第八章 二元一次方程组（12类压轴题专练）【人教】七下数学专题复习

第八章二元一次方程组（12类压轴题专练）【题型一利用二元一次方程的定义求字母参数】例题：（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【变式训练】1．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）若是关于x，y的二元一次方程，则．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）若方程是关于x，y的二元一次方程，则．【题型二利用二元一次方程的解求字母参数的值】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为．【变式训练】1．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）若是方程的一组解，则实数m的值为；2．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如果是方程的一组解，那么的值为．3．（2024上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）已知是方程的解，则的值为．【题型三利用二元一次方程的解求代数式的值】例题：（2023下·福建泉州·七年级统考期中）若是方程的解，则．【变式训练】1．（2023下·重庆南川·七年级统考期末）若是二元一次方程的解，则的值为．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）已知是方程的解，则代数式的值为．3．（2022下·湖南株洲·七年级统考期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为．4．（2023下·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）若是二元一次方程的一组解，则．【题型四不解二元一次方程组求代数式的值】例题：（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知，则（）A．3 B． C．2 D．1【变式训练】1．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）已知二元一次方程组则的值是（

）A． B． C． D．92．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知方程组，则．3．（2023上·重庆大渡口·八年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，则．【题型五利用二元一次方程组的解求字母参数】例题：（2023下·江苏常州·七年级统考期末）已知是方程组的解，则．【变式训练】1．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）关于、的方程组的解为，则．2．（2023下·山东东营·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为．3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则的值为．【题型六利用二元一次方程组的解相同求字母参数】例题：（2023上·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为．【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为．2．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m，n的值；(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．【题型七二元一次方程组结合一元一次方程含参数问题】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为．【变式训练】1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）已知关于，的二元一次方程组的解也是方程的解，则m的值为.2．（2024上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为．3．（2023下·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知关于x、y的方程组(1)直接写出方程所有的正整数解___；(2)如果方程组的解满足，求k的值；(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解．【题型八二元一次方程组的特殊解法】例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是．【变式训练】1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．(2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______．(3)请你用上述方法解方程组【题型九新定义型二元一次方程组有关问题】例题：（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）对于有理数，，我们定义新运算．其中，是常数．若|，则．【变式训练】1．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）对于有理数x，y，定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，已知，则．2．（2023下·广西河池·七年级校考阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则．3．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校联考期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题：(1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”．(2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值．【题型十二元一次方程组解决分配问题】例题：（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？【变式训练】1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？2．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．

(1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？(2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．3．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【题型十一二元一次方程组解决方案问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？【变式训练】1．（2023上·安徽合肥·七年级统考期末）自2023年12月17日，肥西县气温骤降，根据市场的需要，某超市销售A、B两种型号的取暖器．如表所示是近2周的销售情况：（温馨提示：请同学们注意用电取暖的安全！）．销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周352900元第二周685000元(1)求A、B两种型号取暖器的销售单价；(2)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的取暖器若干台，两种型号都购买，且资金恰好用完，请你为该公司设计不同的购买方案．2．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．(1)求医用口罩和洗手液的单价．(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．【题型十二二元一次方程组解决销售、利润问题】例题：（2024上·安徽安庆·七年级统考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元．(1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；(3)若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．【变式训练】1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）款120款90若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．(1)求和的值；(2)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售、两款足球各多少个?（每款都有销售，且购买款足球的数量都是3的倍数）2．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）某体育用品商场销售，两款足球，售价和进价如表：已知该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元．类型进价/（元/个）售价/（元/个）款120款90(1)求和的值．(2)为了提高销量，商场实施“买足球送跳绳”的促销活动：买1个款足球送1根跳绳，买3个款足球送2根跳绳．每根跳绳的成本为10元，某日商场售卖这两款足球总计盈利600元，则该日商场销售，两款足球各多少个？（每款都有销售）

第八章二元一次方程组（12类压轴题专练）【题型一利用二元一次方程的定义求字母参数】例题：（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【答案】，【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可．【详解】解：∵是二元一次方程，∴，解得．故答案为：，．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·广东惠州·七年级统考期末）若是关于x，y的二元一次方程，则．【答案】【分析】根据二元一次方程的定义可得，，解方程可以计算出、的值，再算出即可．【详解】解：由题意得：，，解得：，，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）若方程是关于x，y的二元一次方程，则．【答案】【分析】根据二元一次方程的定义得出且且，再求出m、n即可．【详解】∵方程是关于x，y的二元一次方程，∴且且，解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键．【题型二利用二元一次方程的解求字母参数的值】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为．【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，根据题意得出关于a的方程，即可解题．【详解】解：将，代入，得：，解得：，故答案为：2．【变式训练】1．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）若是方程的一组解，则实数m的值为；【答案】3【分析】本题主要考查的是二元一次方程的解的定义，得到关于的一元一次方程是解题的关键．将方程的解代入方程得到关于的一元一次方程，从而可求得的值．【详解】将代入方程得：解得．故答案为：3．2．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如果是方程的一组解，那么的值为．【答案】/【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出m的值即可．【详解】解：∵是方程的一组解，∴，∴，故答案为：．3．（2024上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）已知是方程的解，则的值为．【答案】7【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案为：7．【题型三利用二元一次方程的解求代数式的值】例题：（2023下·福建泉州·七年级统考期中）若是方程的解，则．【答案】1【分析】先由是方程的解，得出，然后把化为，再整体代入即可．【详解】解：把代入方程得：，则，故答案为：1．【点睛】此题考查的知识点是二元一次方程组的解，解题关键是把方程的解代入原方程，得出，然后整体代入．【变式训练】1．（2023下·重庆南川·七年级统考期末）若是二元一次方程的解，则的值为．【答案】【分析】根据题意将解代入等式，可得关于的关系时，通过变形即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程的解，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解，代入等式变形，并掌握代数式的变形求值是解题的关键．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期末）已知是方程的解，则代数式的值为．【答案】2【分析】将解代入方程，求得，进一步求得代数式值．【详解】解：把代入方程，得，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查方程组解的定义，理解二元一次方程的解的定义是关键．3．（2022下·湖南株洲·七年级统考期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为．【答案】2020【分析】把x和y的值代入方程即可求出a与b的关系式，然后再整体代入计算即可．【详解】解：把代入可得：，∴．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解答的关键．4．（2023下·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）若是二元一次方程的一组解，则．【答案】【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解．【详解】解：∵是二元一次方程的一组解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．【题型四不解二元一次方程组求代数式的值】例题：（2023上·四川成都·八年级校考期末）已知，则（）A．3 B． C．2 D．1【答案】A【分析】此题考查了解二元一次方程组，用加减消元法得到，即可确定的值．【详解】解：，由得，即，，故选：A．【变式训练】1．（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）已知二元一次方程组则的值是（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】本题考查了加减消元法解方程组，两式相加，后除以2计算即可．【详解】两式相加，得，∴，故选B．2．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）已知方程组，则．【答案】//5.8【分析】观察可知两个式子相加，即可求解．【详解】解：得，，故答案为：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．3．（2023上·重庆大渡口·八年级校考阶段练习）已知关于，的二元一次方程组，则．【答案】/【分析】本题考查了解二元一次方程组；利用加减消元法，将，即可得到答案．【详解】解：得，∴故答案为：．【题型五利用二元一次方程组的解求字母参数】例题：（2023下·江苏常州·七年级统考期末）已知是方程组的解，则．【答案】【分析】把x与y代入方程组求出m与n的值，即可求出的值．【详解】解：把代入方程组得：，解得：，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是求出m与n的值．【变式训练】1．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）关于、的方程组的解为，则．【答案】1【分析】把方程组的解代入可得，得到a和b的值即可求解．【详解】解：把方程组的解代入可得：，解得，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．2．（2023下·山东东营·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为．【答案】3【分析】先将与的值代入方程组即可与的值．【详解】解：将代入，∴，①②，∴27的立方根为3，即的立方根为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了立方根和方程组的解法，熟练运用二元一次方程组的解法是解题的关键．3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则的值为．【答案】5【分析】把代入得出m和n的值，代入即可【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，∴，∴，∴．【点睛】题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义，本题属于基础题型．【题型六利用二元一次方程组的解相同求字母参数】例题：（2023上·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组与关于x，y的方程组的解相同，则的值为．【答案】【分析】先求出x和y的值，再代入求出m，n的值再求解；【详解】解方程组，解之得，代入得，代入得，故；【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握消元思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为．【答案】0【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解．【详解】解：解得，，把代入得，，解得，．故答案为：0．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．2．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)求m，n的值；(3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数，理解同解方程组的概念是解题关键．（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；（3）将（1）所求的解代入，再化简，即可求出a的值．【详解】（1）解：由题意可得：，解得；（2）解：将代入含有m，n的方程得，解得；（3）解：将代入，得，解得：．【题型七二元一次方程组结合一元一次方程含参数问题】例题：（2024上·四川成都·八年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则m的值为．【答案】3【分析】本题考查了解一元二次方程，方程的解，先算出的解，再将解代入中，即可得，掌握解一元二次方程，方程的解是解题的关键．【详解】解：，①×2，得，③+②，得，，把代入②，得，，，∴方程组的解为，∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，∴，，，，故答案为：3．【变式训练】1．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）已知关于，的二元一次方程组的解也是方程的解，则m的值为.【答案】8【分析】本题考查了利用二元一次方程组解的情况求参数，由由得，从而得到，即可求解，观察所给方程的特征，考虑用整体代入法求解是解题的关键．【详解】解：，由得：，二元一次方程组的解也是方程的解，，，故答案为：8．2．（2024上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为．【答案】2【分析】本题考查二元一次方程组的解法以及解的定义．联立方程组，解得和的值，再代入中，即可求出答案．【详解】解：关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，联立方程组，解得，将代入中，即，解得：；故答案为：2．3．（2023下·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知关于x、y的方程组(1)直接写出方程所有的正整数解___；(2)如果方程组的解满足，求k的值；(3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解．【答案】(1)或(2)7(3)【分析】（1）根据采用“给一个，求一个”的方法，求解方程的所有正整数解即可；（2）先解，再将解代入，求解即可；（3）可化为，当时，即可求出公共解．【详解】（1）解：时，，；时，，，方程的所有正整数解为或，故答案为：或；（2）根据题意，解，解得，将代入，得，解得；（3）可化为，当时，即时，，，这个公共解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，公共解，熟练掌握这些含义是解题的关键．【题型八二元一次方程组的特殊解法】例题：（2023春·浙江台州·七年级统考期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是．【答案】/【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于，的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，∴出关于，的二元一次方程组的解是，解得：，∴关于m、n的二元一次方程组的解是，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察两个方程组结合二元一次方程组的解的定义，得出，，结合，即可作答．【详解】解：因为方程组的解是，所以的解是x和y，那么得，因为，则解得，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．3．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．(2)拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是______．(3)请你用上述方法解方程组【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．（1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可；（2）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可；（3）令则原方程组为，再解出这个方程组即可求解．【详解】（1）解：对于，令，则原方程组可化为，解得：，∴，即，解得：；（2）解：∵方程组的解是，∴，解得：．（3）解：依题意，令则原方程组为，即得，解得：，得，，解得：∴得，，解得：得，，解得：，∴原方程组的解为．【题型九新定义型二元一次方程组有关问题】例题：（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）对于有理数，，我们定义新运算．其中，是常数．若|，则．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意列出关于的方程组，然后解方程组求出的值，然后再代入中进行计算即可解答．【详解】解：∵∴∴解得：∴，故答案为：．【变式训练】1．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）对于有理数x，y，定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，已知，则．【答案】3【分析】先根据新定义得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，解二元一次方程组，正确理解新定义得到关于a、b的方程组是解题的关键．2．（2023下·广西河池·七年级校考阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则．【答案】【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案．【详解】解：，，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则．3．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校联考期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题：(1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”．(2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值．【答案】(1)(2)的值为，的值为【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值．【详解】（1）解：，得：，将代入得：，解得：，关于，的二元一次方程组的解为，关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2），得：，将代入得：，解得：，关于，的方程组的解为，关于，的方程组的“梦想点”为．将代入得：，解得：，的值为，的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．【题型十二元一次方程组解决分配问题】例题：（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？【答案】竹签有15根，山楂有77个．【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，能够根据题意列出方程组是解题的关键．设竹签有x根，山楂有y个，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案．【详解】解：设竹签有x根，山楂有y个，根据题意，得解得：答∶竹签有15根，山楂有77个．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数分别为多少人？【答案】调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人【分析】设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲分公司比乙分公司多3人，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设调整前甲分公司的人数为人，乙分公司的人数为人，根据题意，得，解得：，答：调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．

(1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？(2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由．【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个(2)是的整数倍，理由见解析【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍．【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，解得：．答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个；（2）解：是的整数倍，理由如下：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据题意得：，，又，均为正整数，是的整数倍．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得：，解得，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，由题意得：，整理得：，当时，；当时，；当时，；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【题型十一二元一次方程组解决方案问题】例题：（2023上·广东茂名·八年级统考期末）某药店出售、两种的口罩，已知该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元．(1)请分别求出、两种口罩的进价是多少元？(2)已知药店将种口罩每个提价1元出售，种口罩每个提价出售，小雅在该药店购买、两种口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？【答案】(1)种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元(2)小雅共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，（1）设A种口罩的进价是x元，B种口罩的进价是y元，根据“该店进货4个种口罩和3个种口罩共需27元，进货2个种口罩所需费用比进货1个种口罩所需费用多1元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种口罩m个，B种口罩n个，利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设种口罩的进价是元，种口罩的进价是元，依题意得：，解得：，答：种口罩的进价是3元，种口罩的进价是5元；（2）解：设购买种口罩个，种口罩个，依题意得：，即，解得：，又，均为正整数，或小雅共有2种购买方案，方案1：购买种口罩6个，种口罩2个；方案2：购买种口罩3个，种口罩4个．【变式训练】1．（2023上·安徽合肥·七年级统考期末）自2023年12月17日，肥西县气温骤降，根据市场的需要，某超市销售A、B两种型号的取暖器．如表所示是近2周的销售情况：（温馨提示：请同学们注意用电取暖的安全！）．销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周352900元第二周685000元(1)求A、B两种型号取暖器的销售单价；(2)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的取暖器若干台，两种型号都购买，且资金恰好用完，请你为该公司设计不同的购买方案．【答案】(1)A种型号取暖器的销售单价为元，B种型号取暖器的销售单价为元(2)见解析【分析】本题考查二元一次方程实际应用--方案选择问题．（1）根据题意列出方程组正确解答即可得到本题答案；（2）根据题意列出算式并分情况说明即可．【详解】（1）解：设A种型号取暖器的销售单价为x元，B种型号取暖器的销售单价为y元，依题意得：，解得．（2）解：设购买a台A种型号取暖器，b台B种型号取暖器，依题意得：，又∵a，b均为正整数，∴或或，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买4台A种型号取暖器，7台B种型号取暖器；方案2：购买8台A种型号取暖器，4台B种型号取暖器；方案3：购买12台A种型号取暖器，1台B种型号取暖器．2．（2024上·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1850元；若医用口罩买800个，洗手液买25瓶，则需1425元．(1)求医用口罩和洗手液的单价．(2)学校本次采购准备了500元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共250个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完且，学校一共有几种购买方案？写出所有采购方案．【答案】(1)医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元(2)学校一共有4种购买方案，详见解析【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程组的应用：（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据若医用口罩买600个，洗手液买50瓶，则需1550元；若医用口罩买800个，洗手液买30瓶，则需1150元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）利用总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程，求出正整数解，即可得出答案．【详解】（1）设医用口罩的单价为x元，洗手液的单价为y元，根据题意得：，解得：，答：医用口罩的单价为1元，洗手液的单价为25元；（2）由题意可得：，整理得：，∴，∵∴a、b均为正整数，∴或或或，∴学校一共有4种购买方案：①购买口罩100个，医用口罩150个，洗手液2瓶；②购买口罩75个，医用口罩175个，洗手液4瓶；③购买口罩50个，医用口罩200个，洗手液6瓶；④购买口罩25个，医用口罩225个，洗手液8瓶．【题型十二二元一次方程组解决销售、利润问题】例题：（2024上·安徽安庆·七年级统考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元．(1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；(3)若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．【答案】(1)型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元(2)共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆(3)方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，