机电系统计算机控制 课件 第2章 2 差分方程及Z传递函数

本课主要内容•线性定常离散系统的差分方程及求解•Z传递函数•教学目的：（1）差分方程的基本概念；（2）了解线性离散系统的数学描述方法—线性常系数差分方程描述；（3）会用Z变换的定义及性质求解差分方程；（4）掌握Z传递函数的定义和性质，会用开环以及闭环系统的Z传递函数分析系统。•本课重点：（1）差分方程的求解；（2）Z传递函数的定义和性质；（3）Z传递函数的求法。•本课难点：Z传递函数的性质及连续环节的离散化。•本课关键：对照连续系统的相应定义来理解离散系统。

物理系统：连续系统——离散系统

时域数学模型：微分方程——差分方程

模型简化变换：L氏变换法——Z变换法

变换映射关系：S平面——Z平面

对应传递函数：S传递函数——Z传递函数Unit2.4Z变换理论的应用1．差分概念：设函数，当自变量依次取遍非负整数时，相应的函数值排成一列将之简记为称为函数点的差分，记做即一阶差分的差分叫做二阶差分，即类似可以定义高阶差分，ｋ阶差分为56

差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。

差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的

特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其它分析，得到原问题的解。

３.差分方程的解含有未知函数的差分或未知函数几个不同时期值的方程称为差分方程．出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶．如下方程都是二阶方程．２.差分方程如果一个函数代入差分方程，使方程两边恒等，则称此函数为差分方程的解．若在差分方程的解中，含有相互独立的任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这个解为差分方程的通解．7例1．汉诺塔问题:n个大小不同的圆盘依其半径大小套在桩A上，大的在下，小的在上。现要将其n个盘移动到空桩B或C上，但要求依次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩A也可以利用。设移动n个盘的次数为,试建立关于的差分方程。ABC４．离散系统差分方程建模举例89解：先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，这需要移动次，再A盘上最大盘移动到B上，这需要移动一次，最后将C盘上的n-1个盘按要求移动到B上,这需要移动次，于是得差分方程：ABC10例2．裴波那契（Fibonacci)数列设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两个月后为成兔，同时第三个月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n月末共有对兔子，拭建立关于的差分方程。11解因第ｎ月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题设知，当月生的的小兔等于前月末的兔数，所以称为裴波那契（Fibonacci)数列12差分方程模型在现实生活离散系统有着非常广泛的实际背景。在经济、金融、保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。再如经济学中的商品数量与价格关系模型、减肥计划中的节食与运动关系模型等，可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

差分方程模型在连续系统有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。为何把微分方程模型化为差分方程模型？Unit2.5线性定常离散系统的差分方程及求解LinearDifferenceEquationanditsSolution2-4-1用Z变换求解差分方程(变换法)用Z变换求解差分方程的步骤：（1）对差分方程作Z变换；（2）利用已知初始条件代入Z变换式，求出Y(z)表达式；（3）对Y(z)求Z反变换，求出差分方程的解:y(kT)=Z-1[Y(z)]1取Z反变换得2第五节Unit5Z传递函数TheDiscretez-TransferFunction2-5-1Z传递函数的定义（1）传递函数（线性连续系统）定义：在初始静止（t=0时输入量r(t)和输出量y(t)以及它们的各级导数均为零）的条件下，一个环节（或系统）的输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比为该环节（或系统）的传递函数。在连续系统中传递函数反映了环节的物理特性，仅取决于描述系统的微分方程。2-5-1Z传递函数的定义（2）传递函数（线性离散系统）定义：在初始静止(k=0时，输入序列与输出序列均为零）的条件下，一个环节(或系统）的输出脉冲序列的Z变换Y(z)跟输入脉冲序列的Z变换R(z)之比。

意义：反映了环节的物理特性，仅取决于描述线性离散系统的差分方程。2-5-1Z传递函数的定义（3）Z传递函数的推导：设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。2-5-2Z传递函数与脉冲响应函数的关系称为系统的脉冲过渡函数或脉冲响应函数1.脉冲响应函数定义系统的输出对于离散系统情况：环节（或系统）的Z传递函数G(z)等于单位脉冲响应g(kT)的Z变换。系统的输出2-5-3Z传递函数的求法

1.已知控制系统传递函数G(s)，求Z传函。(1)用拉氏反变换求脉冲过渡函数

g(t)=L-1[G(s)](2)将g(t)按采样周期T离散化，得g(kT)(3)应用定义求出Z传递函数，即2.已知差分方程，求Z传函。3.已知系统的传递函数G(s)，求Z传函。

（部分分式法）注意：(1)G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。(2)G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。(3)G(s)只与连续环节本身有关；G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为2-5-4开环Z传递函数传递函数和Z传递函数的比较：（1）定义形式上相似；（2）结构图的简化变换有差异：a）传递函数对应的输入输出是模拟量，Z传递函数对应的输入与输出是脉冲序列。b）Z传递函数存在同步开关，其位置决定Z传递函数的表达形式。2-5-4开环Z传递函数一、串联环节的Z传递函数：结构有两种情况：一种：两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图4所示。注意：输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。方法：先求两个连续环节的传递函数，即上式对应的Z传递函数为

表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。另一种：两个环节之间有同步采样开关存在，如图5所示。方法：两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数的定义直接求出。

串联环节总的Z传递函数为结论：

n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即

如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数，然后再根据G(s)求G(z)。二、并联环节的Z传递函数：

对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图6所示。

根据图6可知，总的Z传递函数等于两个环节Z传递函数之和，即2-5-5闭环Z传递函数设两个定义：闭环Z传递函数闭环误差Z传递函数2-5-5闭环Z传递函数规律：(1)分子部分与主通道上各个环节有关;(2)分母部分与闭环回路中各个环节有关;(3)采样开关的位置对分子、分母部分都有影响。推导步骤：

(1)在主通道上建立Y(z)与中间变量E(z)的关系;(2)在闭环回路中建立中间变量E(z)与R(z)或R(s)的关系;(3)消去中间变量E(z)，建立Y(z)与R(z)或R(s)的关系。例9：

设离散系统如图9所示，求该系统的闭环

误差Z传递函数及闭环Z传递函数。2-5-6Z传递函数的物理可实现性“物理可实现”概念:系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。设G(z)的一般表达式为：假定m≥0，n≥0，则其对应的差分方程为由上式知，k时刻的输出y(k)不依赖于k时刻之后的输入，只取决于k时刻以及k时刻之前的输入和k时刻之前的输出。G(z)是物理可实现的（无条件实现）。若设G(z)的一般表达式为(m≥0，n≥0)如果n≥m，则G(z)是物理可实现的（有条件实现）。如果n<m，则G(z)是物理不可实现的（k时刻的输出y(k)就要依赖于k时刻之后的输入）。2-5