥CD，∴∠OAD＝∠OCD＝90°，∵∠D＝80°，∴∠AOC＝360°﹣∠OAD﹣∠OCD﹣∠D＝100°，∴∠B所对的弧长．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（3分）下列图象与函数图象相符的是（）A． B． C． D．【分析】分x＞0和x＜0两种情况讨论，分别得到表达式即可求解．【解答】解：分x＞0和x＜0两种情况讨论如下：当x＞0时，，图象在第四象限；当x＜0时，，图象在第三象限；∴与函数图象相符的是：选项D．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．12．（3分）若二次根式有意义，则正整数m的值可以是5（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此求出m的取值范围，再写出满足条件的一个m的值即可．【解答】解：若二次根式有意义，则m﹣4≥0，解得m≥4，∴正整数m的值可以是5，故答案为：5（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题的关键．13．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是8．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180（n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180（n≥3）．14．（3分）若a2﹣2a﹣2026＝0，则代数式﹣2a2+4a+2026的值为﹣2026．【分析】先化简，再整体代入即可．【解答】解：∵a2﹣2a﹣2026＝0，∴a2﹣2a＝2026，∴原式＝﹣2（a2﹣2a）+2026＝﹣2×2026+2026＝﹣2026．故答案为：﹣2026．【点评】本题主要考查分式的值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．15．（3分）如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），车辆在EF正下方通过，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝150°，AB＝AE＝1.4米，那么该地下车库的车辆限高的高度为米．【分析】根据题意，结合图形，在Rt△AEN中，利用三角函数求出EN的长，即可得到EM的长，得到结果．【解答】解：过E点作EM⊥BC于M，过A点作AN⊥EM于N点，∵∠AEF＝150°，∵∠AEN＝30°，∵在Rt△AEN中，AE＝1.4米，∴EN＝AE•cos∠AEN＝1.4×cos30°（米），∴EM＝EN+MN＝EN+AB1.4（米），∴适合该地下车库的车辆限高的高度为米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）16．（7分）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝1﹣1+3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．17．（7分）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？【分析】设A型号纪念品的单价是x元，则B型号纪念品的单价是（x+28）元，根据用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设A型号纪念品的单价是x元，则B型号纪念品的单价是（x+28）元，根据题意得：2，解得：x＝12，经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意，∴x+28＝40，答：A型号纪念品的单价是12元，B型号纪念品的单价是40元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．18．（7分）研究表明，地表以下岩层的温度y（℃）与所处深度x（km）成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度y（℃）与所处深度x（km）的部分数据如表：岩层的深度x/km…1234…岩层的温度y/℃…5590125160…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当该地点地表以下某处岩层的温度为300℃时，求此处岩层的深度．【分析】（1）先设y与x的函数关系式为y＝kx+b，然后根据在深度2千米的地方，岩层温度为90，在深度4千米的地方，岩层温度为160，即可求得y与x的函数表达式；（2）将y＝300代入（1）中的函数表达式，即可得到相应的x的值，本题得以解决．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把（2，90）（4，160）代入，得，解得，即y与x的函数关系式为y＝35x+20（x＞0）；（2）当y＝300时，300＝35x+20，解得x＝8，即当该地点地表以下某处岩层的温度为300℃时，此处岩层的深度8km．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）同学们知道：“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”．（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度；该逆命题是一个真命题（填“真”或“假”）．（2）如图，在Rt△ABC中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法：想法一：取AB中点D，连接CD，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决．想法二：画出AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，利用垂直平分线的性质使问题得到解决．想法三：沿线段AC所在的直线，将△ABC翻折得到△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．【分析】（1）把原命题的条件和结论交换位置，即可得到原命题的逆命题；（2）取AB的中点D，连接DC，由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，判定△BCD是等边三角形，得到∠CDB＝60°，由等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，由三角形的外角性质得到∠A∠CDB＝30°．【解答】解：（1）原命题的逆命题是在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度；该逆命题是一个真命题．故答案为：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度，真．（2）选择想法一，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAB，求证：∠A＝30°．证明：取AB的中点D，连接DC，∵∠ACD＝90°，∴CDAB，∴CD＝AD＝BD，∵BCAB，∴BC＝CD＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CDB＝60°，∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠A+∠ACD＝∠CDB，∴∠A∠CDB＝30°．【点评】本题考查命题与定理，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，折叠问题，线段垂直平分线的性质，关键是判定△BCD是等边三角形．∴∠CDB＝60°，20．（9分）骑电动车、摩托车时佩戴头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了佩戴头盔专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车、摩托车的市民，就骑车佩戴头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．骑电动车、摩托车戴头盔情况调查问卷请在下面选项中选择骑电动车、摩托车时佩戴头盔情况，并在其后的“口”内打“√”（每位被调查市民只能选择其中一个选项），非常感谢您的配合．A每次戴□B经常戴□C偶尔戴□D都不戴□活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表类别人数A100BaC523D177合计1000请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）“活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，请计算a的值；（2）该市约有20万人骑电动车、摩托车，请估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数；（3）小华认为，宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的人有178人，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小华分析数据的方法是否合理？请说明理由．【分析】（1）用总人数分别减去其它三类人数可得a的值；（2）用20万人乘样本中“都不戴”安全头盔的占比可得答案；（3）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．【解答】解：（1）a＝1000﹣100﹣523﹣177＝200；（2）203.54（万人），答：估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数为3.54万人；（3）小华分析数据的方法不合理，理由如下：宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的百分比：100%＝8.9%，活动前后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的百分比：100%＝17.7%，8.9%＜17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．【点评】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．21．（9分）综合与实践【回归教材】（1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是角平分线；作这条射线的依据是SSS（选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）；（2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝75°；【问题解决】（3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案．【分析】（1）由角平分线的定义，全等三角形的判定与性质可得出结论；（2）利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°；（3）在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°，则∠BAP＝15°．【解答】解：（1）如图，射线OC为∠AOB的平分线；连接MC，NC．在△OCM和△OCN中，，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等），即OC平分∠AOB．故答案为：角平分线，SSS；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∵三角形BEC为等边三角形，∴BE＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠DCE＝30°，AB＝BE，CE＝CD，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°，故答案为：75°；（3）如图，∠BAP＝15°．方案：作等边三角形BCE，作∠BCE的平分线CN，则∠BCN＝30°，在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°，则∠BAP＝15°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分）22．（13分）九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片ABCD（BC＞AB）进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，展开后，连接EF，就可以得到一个四边形ABFE．（1）如图1，求证：四边形ABFE是正方形；（2）如图2，若将图1中的矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，使得点C恰好与点E重合，展开后，折痕所在的直线交AB的延长线于点M，交AF于点N，交EF于点G，交BF于点H，若AD＝12，CD＝8，求MN的长；（3）如图3，（优弧D'Q'C）与（优弧DQC）关于直线EC对称，∠DQC＝45°，点R是（优弧D'Q'C）上的一个动点，连接BR，若AD＝12，CD＝8，求BR的最小值．【分析】（1）先证明四边形ABFE为矩形，再证明四边形ABFE为正方形即可；（2）连接NB，NE，NC，NC与EF交于点I，证明△CEF∽△CHP，得出，求出CH＝10，，同理可得：△MBH∽△CPH，求出，从而得出，证明△ENC为直角三角形，得出，即可得出答案；（3）取（优弧DQC）所在圆的圆心O，作点O关于CE的对称点O'，则点O'为优弧D'Q'C所在圆的圆心，连接OO'，交CE于点M，过点M作MN⊥CN于点N，过点O作OG⊥CD于点G，延长OG交CE于点H，连接O'H，O'B，OC，OD，O'B与⊙O'于点R'，先求出，再求出，CNCF，以点C为原点，BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据两点间距离公式求出BO'，最后得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAE＝∠B＝90°，∵矩形纸片ABCD（BC＞AB）进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，∴∠AEF＝∠B＝90°，BF＝EF，∴∠AEF＝∠B＝∠BAE＝90°，∴四边形ABFE为矩形，∵BF＝EF，∴四边形ABFE为正方形；（2）解：如图，连接NB，NE，NC，NC与EF交于点I，在矩形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，根据（1）可得：四边形ABFE为正方形，∴BF＝AE＝EF＝AB＝CD＝8，∠AEF＝∠BFE＝90°，∴CF＝12﹣8＝4，∠CFE＝∠DEF＝90°，∴，∵矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，∴MP垂直平分CE，∴，∠CPH＝90°，∵∠CPH＝∠CFE＝90°，∠ECF＝∠HCP，∴△CEF∽△CHP，∴，即，∴CH＝10，PH＝4，∴BH＝12﹣10＝2，同理可得：△MBH∽△CPH，∴，∴，解得：MH，∴MP＝MH+PH＝5，由矩形纸片ABCD沿AF进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，得NE＝NB，△EFN≌△BFN，∴∠FBN＝∠FEN，∵MP垂直平分CE，∴EN＝CN，∴NB＝NE＝NC，∴∠FBN＝∠FCN，∴∠FEN＝∠FCN，∵∠EIN＝∠CIF，∴∠ENC＝∠CIF＝90°，∴△ENC为直角三角形．∵点P为CE的中点，∴，∴；（3）解：如图，取（优弧DQC）所在圆的圆心O，作点O关于CE的对称点O'，则点O'为优弧D'Q'C所在圆的圆心，连接OO'，交CE于点M，过点M作MN⊥CB于点N，过点O作OG⊥CD于点G，延长OG交CE于点H，连接O'H，O'B，OC，OD，O'B与⊙O'于点R'，在矩形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，由（1）可得：四边形ABFE为正方形，∴BF＝AE＝EF＝AB＝CD＝8，∠AEF＝∠BFE＝90°，∵CF＝12﹣8＝4，∠CFE＝∠DEF＝90°，∴，∵∠DQC＝45°，∴∠DOC＝2×45°＝90°，∵OG⊥CD，∴，∠OGD＝90°，∴OC4，∴O'R'＝OC＝4，∵∠ADC＝∠OGD，∴OH∥DE，∴△CGH∽△CDE，∴，∴CHCE＝2，，∴OH＝OG+GH＝4+2＝6，根据轴对称可得：OO'⊥CE，OM＝O'M，设CM＝x，则，在Rt△OHM中，根据勾股定理得：OH2＝OM2+HM2，∴，在Rt△OCM中，根据勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，∴，∴，解得：，∴，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°，∴∠EFC＝∠MNC，∵∠MCN＝∠ECF，∴△MCN∽△ECF，∴，∴MNEF，CNCF，如图，以点C为原点，BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，∴点O的坐标为（4，4），点M的坐标为，B（﹣12，0），根据中点坐标公式得点O'的坐标为：，即点，∴BO'，∵点R是（优弧D'Q'C）上的一个动点，∴当点R运动到R'时，BR最小，且最小值为：．【点评】本题主要考查了折叠性质、圆的基本性质、相似三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．23．（14分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、C（3，0）两点，与y轴交于点B．（1）①求抛物线的表达式；②对于