5.4 有理函数的积分_第1页
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01.有理函数的积分02.可化为有理函数的积分03.内容小结第四节有理函数的积分第四节有理函数的积分一、有理函数的积分两个多项式函数的商称为有理函数，或有理分式.如：，，若分子多项式的次数

分母多项式的次数时，称为真分式，若分子多项式的次数

分母多项式的次数时，称为假分式.第四节有理函数的积分利用多项式除法，假分式可化为一多项式与一真分式之和.因此有理函数的积分归结为有理真分式的积分.多项式积分容易求得，将其拆解为若干个部分分式的和，再对每个部分分式逐一积分.有理真分式积分的核心思路：将有理真分式分解为部分分式之和，一般有以下步骤：第四节有理函数的积分有理真分式分解为只含有形式这里的次数分别小于.的部分分式之和.把有理真分式的分母在实数范围内分解为若干个一次因式和二次质因式（

）的乘积.

（1）分母因式分解第四节有理函数的积分（2）确定部分分式形式则对应个部分分式若分母含有形式的因式，若分母含有形式的二次质因式，则对应个部分分式第四节有理函数的积分（3）确定待定系数(i)比较系数法将所设的部分分式通分后与原有理真分式比较分子，使同次项系数相等列方程组求解.(ii)特殊值法在等式两边代入适当的值，使某些项为0，从而简化计算求出待定系数.第四节有理函数的积分例5-55解将分解为最简分式.等式左右两边同时乘以得：比较上式两端同次幂的系数，有解得，因此第四节有理函数的积分例5-56将分解为最简分式.解比较上式两端同次幂的系数，有解得，，因此法一：比较系数法第四节有理函数的积分

法二：特殊值法取，代入上式，得:取，代入上式，得:取，代入上式，得:因此第四节有理函数的积分例5-57解求由上题结果得第四节有理函数的积分例5-58解求通过比较系数得等式两边同时乘以得：第四节有理函数的积分解得因此故，第四节有理函数的积分例5-59解求等式两边同时乘以得：比较系数得:第四节有理函数的积分解得,,故第四节有理函数的积分第四节有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三角函数有理式是指由三角函数以及常数经过通常记为有限次的加、减、乘、除四则运算所得到的函数表达式，例如：，，第四节有理函数的积分（1）万能代换令，可将任何三角函数有理式积分转化为有理函数积分.第四节有理函数的积分则化为关于的有理函数积分.（2）特定代换根据被积函数的不同特点选择合适的代换方法，简化计算过程.例如，当被积函数形如

时，可令.第四节有理函数的积分例5-60解求令

,则第四节有理函数的积分拓展题第四节有理函数的积分解例5-61求令,则，第四节有理函数的积分设通分，得比较系数得解得第四节有理函数的积分第四节有理函数的积分第四节有理函数的积分例5-62解求令设通分，得第四节有理函数的积分解得所以第四节有理函数的积分内容小结

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