小学三年级数学上册知识清单

小学三年级数学上册知识清单第9单元数学广角——集合第1课时集合思想的应用：解决重叠问题一、核心概念与学习目标【基础】【核心素养导向】（一）核心概念：集合在数学中，把一些指定的、确定的对象看作一个整体，就形成了一个集合。每个对象叫做这个集合的元素。例如，全班同学可以看作一个集合，每一位同学就是这个集合的元素。本课时我们主要学习如何用集合的思想和方法来解决生活中简单的、有重复内容的问题（即重叠问题）。（二）学习目标1.【理解】经历维恩图的产生过程，能理解维恩图各部分（特别是重叠部分）的含义，并能用维恩图直观地表示出两个集合及其关系。2.【掌握】能借助维恩图或连线、列式等方法，分析解决简单的重叠问题，掌握计算两个集合总元素个数的方法：总人数=集合A的人数+集合B的人数既属于A又属于B的人数。3.【应用】体会集合思想在解决实际问题中的价值，感受数学与生活的紧密联系，培养用多种策略解决问题的意识。二、知识点精析【高频考点】（一）认识维恩图（韦恩图）维恩图，也叫文氏图，是英国逻辑学家约翰·维恩发明的一种用封闭曲线（通常是圆形或椭圆形）来表示集合及其关系的图形。它是解决集合问题最直观、最有效的工具。以课本例题为例：三（1）班参加跳绳比赛和踢毽比赛的学生名单如下（用学号代替姓名更清晰）：1.跳绳（集合A）：1号（杨明）、5号（陈东）、10号（刘红）、8号（李芳）、21号（王爱华）、6号（马超）、15号（丁旭）、4号（赵军）、12号（徐强）（共9人）2.踢毽（集合B）：10号（刘红）、7号（于丽）、3号（周晓）、1号（杨明）、11号（朱小军）、8号（李芳）、20号（陶伟）、16号（卢强）（共8人）通过观察名单，我们发现有一些同学（1号杨明、8号李芳、10号刘红）既参加了跳绳比赛，又参加了踢毽比赛。为了更清楚地表示这一情况，我们可以画出维恩图：[此处应为一个维恩图，用文字描述其结构]1.左边的圈（跳绳的集合）：表示所有参加跳绳比赛的学生。它包含了只参加跳绳的学生，以及两项都参加的学生。2.右边的圈（踢毽的集合）：表示所有参加踢毽比赛的学生。它包含了只参加踢毽的学生，以及两项都参加的学生。3.中间重叠的部分（交集）：两个圈相交的区域，表示既参加跳绳又参加踢毽比赛的学生。4.左圈“月牙”部分（只属于A）：表示只参加跳绳，没有参加踢毽的学生。5.右圈“月牙”部分（只属于B）：表示只参加踢毽，没有参加跳绳的学生。根据题目中的数据，我们可以将学生学号填入维恩图的相应位置：1.中间重叠部分（两项都参加）：1号、8号、10号（共3人）2.左边“月牙”部分（只参加跳绳）：5号、21号、6号、15号、4号、12号（共6人）3.右边“月牙”部分（只参加踢毽）：7号、3号、11号、20号、16号（共5人）（二）维恩图各部分的含义【非常重要】用数学语言来描述维恩图各部分的含义，是理解集合思想的关键。假设我们用A表示跳绳集合，用B表示踢毽集合。1.集合A：{1,4,5,6,8,10,12,15,21}（所有参加跳绳的人）2.集合B：{1,3,7,8,10,11,16,20}（所有参加踢毽的人）3.交集(A∩B，读作“A交B”)：{1,8,10}（既参加跳绳又参加踢毽的人，即两个集合共有的部分）4.只属于A的部分：{4,5,6,12,15,21}（属于A但不属于B）5.只属于B的部分：{3,7,11,16,20}（属于B但不属于A）6.并集(A∪B，读作“A并B”)：{1,3,4,5,6,7,8,10,11,12,15,16,20,21}（所有参加比赛的人，即A和B的全部元素，重复的只算一次）（三）解决重叠问题的基本方法【高频考点】【解题步骤】求两个集合的总人数（即并集的元素个数），是这一课时最核心的考点。主要方法有三种：1.方法一：直观数数法（根据维恩图）在画好的维恩图上，把各个区域的人数标出来，然后直接把所有区域的人数相加。1.2.公式：总人数=只参加A的人数+只参加B的人数+两项都参加的人数2.3.算式：6+5+3=14（人）3.4.优点：思路最清晰，不容易出错，特别适合初学和图形结合题目。5.方法二：基本公式法【重要】【必考】先把两个集合的人数加起来，然后减去重复计算的部分（因为两项都参加的人在两个集合中各算了一次，被多算了一次）。1.6.公式：总人数=集合A的人数+集合B的人数交集的人数2.7.算式：9+83=14（人）3.8.优点：计算最快捷，是解决此类问题的通用公式。9.方法三：逐步推算/连线法（适用于填空或选择）可以先考虑一个集合的人数，然后加上另一个集合中“新来的、不重复的”人数。1.10.思路一（以A为基础）：先算上所有参加跳绳的9人。再看踢毽的8人中，有多少人没参加过跳绳？踢毽8人中，有3人已经参加过跳绳（重复），所以新的人是83=5人。总人数=9+5=14（人）。2.11.算式：9+(83)=14（人）3.12.思路二（以B为基础）：8+(93)=14（人）三、常见题型与考向分析【难点】【热点】（一）【基础型】直接给出两部分人数和重复人数这是最简单的题型，直接套用公式即可。1.例题：同学们去动物园，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人。去动物园的一共有多少人？2.分析：集合A（熊猫馆）有25人，集合B（大象馆）有30人，交集（两个馆都去）有18人。3.解答：25+3018=37（人）答：去动物园的一共有37人。（二）【理解型】已知总人数和其中一个集合，求另一个集合或交集【难点】这类题目需要逆向思考，灵活运用公式。1.例题1（求交集）：三（2）班有46人，其中喜欢绘画的有28人，喜欢唱歌的有32人，每人至少喜欢一种。既喜欢绘画又喜欢唱歌的有多少人？2.分析：总人数（并集）=46，集合A=28，集合B=32。求A∩B。3.解答：根据总人数=A+BA∩B，可得A∩B=A+B总人数。28+3246=14（人）答：既喜欢绘画又喜欢唱歌的有14人。4.例题2（求只参加一项的人数）：学校举行棋类比赛，参加围棋比赛的有19人，参加象棋比赛的有22人，两项都参加的有7人。问只参加围棋比赛的有多少人？5.分析：只参加围棋的人数=参加围棋的总人数两项都参加的人数。6.解答：197=12（人）答：只参加围棋比赛的有12人。（三）【图形型】根据维恩图填空或列式【高频考点】题目会直接给出一个标有数字的维恩图，要求考生理解图中各个区域数字的含义。1.例题：下图是某班学生参加兴趣小组的情况统计图。[此处描述一个维恩图：左边圈A写“书法”和数字“8”，右边圈B写“绘画”和数字“10”，中间重叠部分写数字“4”，圈外下方写“既不喜欢书法也不喜欢绘画的有5人”]2.问题1：参加书法小组的有（）人。3.解答1：这里的“参加书法小组”是指整个左边的圈，包括只参加书法的和两项都参加的。所以是8+4=12（人）。要特别注意，不要只看圈里单独写的那个数字“8”，它通常只代表“只参加书法”的人数。4.问题2：这个班一共有多少人？5.分析：全班人数=只参加书法（8）+只参加绘画（10）+两项都参加（4）+两项都不参加（5）。6.解答2：8+10+4+5=27（人）（四）【拓展型】包含“两项都不参加”的问题【重要】这是最常见的变式题。当题目中出现“两项都不参加”的人时，总人数就不再等于A∪B，而要在A∪B的基础上加上“两者都不”的部分。1.公式：总人数=参加A的人数+参加B的人数既参加A又参加B的人数+两项都不参加的人数。或者理解为：总人数=(A∪B的人数)+(A∪B之外的人数)2.例题：某班有40人，在一次数学测验中，做对第一题的有26人，做对第二题的有19人，全班每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？3.分析：这道题依然是基础型，因为“每人至少做对一道题”意味着“两项都不参加”的人数为0。4.解答：26+1940=5（人）5.变式：如果题目改成“有4人两道题都没做对”，那么全班人数40=做对题的人数+4，所以做对题的人数（A∪B）=404=36人。然后就可以求出交集：26+1936=9（人）。四、易错点与避坑指南【学霸警示】（一）【易错点1】对维恩图中数字的理解错误1.陷阱：有些题目在维恩图的圈里直接写上数字，比如左边圈写“10”，右边圈写“8”，中间重叠部分写“3”。学生容易错误地认为参加左边活动的就是10人，参加右边活动的就是8人。2.避坑指南：一定要明确，维恩图中单独写在左右“月牙”里的数字，通常只代表“只参加这一项”的人数。参加某项活动的总人数，必须加上中间重叠部分的人数。3.正确理解：参加左边活动的总人数=左边“月牙”人数(10)+中间重叠人数(3)=13人。（二）【易错点2】忘记减去重复部分1.陷阱：在解决“求两个小组总人数”的问题时，惯性思维就是将两个小组的人数直接相加（如9+8=17），忽略了有部分同学被重复计算了。2.避坑指南：拿到题目后，首先要判断名单或条件中是否有“既……又……”的重复元素。如果有，一定要用公式“总人数=甲+乙丙”来计算。（三）【易错点3】忽略“两者都不”的情况1.陷阱：题目中包含了“两项都不参加”的人，但在套用基本公式时没有把它加回来，导致结果比实际总人数少。2.避坑指南：认真审题，圈出关键词。看到“每人至少参加一项”或“全都参加了”这样的表述，说明没有“两者都不”的情况。看到“有部分同学什么都没参加”或“两项都不喜欢的有几人”，就一定要在最后加上这部分人数。五、思维拓展与跨学科链接（一）生活中的集合思想集合思想无处不在。比如，超市里的“买一送一”活动，如果你买的商品刚好是赠品，那么你得到的商品总数就可以用集合来计算。再比如，你的朋友圈和父母的朋友圈，可能有共同的朋友（交集），也可能有各自不认识的人。（二）与语文的链接：有趣的“一字多义”汉字中有很多多音字或多义字，一个字在不同的词语中代表不同的意思，这就像集合里的元素。例如，“行”字在“行走”（xíng）和“银行”（háng）中，虽然字形相同，但读音和意义完全不同，我们可以把它们看作是两个不同集合（“xíng的集合”和“háng的集合”）中的元素。（三）与体育的链接：参赛项目统计学校运动会报名时，经常有同学同时报名了100米跑和跳远，体育委员在统计总参赛人数时，就必须用到集合思想，把重复报名的人找出来，才能准确知道一共有多少人参加比赛。六、综合能力提升训练【学霸练兵】1.【基础演练】同学们参加课外班，学英语的有18人，学奥数的有12人，两种都学的有5人。问：学英语和奥数的一共有多少人？2.【巩固提高】三（5）班有50名学生，每个人都订了报纸。订《数学报》的有3