2026年高考数学考前20天冲刺讲义(二)(原卷版)

Page1目录倒计时16天➤圆锥曲线（解答题）……………01聚焦圆锥曲线定义、方程、几何性质及直线与曲线位置关系等综合问题10大考向14个核心考点倒计时15天➤数列（解答题）…………………19聚焦等差等比数列通项与求和、数列求通项与求和方法、数列不等式等6大考向6个核心考点倒计时14天➤函数及其性质（选填题）………31聚焦函数定义域值域、单调奇偶周期对称、零点与指对幂函数性质等6大考向15个核心考点倒计时13天➤导数及其应用（选填题）……………………44聚焦导数几何意义、单调性极值最值、不等式恒成立、零点问题等6大考向10个核心考点倒计时16天不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子・劝学》圆锥曲线（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①以椭圆、抛物线为考查主体（双曲线多为小题），核心考点包括轨迹方程、直线与曲线位置关系、弦长面积、定点定值、最值范围。②联立方程与韦达定理是通法，几何条件代数化（如向量垂直、斜率积为定值）是关键转化能力，运算量较大。►高考前沿：聚焦“非对称韦达”与“联立”技巧，减少机械运算；强调几何背景的转化（如阿基米德三角形、仿射变换）。突出逻辑推理与数学运算核心素养，需强化分步得分意识。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

基础公式与方程曲线标准方程焦点离心率准线渐近线椭圆x±ex——双曲线x±exy抛物线ypex——终极考点2

弦长公式与硬解定理（椭圆+直线y=kx+由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）则：则：弦长或联立x2a2+ya2k2+b2终极考点3

点差法（中点弦）设弦AB中点Mx0,y椭圆x2a2+y2双曲线x2a2-y2抛物线y2=2px：k=使用点差法时，需先设Ax终极考点4

弦长与面积弦长公式直线y=kx直线x=ty常见面积S=12ABS=S=终极考点5

平移齐次化（斜率之和/积为定值）适用：直线过定点Pm,n，涉及k1+步骤：平移坐标系：x'=x-m, 在新坐标系下写出曲线方程（展开至二次项）。设直线方程y'=kx'，代入曲线方程，得到关于化为齐次形式（各项次数相同），则k1,由韦达定理得k1注意：平移后曲线方程会多出一次项和常数项，需通过“1的替换”（如用x2a终极考点6

仿射变换（椭圆→圆）变换：x'=x, y'=aby对应关系：点：x直线：y斜率：k面积：S平行、共线、比例保持不变。终极考点7

轨迹方程常用方法方法适用场景步骤直接法动点直接满足几何条件设点、列式、化简、限制范围定义法满足圆锥曲线定义判断曲线类型，直接写方程相关点法动点随已知曲线上点运动用动点表示已知点，代入已知曲线参数法动点坐标与参数有关消去参数得方程交轨法两动直线交点分别表示直线，联立消参终极考点8

常见几何条件代数化几何条件代数表达式A,Bx以AB为直径的圆过CxM为AB中点x四边形ABCD是平行四边形x点P分AB的比为λxP=终极考点9

最值与范围常用工具二次函数：配方求顶点（注意定义域）均值不等式：一正二定三相等判别式法：将目标式转化为关于参数的二次方程，利用Δ≥0导数法：连续函数求导找极值几何意义：斜率、距离、投影的范围终极考点10

易错点清单设直线方程忘记讨论斜率不存在→扣1分联立后二次项系数可能为零（如直线与抛物线对称轴平行）→单独验证判别式Δ>0必须写，且由此确定参数范围→漏写扣1分韦达定理符号写反（尤其x1+x2弦长公式漏1+k2面积公式漏12→双曲线中点弦未验证点是否在曲线内→可能无解存在性问题解出后未检验Δ>0或范围→扣1分最值问题未说明取等条件或未验证取等点是否在定义域内→扣1分轨迹方程未注明范围（如x≠0）→扣1终极考点11

利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解终极考点12

处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.终极考点13

处理定值问题的思路：联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可.终极考点14

答题规范模板设方程：“设直线l:y=kx+m联立：“联立y=kx+mx2判别式：“由Δ>0得a2韦达：“由韦达定理得x1代入：“将韦达代入目标式，整理得：”结论：“所以，直线恒过定点x0,y0”/“定值为λ”/“真题精研--复盘经典把握规律考向01第一问：求方程（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．(1)求C的方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．（i）设，求的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.解题妙法三步解题法：三步解题法：定曲线类型：根据题意判断是椭圆、双曲线还是抛物线，明确标准方程形式（椭圆：x2a2+y2b2=1列方程求参数：利用已知条件（如过定点、焦距、离心率、点坐标、几何性质）建立关于a,b解并验证：解出参数，代入标准方程；注意椭圆a>b>0，双曲线a>0,口诀：先定型再定量，代入条件解参数；椭圆双曲看分母，抛物线盯准一次项。考向02第一问：求离心率（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．解题妙法三步解题法：三步解题法：写出基本量关系：椭圆e=ca，双曲线e=ca（利用条件列出方程：将几何条件（如点坐标满足曲线方程、焦点三角形边长关系、渐近线夹角等）转化为关于a,b化为e的方程并求解：消去b或a，得到e的二次方程，解出e，注意范围（椭圆0<e<1，双曲线技巧：双曲线渐近线斜率±ba，若已知渐近线夹角可求考向03第一问：轨迹方程（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．解题妙法三步解题法：三步解题法：设动点坐标：设所求轨迹上任意一点Px,y，根据题意找出列式化简：将条件翻译为等式（如距离公式、斜率关系、向量垂直或共线、点满足某曲线方程），代入已知点的坐标化简。检验完备性：去除不满足条件的点（如分母为零、轨迹范围限制），给出最终轨迹方程，注明缺少的点。常用方法：直接法、定义法（利用圆锥曲线定义）、相关点法（代入法）、参数法。考向04弦长问题（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．(1)求C的方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．（i）设，求的坐标（用m，n表示）；（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．解题妙法三步解题法：三步解题法：联立方程：将直线y=kx+m与圆锥曲线方程联立，消元得关于x韦达定理：写出x1+x2，x弦长公式：若消去y：AB若消去x：AB=1+1注意：直线过焦点时，可用焦半径公式简化弦长（如抛物线AB=考向05面积问题（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．解题妙法三步解题法：三步解题法：选底与高：若三角形顶点在曲线上，常用S=12AB⋅d（d或S=若直线过原点，S=1联立+韦达：将直线与曲线联立，用韦达定理表示弦长和距离，面积表达为k,m求最值或定值：利用基本不等式、函数单调性、导数等求面积最值；或代入验证得定值。考向06定点问题（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．（2020·全国I卷·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解题妙法三步解题法：三步解题法：设动直线方程：根据题意设直线方程（点斜式、斜截式或x=联立+韦达：联立直线与曲线，利用韦达定理表示交点坐标之间的关系。求定点：将目标条件（如某直线恒过定点、向量数量积为定值）转化为关于参数的方程，化简后若与参数无关，则定点的坐标即为所求。常用“参数分离法”，令参数系数为0解出定点。口诀：动线引参设方程，联立韦达表关系；恒过定点参数消，解出坐标即得定。考向07定直线问题（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.解题妙法三步解题法：三步解题法：设动点或动线：根据题意设动点坐标或动直线方程。推导点坐标关系：通过条件（如斜率之和/积为定值、点在某曲线上）得到动点的横纵坐标满足的方程。消参数得定直线：消去参数，得到关于x,y的方程，若恒为某条直线（如x=x0例：椭圆上两点与原点连线斜率积为定值，则弦中点轨迹为定直线。考向08求直线方程（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．解题妙法三步解题法：三步解题法：设直线形式：根据已知条件选择合适形式：点斜式y=kx+利用条件建立方程：如弦长、面积、垂直、中点、过定点等，结合曲线方程联立，用韦达定理表达条件，得到关于k,m（或解参数并验证：解出参数，代回直线方程；注意判别式Δ>0技巧：若直线过某点Px0,y0，设y考向09存在性问题（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．(1)求椭圆的方程．(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．解题妙法三步解题法：三步解题法：假设存在：先假设满足条件的点、直线或参数存在，设出相应变量。推导条件：根据题意列出方程或不等式组（如点在曲线上、距离关系、向量关系等），结合联立消元得到关于变量的方程。判断方程解的情况：若有解且满足范围（判别式、定义域等），则存在，并求出结果；若无解或违反约束，则不存在，给出结论。注意：常需结合判别式Δ≥0考向10证明问题综合（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．解题妙法三步解题法：三步解题法：明确证明目标：证明定值、定点、定直线、垂直、平行、三点共线、角相等等几何结论。转化为代数条件：用坐标表示几何关系（如垂直⇔x1x2联立+韦达/点差法：将直线与曲线联立，用韦达定理代入目标表达式，化简消去变量，证得结果与参数无关。点差法常用于中点弦问题。技巧：遇到椭圆中与中点有关的问题，优先考虑点差法；证明共线常用向量共线或斜率相等。终极预测--压轴实战稳拿高分1．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为.(1)求曲线的方程：(2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值.2．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上.(1)求的方程；(2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：.3．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值.4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点满足到的距离比到直线l：的距离少1，动点形成的轨迹称为曲线．(1)求点P的轨迹方程；(2)已知曲线上的两点、满足，且的面积为，求直线的方程．5．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点.（i）证明：为定值；（ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6．（2026·四川凉山·二模）已知为椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线交椭圆于两点.求的面积的最大值.7．（2026·山东泰安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为的直线过原点且与椭圆相交所得弦长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的内接四边形为菱形，且该四边形的周长为，面积为，判断是否为定值，若是求出该定值，否则说明理由.8．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且(1)求直线AB的斜率(用表示)；(2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1.①求证：直线l恒过定点Q；②若向量，且，求的面积S的取值范围.9．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5．(1)求抛物线C的方程；(2)，为上两点，的重心在直线上．（i）证明：直线的斜率为定值；（ii）设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动．10．（2026·山东东营·二模）已知曲线上任意一点到点的距离比它到轴的距离大．(1)求曲线的方程；(2)为曲线上一点，直线与曲线交于两点（不与点重合），直线与轴交于点，直线与轴交于点，且．（i）求直线的斜率；（ii）证明：的外接圆的圆心在定直线上．11．（2026·天津河东·二模）已知椭圆的方程为，上顶点为，右焦点为，椭圆的离心率为，点为中点，为坐标原点，，椭圆上一点在第一象限．(1)求椭圆方程；(2)若，求；(3)若直线与椭圆交于点，点在点右侧，为线段上一点，，证明过定点，并求出定点坐标．12．（2026·山西运城·二模）在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，点，，且向量与共线．(1)求的方程．(2)已知动直线与交于两个不同的点．（ⅰ）若过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于．（ⅱ）若不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程．13．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，．(1)求椭圆的方程；(2)求数列的通项公式；(3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值．14．（2026·河北保定·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为面积的最大值为(1)求椭圆的方程.(2)已知点，直线与椭圆交于两点，点为的垂心.（i）若为等边三角形，求点的坐标；（ii）若直线过点，求的最大值.15．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直．(1)求C的标准方程；(2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切?若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由；(3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．16．（2026·天津南开·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为2，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)直线：（）与椭圆交于点，，若椭圆上存在点使得四边形为平行四边形.且，求的值.17．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3．(1)求的方程：(2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点．（i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由；（ii）证明：直线ME过定点．18．（2026·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，．(1)求的方程；(2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①三点共线；②轴；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．（2026·山西晋中·模拟预测）若，点，双曲线．(1)写出，的坐标；(2)证明：对任意，点在双曲线C上；(3)设直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点，和点，记的面积为（O为坐标原点），求证：为定值．（参考公式：设三角形的三个顶点分别为，，，则三角形面积）20．（2026·浙江温州·二模）已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为．(1)求曲线E的方程；(2)已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，．（ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率；（ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值．倒计时15天锲而不舍，金石可镂。——《荀子・劝学》数列（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①核心考点为等差等比数列的证明与通项、求和（裂项相消、错位相减、分组求和），以及递推数列（构造法、取倒数、累加累乘）。②常与不等式、函数单调性结合考查最值与放缩，难度中档或压轴第一问。►高考前沿：聚焦“数列与概率综合”（如马尔可夫链基础）及“奇偶项讨论”的新型递推；突出数学运算与逻辑推理，强调从特殊到一般的归纳思想，注意答题规范中的数学归纳法表述。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

等差、等比数列通项公式（1）等差数列通项公式：或（2）等比数列通项公式：终极考点2

通项公式的构造（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解（2）已知用求通项（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法（5）已知用求通项公式，其本质是除以（6）已知用求通项公式，其本质是取倒数（7）已知用求通项公式，其本质是取对数（8）的类型，公式终极考点3

数列求和的常用方法对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和，等比数列求和对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即终极考点4

常见的裂项技巧；；指数型；对数型.等终极考点5

数学归纳法模板n=1假设n=证n=综上，对一切n∈终极考点6

常用放缩不等式111n211ln1+真题精研--复盘经典把握规律考向01分组求和1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.2．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．解题妙法三步解题法：三步解题法：拆解通项：将数列的通项公式拆分为若干个可独立求和的子项，如an=bn+cn，其中分别求和：利用等差、等比数列求和公式或常见求和公式（如∑n、∑合并结果：将各部分的和相加，化简得最终前n项和Sn常见拆分：an=2n+考向02裂项相消求和4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．解题妙法三步解题法：三步解题法：分解通项：将通项an裂项为两项之差的形式，即an=fn写出前n项和：Sn化简得结果：整理剩余项，得到最简表达式。考向03错位相减求和5．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．6．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．解题妙法三步解题法：三步解题法：识别模型：通项为等差数列乘以等比数列的形式，即an列式相减：写出S两边乘公比q：q两式相减，得1-q求出Sn：解出S口诀：等差乘等比，错位相减易；乘公比再相减，等比求和后解出Sn考向04求公差的值及范围7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．8．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．解题妙法三步解题法：三步解题法：设公差/通项：设等差数列{an}的首项a1，公差d利用条件列方程/不等式：将题设条件（如某几项的关系、前n项和的范围、正整数解、单调性）转化为关于d（或a1求解并验证：解方程得d的值；解不等式得d的范围，注意d可为正、负、零，并检查是否满足数列中的隐含条件（如项的正负、整数性等）。注意：涉及前n项和最值时，可结合二次函数对称轴分析；已知Sn表达式可直接求d考向05数列与其他知识点交汇问题9．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．解题妙法三步解题法：三步解题法：识别交汇点：分清数列与哪个知识点结合（函数、不等式、概率、三角、解析几何等），将数列问题转化为该知识点的问题。建立联系：与函数交汇：数列可视为定义在正整数集上的函数，利用单调性、最值、图象等分析。与不等式交汇：常考放缩法证明与Sn与概率交汇：求期望、概率时出现数列求和。与三角交汇：涉及周期数列、三角函数值求和。与解析几何交汇：点坐标成等差或等比数列。综合求解：先解决数列部分（如求通项、求和），再处理另一知识点的计算或证明，最终得出答案。技巧：遇到递推关系与函数结合时，可尝试构造新数列；不等式证明常用裂项放缩或数学归纳法。考向06数列新定义12．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．(1)求，的通项公式；(2)，，有，（i）求证：对任意实数，均有;（ii）求所有元素之和．13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．14．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．15．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．终极预测--压轴实战稳拿高分1．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且．(1)证明：是等差数列；(2)令，求．2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中．(1)求公差及的值；(2)设数列，数列的前项和为，求．4．（2026·陕西·二模）已知数列满足．(1)求的前项和；(2)记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式；5．（2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且.(1)求的前项和；(2)求.6．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足．(1)求的通项公式；(2)证明：．7．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2.(1)若，求数列的前n项和；(2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围.8．（2026·河南·模拟预测）已知数列满足，．(1)令，求数列的通项公式；(2)设的前n项和为，若，求n的最大值．9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知是数列的前项和，，(1)命题：若（i），则（ii）.①是以2为公差的等差数列；②对任意，.从①②中选择一个填在（i），另一个填在（ii），使得命题为真命题，并证明.（若写两种选择，则按第一种选择给分）(2)在（1）的条件下，求数列的通项.10．（2026·福建·二模）已知函数．(1)若是奇函数，求；(2)当时，的所有正零点从小到大排列构成数列，求的前项和．11．（2026·山西太原·二模）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.(1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望；(2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率.①求数列的通项公式；②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式.12．（2026·云南玉溪·二模）已知数列中，．(1)证明：数列是等差数列；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积；(3)记，若恒成立，求实数的最大值．13．（2026·江苏·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为.(1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率；(2)求随机变量的分布列；(3)证明：.14．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且．(1)求和的通项公式；(2)记．（i）证明：数列是等比数列；（ii）证明：．15．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”．(1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式．(2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为．（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”．（ii）证明：．倒计时14天长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白《行路难》函数及其性质（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①核心考点包括函数定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性、函数图象识别与变换。②难度覆盖中低档至压轴，常以分段函数、抽象函数、复合函数、指对幂函数比较大小为载体，考查数形结合与特殊值法。►高考前沿：聚焦抽象函数的赋值推理与对称+周期联用求值；突出直观想象与逻辑推理，强调熟记常见函数模型（如对勾函数、高斯函数）的图象性质，提升选择题解题速度。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性终极考点2

奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算终极考点3

周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）终极考点4

对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为终极考点5

周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：终极考点6

奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：终极考点7

与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数终极考点8

与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数终极考点9

奇函数+常函数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数终极考点10

指数和对数的互化公式终极考点11

对数的性质与运算法则两个基本对数：①，②对数恒等式：①，②幂的对数：①：②：③：积的对数：商的对数：终极考点12

换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：终极考点13

函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点终极考点14

函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点终极考点15

零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解真题精研--复盘经典把握规律考向01由函数奇偶性求参数值1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．13．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．解题妙法三步解题法：三步解题法：利用定义：偶函数：f-x奇函数：f-x特殊值法（小题首选）：代入简单的x值（如x=1或x=0待定系数法（大题思路）：化简f-口诀：奇偶求参不用愁，代个特殊值解方程；注意定义须对称，端点验证要记清。考向02函数图象识别5．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：看定义域与特殊点：排除图象中不存在的x范围；代入x=0,1,-1等计算f0看单调性与奇偶性：利用导数或基本初等函数性质判断增减趋势；奇偶性判断对称性。看趋势与渐近线：x→±∞技巧：结合极限、特殊值、导数的符号快速排除错误选项。考向03函数性质综合7．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点解题妙法三步解题法：三步解题法：拆解性质：题目常给出奇偶性、单调性、周期性、对称性中的两个以上。分别列出性质对应的代数表达式。推导关系：利用性质推出函数图象特征（如对称轴、对称中心、周期），转化到已知区间上的解析式。求值或解不等式：将自变量通过周期性或对称性化到已知区间内，再代入计算；解不等式时利用单调性去掉f。考向04指对幂函数性质12．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．13．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．15．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：比较大小：同底用单调性（a>1增，0<a同指数用幂函数单调性不同底不同指：取中间值（0,1）或作差/作商，也可构造函数利用单调性。解指对方程/不等式：化为同底，利用单调性去掉底数，注意底数范围决定不等号方向。换元法（如t=图象性质：指数函数恒过0,1，对数函数恒过1,0，都经过1,a对数真数大于0，定义域优先。口诀：指对幂比大小，同底单调中间桥；解不等式看底数，小于1时要变号。考向05函数零点与方程的根及图象交点16．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．17．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．218．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．解题妙法三步解题法：三步解题法：转化：零点fx=0→方程根→两个函数图象交点y=fx代数法（存在性）：由零点存在定理fa图象法（个数）：画出两个函数图象（注意渐近线、特殊点），数出交点个数；分参后a=注意：含参零点问题常转化为直线y=a与曲线y考向06函数及其应用19．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：建模：根据实际问题建立函数关系式（一次、二次、指数、对数、分段函数等），明确自变量范围与定义域。求目标量：利用函数性质（单调性、最值、变化率）解决实际需求，如最大利润、最小成本、增长率、衰减时间等。回归实际意义：计算结果要符合实际，取整、单位、范围等需验算。常见模型：平均增长率：y指数衰减：y对数型：pH值、声强级分段函数：出租车计价、水费电费终极预测--压轴实战稳拿高分一、单选题1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．2．（2026·湖北荆门·模拟预测）设函数，若，则满足的关系式为（

）A． B． C． D．3．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．4．（2026·四川·二模）函数的部分图象可能是（

）A． B．C． D．5．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．6．（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．7．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（

）个小时才能驾驶．（参考数据：，）A．6 B．7 C．8 D．98．（2026·山东东营·模拟预测）已知函数，（），若对于任意，，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2026·广东江门·二模）已知函数，，若恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．作出的大致图象，如图所示．由，得，由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，即恰有2个零点．10．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（

）A．99 B．78 C．66 D．52二、多选题11．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为12．（2026·重庆·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．C．当时， D．的极大值为13．（2026·河北邢台·二模）已知是定义在上的奇函数，，，若为偶函数，则（

）A． B．C． D．14．（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（

）A． B．C．是奇函数 D．三、填空题15．（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______．倒计时13天千磨万击还坚劲，任尔东西南北风。——郑燮《竹石》导数及其应用（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①核心考点为导数的几何意义（切线斜率、切线方程）、利用导数研究函数单调性、极值最值、函数的零点与图象交点。②难度以中档偏上或压轴为主，常以含参函数、复合函数、构造函数比较大小、三次函数性质为考查形式。►高考前沿：聚焦构造函数比大小（如借助ex考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

八大常用函数的求导公式（为常数）；例：，，，，，，，终极考点2

导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，终极考点3

复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）终极考点4

导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：终极考点5

用导数判断原函数的单调性设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.终极考点6

判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.终极考点7

常见的指对放缩，，，终极考点8

常见的三角函数放缩终极考点9

其他放缩，，，，，，终极考点10

常见函数的泰勒展开式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．真题精研--复盘经典把握规律考向01切线问题（含公切线）1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________.4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.解题妙法三步解题法：三步解题法：单曲线切线：设切点x0,fx0，斜率k=f'x0公切线：分别设两曲线上的切点x1,fx1和x2,选填技巧：若切线过原点且fx口诀：单切线设切点，公切线双切点；斜率相等且同线，解方程组得答案。考向02导数与函数单调性5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．6．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.解题妙法三步解题法：三步解题法：求导并化简：对函数求导f'解不等式：在定义域内解f'x>0得增区间，选填技巧：已知单调性求参数范围：转化为f'x≥0（或利用导函数图象（如y=f注意：导数等于0的点不一定是单调区间分界点，需检验。考向03极值与最值7．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．18．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．9．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：求临界点：令f'判极值：左正右负为极大值点，左负右正为极小值点。选填常用二阶导数：f'x0=0且f