高等数学 上册 课件3.1 导数的概念

第三章导数、微分、边际与弹性微分学是高等数学的重要内容.导数反映了因变量相对于自变量的变化率，描述函数的变化快慢.微分描述了自变量发生微小变化时函数值的近似变化情况，刻画了函数的变化程度.目录边际与弹性0206导数概念0103高阶导数函数的微分05隐函数及由参数方程所确定的函数的导数求导法则与基本初等函数求导公式0401.引例第一节导数概念02.导数的定义03.单侧导数04.导数的几何意义05.可导与连续的关系06.内容小结在十六世纪末十七世纪初，随着生产力的显著提升，天文学，航海技术，军事技术等领域有了迅猛地发展，在生产实践中产生了大量问题亟待解决.这些问题主要归结为以下四类：1.如何求运动物体在某一时刻的速度.2.如何求曲线在某一点处的切线.3.如何求函数的最大值与最小值.4.如何计算曲线长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、以及大质量物体间的引力等。正是对这些问题的深入研究，推动了微积分的诞生。第一节导数概念第一节导数概念一引例1.变速直线运动的瞬时速度在航天、交通等领域，“中国速度”令人瞩目.2020年嫦娥五号探测器完成月球采样任务后，与轨道器分离，返回器以接近第二宇宙（约为），高速进入地球大气层，通过半弹道跳跃式轨迹（“打水漂”技术），在降至距地面约10公里高度时，返回器打开降落伞完成最后减速并保持姿态稳定，随后在预定区域平稳着陆.第一节导数概念2024年12月，全球最快高铁列车CR450动车组亮相，试验时速

，运营时速.在高铁运行中，气动阻力随速度二次方增长，提速至，阻力将增加30%.为此，CR450采用高效永磁牵引电机和先进空气动力学设计，成功克服阻力.使得制动性能提升20%以上（

制动响应时间1.7秒），以更高速、更安全、更节能、更舒适、更智能，续写“中国速度”.而高铁在启动、加速、巡航和制动过程中，其速度的变化直接影响着性能和安全.那么，如何精确描述和计算运动物体在某一时刻的速度呢？第一节导数概念设某质点沿数轴作变速运动，假设质点在

时刻位于数轴的原点.已知质点在

时刻的位置坐标为,即.求质点在

时刻的瞬时速度.从时刻

到的平均速度：在时刻

的瞬时速度为：第一节导数概念2.曲线的切线问题曲线

在点处的切线：割线的极限位置第一节导数概念2.曲线的切线问题曲线

在点处的切线：割线的极限位置割线的斜率为切线的斜率为第一节导数概念瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似的问题还有：加速度是速度增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限电流强度是电量增量与时间增量之比的极限第一节导数概念

导数的定义1.函数在一点处的导数定义1

设函数

在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量

（点仍在在邻域内）时，函数

也取得相应的增量若极限存在，则称函数在点

处可导或导数存在.第一节导数概念这个极限称为函数

在处的导数，记为，即也可记作

，或

若上述极限不存在，则称函数

在点处不可导.第一节导数概念导数也可以用不同的形式表述：注：是因变量

在以和为端点的区间上的平均变化率是因变量在点

的瞬时变化率，刻画了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.第一节导数概念例3-1已知函数

在处可导，且，求解第一节导数概念2.导函数如果函数

在开区间

内的每一点处都可导，就称函数在开区间

内可导.对于任一,都对应着

的一个确定的导数值，这样就构成一个新的函数，称为原来函数

的导函数，记作，，或，即特别地：第一节导数概念3．用定义求导数举例例3-2求函数(为常数)的导数.解

即:步骤：(1)求增量(2)算比值(3)求极限第一节导数概念例3-3求函数

的导数.解

即：第一节导数概念一般地，当,且为常数，例如，第一节导数概念例3-4求函数

的导数.解

即：类似可证第一节导数概念例3-5求函数

的导数.解

即：特别地，有第一节导数概念例3-6求函数

的导数.解

即：特别地，有第一节导数概念例3-7讨论函数在处的导数.解

当时，当时，由所以

不存在即函数

在不可导.第一节导数概念三、单侧导数(1)左导数：(2)右导数：左导数和右导数统称为单侧导数函数

在点可导如果函数

在开区间

内可导，且

及都存在，则

在闭区间

上可导.第一节导数概念四、导数的几何意义函数在处的导数在几何上表示曲线

在点

处的切线的斜率，即（为倾角）切线方程为法线方程为第一节导数概念例3-8

求抛物线,求过点的切线方程和法线方程.

解

过点

的切线斜率从而所求的切线方程为即法线方程为即例3-9求曲线

通过点

的切线方程.解

点

不在曲线

上.设切点为切点在曲线

上，因此有则切线的斜率为:所求切线方程可设为由切线通过点

得解得:或第一节导数概念第一节导数概念当

时，切线的斜率

，于是切线方程当

时，切线的斜率

，于是切线方程即：综上曲线

通过点

的切线方程为或第一节导数概念五、函数可导性与连续性的关系定理1如果函数

在点处可导，则函数

在点处连续.证设函数

在点处可导，即即函数

在点处是连续的.注：（1）函数在某点连续却不一定在该点处可导.（2）若函数在某点不连续则在该点处一定不可导.第一节导数概念例3-10函数

在内连续，但在点

处不可导。因而

在点处不可导。曲线

在点处具有垂直于

轴的切线第一节导数概念例3-11讨论在点处的连续性与可导性.解

由得因此函数

在点处连续.第一节导数概念得因此函数

在处不可导.第一节导数概念例3-12

函数

在点处的连续性与