高等数学 上册 课件4.2 洛必达法则_第1页
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文档简介

02040103型未定式第二节洛必达法则型未定式型未定式内容小结第二节洛必达法则在第二章中我们学了两种类型的未定式：两个无穷小比值的极限及两个无穷大比值的极限，这个极限有可能存在、也可能不存在.型型洛必达（L’Hospital，1661–1704）支持者,师从约翰·伯努利，曾解决“最速降线”他于1696年出版首部系统微积分教程《用于理解曲线的无穷小分析》，法国数学家，生于巴黎贵族家庭，早年从军，后因近视转向学术。他是莱布尼兹微积分的问题，并成为法国科学院院士。著名的“洛必达法则”实为其师伯努利的成果，由洛必达出资换取发表权。推动了微积分在欧洲的普及。洛必达与众多数学家交往密切，是微积分传播中的重要人物。第二节洛必达法则一、时的型未定式定理1

设

(1)；(2)在点的某去心邻域内，

及都存在，且；(3)

存在（或为）.那么.第二节洛必达法则证

因为

与和在的定义无关,假设任取,和在以

及为端点的区间上，满足柯西中值定理的条件，因此有（在与之间）当

时，此时，有.第二节洛必达法则注：（1）

当不存在且不是无穷大时，就不能使用洛必达法则了，可能存在，可能不存在.（2）

如果当时还是型，且这时

，能满足定理中的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即第二节洛必达法则例4-8求.解

例4-9求.解第二节洛必达法则例4-10求.解注：不是未定式，不能对它使用洛必达法则.

第二节洛必达法则例4-11求.解第二节洛必达法则例4-12求.解第二节洛必达法则二、时的型未定式定理2

设

(1)；(2)当，及都存在且(3)

存在（或为）.那么.第二节洛必达法则例4-13求解第二节洛必达法则三、（或）时的未定式定理1

设

(1)；(2)在点的某去心邻域内（或当

时），(3)

存在（或为）.那么.及都存在，且.第二节洛必达法则例4-14求.解例4-15求.解增大速度比快第二节洛必达法则例4-16求(为正整数，).解应用洛必达法则

次，得注1:对数函数、幂函数、指数函数都为当时的无穷大，这三个函数增大的“速度”是不一样的.增大速度比快注2:一般地，当

时，其中.第二节洛必达法则四、型未定式例4-17

求解

1.型：（转化为型或型未定式）第二节洛必达法则2.型：（通分后化为）例4-18

求.解

第二节洛必达法则例4-19

求.解

第二节洛必达法则例4-20

求.解

第二节洛必达法则例4-21

求.取对数得：3.型：(型）设，解于是有所以第二节洛必达法则例4-22

求.解令,取对数，有：(型）当时，故.第二节洛必达法则例4-23

求.所以解

(型）取对数得：设洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但在实际应用中应当注意：能化简时先化简（如通过因式分解，有理化或使用等价无穷小进行代换等方法简化表达式），然后再运算，这样可以避免不必要的复杂运算.

第二节洛必达法则拓展题例4-24

（第二届全国决赛题，2011）求.

解

故原式第二节洛必达法则例4-25

求

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