高等数学 课件1.2 函数

第二节函数0102030405060708函数的概念常见的分段函数反函数复合函数函数的基本性态函数的运算

初等函数内容小结一、函数的概念定义1设非空数集

，则称映射为定义在

上上的函数，通常简记为其中

称为自变量，称为因变量，为定义域.注：（1）函数的三个基本要素：定义域，对应法则和值域.(2)对应规律与自变量和因变量采用的符号无关.例1-2求下列函数的定义域：解(1)由题意得:,可得所求的函数定义域为(2)由题意得:,可得所求的函数定义域为例1-3某电商平台定期补货销售某款热门电子产品，一年的总需求量为件，分若干次补货，每次补货的手续费为

元.由于销售稳定，平均库存量为每次补货量的一半，每件电子产品一年的仓储费用为元.为了确定最优的补货量，试求出一年中仓储费与补货手续的和同补货量解

设每次的补货量为，一年中仓储费与补货手续费的和为则每年补货的批数为

，所以补货手续费为

，的函数关系，并求该函数的定义域.因为平均库存量为补货量的一半，即

，每件一年仓储费为

元，所以仓储费为

，因此可得其定义域为但应注意到，表示电子产品的件数，批数

为整数，所以

只能取使

为整数且

的正整数.二、常见的分段函数（1）绝对值函数定义域：值域：（2）符号函数定义域：值域：（3）取整函数表示不超过

的最大整数，其中

为任意实数.（4）狄利克雷函数

通常称为分段函数．它仍然是一个函数，而不是几个函数.以上函数都是分段函数.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，例1-4某通讯公司推出的手机流量套餐收费标准如下：当月使用流量不超过

，每收费5元；使用流量大于

而不超过时，其中超过

部分每收费3元；使用流量大于

时，超过部分每

收费2元.若当月使用流量为

，费用记为

，求的函数表达式.解当时，当时，当时，综上得三、反函数定义

2

设函数是单射，则它存在逆映射，称此映射

为函数的反函数.

注：（1）

和

互为反函数.

和

的图像关于直线

对称.（2)

在同一直角坐标系中，和的图像重合；

（3）不是每个函数都有反函数.例如：没有反函数.（4）单调函数一定有反函数，但反过来不一定成立.例如：函数

有反函数，但不是单调函数.四、复合函数定义3设函数

，满足，则称为由函数和复合而成的复合函数

.其中例1-5在某电商直播带货场景中，主播的月收入与该月的销售额相关，函数关系为.而销售额又与直播带货的商品数量

有关，其关系为.代入中，得到

我们把称为由和构成的复合函数.将例1-6设，求的定义域．解由题设可得因为由,可知

或.所以复合函数

的定义域为例1-7

分析下列复合函数的复合过程.解(1)（令）（令）解

（2）（令）（令）（令）五、函数的基本性态（1）函数的有界性定义

4

设函数在上有定义.若存在，否则称函数

是上的无界函数．

使得，恒有，则称是上的有界函数.例如：，是内的有界函数.在内是无界函数.注：函数的有界性与所选的区间有关例1-8

证明函数在上是有界的．

证因为，因此对一切

都成立．于是可得函数

在上是有界的．（2）函数的奇偶性定义

5

如果函数的定义域关于原点对称，若，都有，则称为奇函数；，都有，则称为偶函数．xyO−xxy=f(x)P'(−x,f(x))P

(−x,f(x))x−xxyOy=f(x)Q'

(−x,−f(x))Q(x,f(x))例1-9

判断下列函数的奇偶性.(1)，其中且

(2)解

(1)由于因此，

是奇函数.解

由于因此是偶函数.(2)（3）函数的单调性xOaby=f(x)x1y1=f(x1

)x2y2=f(x2

)yxOx1x2aby=f(x)y=f(x1)y=f(x2)定义6

设函数

在区间上有定义，对于区间

上任意两点若当

时，恒有，则称函数

在是单调增加的；若当

时，恒有，则称函数

在是单调减少的；（4）函数的周期性定义7

设函数

的定义域为,如果存在一个非零常数,使得,有,且成立，则称为周期函数，

称为的一个周期.通常所说的周期是指其最小正周期.例如，,都是以为周期的周期函数，,都是以为周期的周期函数.例1-10

设函数是以

为周期的周期函数，试求函数的周期，其中

为常数，且

解因为根据周期函数的定义，的周期为例1-11

求函数解因为所以的周期为

的周期.例1-12

狄利克雷函数容易验证这是一个周期函数，任何正有理数

都是它的周期.因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.六、函数的运算设函数的定义域依次为函数的和（差）：函数的积：函数的商：则可以定义这两个函数的下列运算：例1-13证明任何一个函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.证任取一个函数，假如存在这样的，存在，使得

(1)，于是有 (2)，，且利用(1)(2)式，就可以得到则因此任何一个函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.

七、初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（1）基本初等函数统称为基本初等函数．（i）幂函数

，为任意常数，其定义域随

的不同而不同．的定义域是.的定义域是.（ii）指数函数

，其中且.

其定义域为.当

时，单调减少当

时，单调增加注：（1）对数恒等式特别地，（2）换底公式（iii）对数函数，其中且.其定义域为.（iv）

常用的三角函数有正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数正切函数与正割函数的定义域余切函数与余割函数的定义域（v）

反三角函数反正弦函数反余弦函数定义域值域定义域值域反正切函数反余切函数定义域值域定义域值域定义8由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合例如，函数

，等都是初等函数.运算所构成的一个式子表示的函数，称为初等函数.通常分段函数不是初等函数，但有些分段函数仍是初等函数，是分段函数形如

的函数，其中

和