小学数学三年级上册《除法的验算：基于数量关系的逆运算建模》单元课时教案

小学数学三年级上册《除法的验算：基于数量关系的逆运算建模》单元课时教案

一、教材深度解码：学科本质与课程坐标

（一）【核心素养·课标依据】本课教学内容隶属于“数与代数”领域，对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数与运算”主题。其核心素养导向聚焦于“运算能力”与“推理意识”的双重落地：不仅要求学生会算、会验，更要求其理解“商×除数=被除数”这一算理背后的乘法与除法互逆关系，经历从具体情境抽象出数学模型，再运用模型进行判断和检验的完整思维过程。本课是学生首次系统接触运算验算，是培养“反思性学习习惯”的关键锚点，也是后续学习多位数除法、小数除法验算以及方程思想的重要认知基础。

（二）【教材纵横·单元定位】本课为苏教版三年级上册第四单元《两、三位数除以一位数》的核心课时。从单元纵向看，学生已掌握首位能整除的两位数除以一位数的笔算（如36÷3），本课承接此基础，将计算重心从“求出结果”转向“验证结果”；同时为后续学习商中间或末尾有0的除法、三位数除以一位数（首位不够除）等复杂计算提供检验工具，实现从“机械执行算法”到“监控思维过程”的认知跃迁。横向对比人教版、北师大版教材，苏教版特色在于依托“购物找零”这一强现实背景，通过单价、数量、总价这一乘法模型逆向应用，使验算方法不再是孤立的技巧堆砌，而是有现实意义支撑的数学发现。

（三）【核心概念·大观念】本课内容所承载的大观念为：运算关系具有对称性，逆运算是检验原运算正确性的根本依据。加与减、乘与除如同镜面映射，验算的本质是运用映射回来的镜像与原像对照。这一观念将贯穿小学阶段所有运算验算的学习。

二、学情立体画像：认知起点与真实困难

（一）【基础·知识经验】三年级学生平均年龄9岁，处于皮亚杰具体运算阶段。在前序学习中，他们已经积累了以下关键经验：其一，熟练掌握了表内乘除法，能快速口算商与除数的乘积；其二，理解了除法竖式中各部分的名称（被除数、除数、商、余数）及书写格式；其三，在二年级下册“加法的验算”中初步接触了“交换加数位置再算一遍”的验算策略，具备最朴素的检验意识。这些经验构成了本课学习的“认知锚点”。

（二）【难点·认知冲突】真实的学情并非一张白纸。通过前测及访谈发现，学生在本课学习中将遭遇三大认知断层：第一，对“为什么要验算”缺乏内生需求，认为“算完即结束”，验算常流于教师命令下的机械重复；第二，对“有余数除法”的验算存在结构性遗忘，大量学生能熟练使用商×除数，却屡屡漏加余数，其根源在于未能理解“被除数被平均分后剩余部分依然属于被除数整体”这一守恒关系；第三，验算竖式的规范书写与除法竖式在格式上存在混淆，如商与除数的乘积是对位错误的高发区。

（三）【差异·因材施教】班级学生计算能力存在显著层次：约30%的学生计算准确率高且具备初步自检习惯；50%的学生能正确计算但验算意识淡薄；20%的学生在除法试商或进位乘法上仍存在障碍。本设计通过分层练习、异质分组及开放性任务，为不同水平学生提供差异化的攀登支架。

三、目标层级架构：素养导向与行为锚定

（一）【核心目标·高阶】1.通过解决“购物找回多少钱”的真实问题，经历“计算—质疑—验证—归纳”的全过程，理解除法验算的算理本质是乘法与除法互逆关系以及“整体=部分×份数+剩余”的数量关系守恒，培养模型意识和推理意识。2.在对比、辨析中感受验算的数学文化价值与自我监控功能，将“对自己计算结果负责”内化为稳定的数学学习品格。

（二）【关键目标·中阶】1.掌握没有余数和有余数除法验算的两种书写格式，能规范、工整地完成验算竖式，正确率达到95%以上【高频考点】。2.能根据实际情境灵活选择口算验算或笔算竖式验算，初步形成算法优化的意识。

（三）【基础目标·保底】1.准确说出除法验算的方法：没有余数时，商×除数=被除数；有余数时，商×除数+余数=被除数【重要】。2.能判断一道除法算式验算过程的正确与否，并指出错误原因（如漏加余数、乘积算错等）。

四、教学重难点的突破性策略

（一）【核心重点】掌握用乘法验算除法的两种基本方法，尤其是商×除数+余数的结构化记忆。突破策略：不采用死记硬背公式的方式，而是借助“分物归原”的动画演示——将65元平均分，每份3元分给21人后剩余2元，验算时先把21人得到的63元收回来（21×3），再把剩余的2元加进去，正好是原来的65元。将抽象算理具象化为可操作的“收拢动作”。

（二）【教学难点】理解“余数为什么要参与验算”以及验算竖式中乘积的书写位置。突破策略：采用“双色笔对照法”。在黑板上用白色粉笔书写除法竖式，紧邻右侧用黄色粉笔书写验算竖式。引导学生观察：除法竖式中“被除数”在最内，验算竖式中“乘积”在最内，两个“内层数”一个是原数，一个是还原数，是镜面对照的关系。视觉化的色彩编码能有效降低工作记忆负担。

五、教学准备与时空架构

（一）【教具】交互式电子白板，内含可拖动的“人民币”学具（100元、5元、3元、2元面额模拟图）；希沃白板5课堂活动模板；磁性黑板贴（除法竖式各部分名称卡）。

（二）【学具】每人一份“学习任务单”（含三个核心探究任务）；双头红蓝记号笔（用于纠错标注）；信封内装6道除法算式卡片（3道无余数，3道有余数）用于课中游戏。

（三）【环境】课前将学生分为6个“验算事务所”小组，每组4人，桌角放置组牌。教室内张贴“加、减法验算小贴士”作为旧知唤醒背景。

六、教学过程全景设计：思维流淌的探究旅程

（一）破冰·激活——从“可靠的结果”谈起（约5分钟）

【情境任务】师：（出示电子白板）同学们，昨天体育委员小明帮班级采购跳绳，他列出了算式，可收银员阿姨问：“你算得对吗？能再确认一下吗？”小明有点犹豫。你们在生活中遇到过这种情况吗？——明明自己算好了，可别人一句“你确定吗”，心里突然就没底了。

【生生互动】学生简短分享类似经历，教师顺势揭示课题：今天每个小组就是一个“验算事务所”，你们的任务是为小明的计算出具“验算鉴定报告”。

【设计解读】此环节摒弃传统的“复习导入”，转而创设具有认知冲突的社会性情境。将验算从“教师要求的任务”转变为“应对外部质疑的专业服务”，赋予学习以角色感和使命感。

（二）建模·初探——没有余数的除法验算（约12分钟）【重中之重】

1.信息提取与列式

白板呈现教材情境：跳绳每根3元，36元可以买多少根？

学生口头列式：36÷3=12（根）。教师板书竖式，学生复述笔算过程：十位3÷3=1，商1写在十位；个位6÷3=2，商2写在个位。

2.认知冲突引发

师：现在，收银员阿姨需要确认这12根跳绳确实是36元。你们有什么办法帮她“反过来”验证？

【预设1】生A：再算一遍除法。

师：这确实是一种验算，但如果第一次算的时候思路就错了，再算一遍很可能会掉进同一个陷阱里。有没有别的方法？

【预设2】生B：用乘法！一根3元，12根就是3×12，看等不等于36。

师：（惊讶状）太棒了！你找到了除法的好朋友。为什么用乘法可以验算除法？

【小组讨论】（约1.5分钟）教师巡视，倾听学生朴素表达。

3.算理可视化突破

指名汇报。生C：因为除法是平均分，乘法是把分散的合起来，正好是反过来的。

师：说得好！我们请白板来“演”一下这个反过来。

（动画演示：将36个圆片平均分成3份，每份12个——这是除法。接着，动画将3份每份12个圆片推到一起，合成36个——这是乘法。）

师：原来，除法和乘法就像往前走和往后走。往前走是分，往后走是合。合起来能回到原来的数，就说明分对了。

【板书核心关系】被除数÷除数=商←→商×除数=被除数

（在“÷”和“×”之间画双向箭头，标注“互逆关系”）

4.竖式规范建模

师：数学上，我们要给这种“反向验证”留下正式的记录。

教师分步板演验算竖式：

12

×3

———

36

强调三点【非常重要】：①验算二字写在竖式正上方或右侧明显位置；②商写在上面第一行，除数写在下面左位，乘积写在横线下；③乘积的被除数必须与原算式被除数上下对齐，便于对比。

5.即时诊断

出示干扰性练习：小明验算48÷4=12，写成了12×4=40。错在哪？

生：乘积算错了，12×4=48，他写成40，漏加了十位进位的1。

师：这说明什么？验算本身也要算对。乘法口诀不熟练，验算反而帮倒忙。

【设计解读】此处将易错点前置，利用典型错例强化进位乘法的准确性，并渗透“验算者必须具备更高的计算素养”这一严谨态度。

（三）进阶·深水区——有余数除法的验算（约15分钟）【难点爆破】

1.情境迁移，制造新冲突

师：事务所接到新委托。小明又去买了另一种贵一点的跳绳，每根3元，这次带了65元。

列式：65÷3。

学生独立笔算。教师巡视，选取典型作品拍照上传白板。

预设典型竖式：

21

3）65

6

———

5

3

———

2

商21，余2。

2.关键追问——余数去哪里了？

师：如果还是用老办法，21×3=63，发现63≠65。是不是小明算错了？（制造悬念）

生：没算错！因为还剩2元，没花出去。

师：可是验算的乘法里，这2元根本没出现啊。怎么办？

【小组紧急会议】（约3分钟）学生尝试在任务单上写验算办法。

3.模型延伸：整体=部分×份数+剩余

预设汇报：生D：先把21根跳绳的钱算出来是63元，再把找回来的2元加回去，63+2=65，对了！

师：（顺势提炼）所以，验算有余数的除法，不能只把商和除数乘起来，必须——

生齐：加上余数！

板书：商×除数+余数=被除数（红色粉笔标出“+余数”）

4.竖式变式与防错强化

教师板演有余数验算的双层竖式规范：

21

×3

—————

63

1.

2

—————

65

强调：加法横式必须写在乘法积的正下方，等号线用直尺画【高频考点·扣分点】。

顺口溜记忆：有余验算别发懵，商乘除数先算清，余数千万别忘记，加在下面得原形。

5.逆向思维挑战题【热点·培优】

粗心的小虎在计算一道除法题时，把除数9看成了6，得到商13余5。正确的商和余数应该是多少？

（此题为学有余力者设置，引导其逆向运用验算公式求被除数：13×6+5=83，83÷9=9……2）

小组代表讲解思路，全班评议。

（四）比较·抽象——从两道例题到一条规律（约5分钟）

1.对比板书，寻找异同

师生共同完成课堂思维导图式板书（教师写框架，学生填充内容）。

左侧：无余数验算商×除数=被除数

右侧：有余数验算商×除数+余数=被除数

师：两道题都是在验算，为什么右边多了一步“+余数”？

生：因为左边正好分完，没有多出来的；右边有剩余，剩余也是总钱数的一部分。

核心抽象：验算的本质，是将被除数拆开的过程再组装回去。分的时候有余数，装的时候就得把余数也装进去。

2.文化渗透【拓展】

师：其实验算的思想，中国古人很早就用了。几千年前《九章算术》里就提到“以乘除消长，互相检验”。我们每次写完作业回头看一眼验算，就是在和古人用同样的智慧。

（五）分层·通关——游戏化巩固与变式训练（约15分钟）

1.基础关：【必做·人人过关】

“想想做做”第1题：根据第一式直接写第二式得数。

375÷5=75→75×5=()

156÷8=19……4→19×8+4=()

学生抢答，阐述思考路径：利用逆运算关系，其实根本没算，直接搬数。

【设计意图】强化对数量关系结构对称性的敏感度，从机械计算转向关系洞察。

2.应用关：【重点·高频考点】

“想想做做”第2题：计算并验算。54÷8=209÷3=856÷7=

要求：每人至少完成2道，小组内交换批改，用红笔圈出验算中漏加余数、乘积错位等问题。

教师巡视，收集典型错例进行匿名化投影辨析。

【典型错例1】验算54÷8=6……6时，写成6×8=48，48+6=54，但加法竖式没写，直接横式口算。

处理：规范强调——虽然口算可检验，但题目要求“笔算验算”时必须呈现完整竖式。

【典型错例2】验算209÷3时，商69余2，验算69×3=207，忘记加2。

处理：利用白板拖拽功能，拖出一个“余数2”的磁贴，“强制”放在207后面，变成207+2=209。

3.推理关：【难点·思维】

卡片游戏：5张数字卡片432、7、189、6、301。

小明取了其中两张做除法，商72；小红也取两张，商43。他们各拿哪两张？剩下哪张？

【小组探究】8分钟。此题为逆向推理，需利用“除数×商=被除数”进行试算。

预设路径：①谁和谁乘得432？尝试432÷72=6，所以小明拿432和6。②谁和谁乘得301？但43×7=301，小红拿301和7。③剩下189。

师：这道题好玩在哪里？它根本不需要做除法验算，而是在用验算的公式直接解题。验算方法在这里成了破案的工具。

4.诊断关：【自查·习惯】

出示三组“被诊断”的作业照片，包含以下典型病状：

①余数比除数大（如57÷8=6……9）——未通过验算即知错误；

②验算竖式数字对不齐，乘积的个位错位；

③有余数验算加法部分漏写。

每组认领一个“病例”，开具“诊断说明”及“改进处方”。

（六）全课凝练与学习复盘（约3分钟）

1.反思性小结

师：今天事务所打烊前，每位同学要交一份“职业能力反思单”。

问题支架：

①今天我学会了几种除法验算方法？在什么情况下选哪种？

②验算时最容易在哪个环节出错？我给自己打几星？

③如果妈妈买菜付钱，回家要核对小票，你能用今天学的知识帮她吗？

2.结构性板书回放

师生指板书，齐读口诀：

除法验算并不难，乘法来把逆运算。

无余直接乘一遍，有余可别忘加零——（故意错读）——不对，是加余数！

（课堂在善意的笑声中结束）

七、板书逻辑图谱：思维轨迹可视化

东墙主黑板（保留完整一节课）：

左侧区域：【例4（1）】36÷3=12（根）

竖式略。

验算：12×3=36

箭头标注：商×除数=被除数（无余数模型）

中间区域：【例4（2）】65÷3=21（根）……2（元）

竖式略。

验算：21×3=63，63+2=65

竖式：

21

×3

————

63

1.2

————

65

红粉笔圈出“+2”。

箭头标注：商×除数+余数=被除数（有余数模型）

右侧区域：【核心关系图】

被除数→（÷除数）→商

↑_________________↓

（×除数）【互逆】

底部区域：【高频考点警示】

①余数必须＜除数②验算加法别漏余数③乘积数位要对齐

八、作业设计精准锚定：减负与提质并重

（一）【基础性作业·全员必做】

数学补充习题第48页。

要求：书写工整，验算竖式必须用直尺画等号线。家长签字处增加一栏：“孩子是否主动进行了验算？”（旨在通过家校互动强化验算意识）

（二）【拓展性作业·弹性选做】

“我是小老师”：收集爸爸、妈妈最近一次购物小票（或自己编一道除法应用题），将其中能用除法解决的问题列式并验算，在反面写