2.7 函数的连续性与间断点

01.函数的连续性02.函数的间断点03.内容小结第七节函数的连续性与间断点第七节函数的连续性与间断点函数的连续性不仅存在于抽象的数学理论中，而且广泛、切实地一、函数的连续性贯穿于我们的日常生活.从变幻万千的自然界到遵循着精确规律的物理世界，函数连续性的实例无处不在,比如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续地变化着的,生动地诠释着数学与现实的紧密联系.在正常情况下，气温不会突然从一个值跳到另一个值，而是随着时间的推移逐渐变化，这就意味着，当时间发生微小变化时，气温的变化也是微小的，这就是所谓的连续性.第七节函数的连续性与间断点第七节函数的连续性与间断点1.函数在某点处连续定义1设变量从它的一个初值变到终值,终值与初值的差称为变量的增量,记作.增量可以是正的,也可以是负的.当为正时,变量从变到是增大的,当为负时,变量从变到是减小的.第七节函数的连续性与间断点初值终值增量=终值

初值自变量函数第七节函数的连续性与间断点定义2设函数在点的某一邻域内有定义，若自变量从初值变到终值相应的函数从初值变到终值若那么就称函数在点连续.点称为的连续点.否则称为函数的间断点.第七节函数的连续性与间断点例2-45证证明函数在内连续.因此函数在内连续.，因为，，第七节函数的连续性与间断点在定义2中，通过变量代换，有，当时,于是可等价地表示为：即同理可以证明函数在内连续.第七节函数的连续性与间断点定义3设函数在点的某一邻域内有定义，若就称函数在点连续.函数在点处连续必须具备下面的条件:，(1) 在点处有定义.(2)极限存在.(3)在处的极限值等于该点处的函数值,即.第七节函数的连续性与间断点例2-46对于次多项式,有,因此多项式函数在定义域内任意点处都连续.例2-47证证明函数在处连续.所以在点处连续.第七节函数的连续性与间断点2.单侧连续定义3设函数在点的左邻域内有定义，如果则函数在点处左连续.设函数在点的右邻域内有定义，如果则函数在点处右连续.第七节函数的连续性与间断点定理1函数在点处连续的充要条件是函数在点处既左连续又右连续.即第七节函数的连续性与间断点例2-48解已知函数，判断其在处是否连续.因此所以在点处连续.第七节函数的连续性与间断点例2-49讨论函数在处的连续性.解函数在处右连续，但不是左连续.故函数在处不连续.定义5设函数在开区间内有定义，第七节函数的连续性与间断点若对于任意的，都有，则称函数在开区间上连续.如果函数在开区间上连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续．类似地可以定义函数在半开半闭区间和无穷区间上的连续性.连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.第七节函数的连续性与间断点二、函数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义，（1）在没有定义；（2）在有定义，但不存在；（3）在有定义，且存在，但；则函数在点处不连续，或间断点.而点称为函数的不连续点如果函数有下列三种情形之一：第七节函数的连续性与间断点(1)第一类间断点：根据间断点的不同特征，可将间断点分为第一类间断点和第二类间断点：左极限，右极限都存在若，称是函数的可去间断点；若，称是函数的跳跃间断点；第七节函数的连续性与间断点例2-50解讨论函数,在处的连续性.因此是函数的可去间断点.第七节函数的连续性与间断点例2-51解讨论函数在处的连续性.所以但是在处没有定义.因此是函数的可去间断点.第七节函数的连续性与间断点对于可去间断点，通过改变或者补充该点处函数的定义，令，就能让变为函数的连续点.第七节函数的连续性与间断点例2-52解讨论函数在处的连续性.因此是函数的跳跃间断点.第七节函数的连续性与间断点(2)第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点.例2-53解讨论函数在处的连续性.函数在处无定义.则是函数的第二类间断点，是无穷间断点.第七节函数的连续性与间断点例2-54讨论函数在处的连续性.解函数在处无定义.当时,在之间来回振荡，故为函数的振荡间断点.第七节函数的连续性与间断点间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点：跳跃间断点：左右极限相等左右极限不相等无穷