九年级上册圆的切线证明题练习题

九年级上册圆的切线证明题练习题圆的切线证明是平面几何中的一个重要知识点，它不仅考察我们对圆的基本性质的理解，更考验逻辑推理和综合运用知识的能力。在九年级上册的学习中，这部分内容既是重点也是难点。掌握切线的证明方法，需要我们熟练运用切线的定义、切线的性质定理以及判定定理，并结合之前学过的全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识，形成完整的推理链条。一、核心知识梳理与方法归纳在着手解决切线证明题之前，我们首先必须明确几个核心的概念和定理，它们是我们进行推理的基石。1.切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。这是一个非常重要的性质，通常在已知切线的情况下，连接圆心和切点，构造直角，是解决后续问题的关键辅助线。3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这是我们证明一条直线是圆的切线的主要依据。根据判定定理，证明切线通常有两种基本思路：*思路一：“连半径，证垂直”当待证直线与圆有明确的公共点时（题目中通常会告知交点，或通过图形可以直接观察到），我们可以：1.连接圆心与这个公共点（即连接半径）。2.证明这条半径与待证直线垂直。此时，根据切线的判定定理，即可得出该直线是圆的切线。*思路二：“作垂直，证半径”当待证直线与圆的公共点不明确（题目中未告知，或图形中难以直接看出）时，我们可以：1.过圆心作待证直线的垂线，垂足为某一点。2.证明这条垂线段的长度等于圆的半径。此时，根据切线的定义（或判定定理的等价表述），该直线即为圆的切线。在实际解题中，我们需要根据题目所给条件，灵活选择上述两种思路，并结合全等、相似、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识来完成“垂直”或“半径相等”的证明。二、精选练习题与思路解析以下为几道典型的圆的切线证明题，我们将按照上述思路进行分析和证明，希望能帮助同学们更好地掌握解题方法。练习题1题目：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。思路分析：要证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。已知CD是⊙O的切线，点C为切点，根据切线的性质定理，连接OC，则OC⊥CD。又因为AD⊥CD，所以AD∥OC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。由平行线的性质可知，∠DAC=∠OCA。又因为OA=OC（同圆半径相等），所以∠OCA=∠CAB。因此，∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。这里的关键是连接半径OC，利用切线性质得到垂直关系，进而构造平行线和等腰三角形。证明过程：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD（切线的性质定理）。∵AD⊥CD，∴AD∥OC（垂直于同一直线的两直线平行）。∴∠DAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等）。∵OA=OC（⊙O的半径），∴∠OCA=∠CAB（等边对等角）。∴∠DAC=∠CAB（等量代换）。即AC平分∠DAB。练习题2题目：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。思路分析：要证DE是⊙O的切线，已知点D在⊙O上（因为D在直径AB所对的圆周上），所以属于“有公共点”的情况，应采用“连半径，证垂直”的思路。即连接OD，证明OD⊥DE。因为AB=AC，所以∠B=∠C。又因为OB=OD（半径），所以∠B=∠ODB，从而∠ODB=∠C，可得OD∥AC（同位角相等，两直线平行）。已知DE⊥AC，所以OD⊥DE（两平行线中的一条垂直于第三条直线，另一条也垂直于第三条直线）。由此可证DE是⊙O的切线。证明过程：连接OD。∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵OB=OD，∴∠B=∠ODB（等边对等角）。∴∠ODB=∠C（等量代换）。∴OD∥AC（同位角相等，两直线平行）。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE（如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）。∵OD是⊙O的半径，且OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线（切线的判定定理）。练习题3题目：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C。求证：直线PB与⊙O相切。思路分析：要证PB与⊙O相切，题目中只告知PA与⊙O相切于点C，PB与⊙O是否有公共点不明确，因此应采用“作垂直，证半径”的思路。即过点O作OD⊥PB于点D，证明OD等于⊙O的半径OC（因为OC是半径且OC⊥PA）。因为点O在∠APB的平分线上，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以OD=OC。又因为OC是⊙O的半径，所以OD也是⊙O的半径，且OD⊥PB，从而PB是⊙O的切线。证明过程：连接OC，过点O作OD⊥PB于点D。∵PA与⊙O相切于点C，∴OC⊥PA（切线的性质定理），且OC是⊙O的半径。∵点O在∠APB的平分线上，且OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）。∴OD是⊙O的半径。又∵OD⊥PB，∴直线PB与⊙O相切（切线的判定定理）。练习题4题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A。求证：BD是⊙O的切线。思路分析：要证BD是⊙O的切线，已知点B不在⊙O上（因为E在AB上，且OA是半径，若B在圆上则AB为直径，但题目未说明），所以BD与⊙O的公共点不明确，考虑“作垂直，证半径”或“连半径，证垂直”。但观察图形，若连接OD，尝试证明OD⊥BD。因为OA=OD，所以∠A=∠ODA。已知∠CBD=∠A，所以∠ODA=∠CBD。在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，即∠A+∠ABD+∠CBD=90°。将∠CBD替换为∠ODA，得∠A+∠ABD+∠ODA=90°。又因为∠ODA+∠ODB=180°-∠ADC（平角定义），但∠ADC在AC上，∠C是直角，似乎不好直接用。换个角度，在△ODB中，∠ODB+∠OBD+∠BOD=180°。或者看∠ODB是否为90°。因为∠ODA=∠A=∠CBD，∠C=90°，所以∠CBD+∠CDB=90°，即∠ODA+∠CDB=90°。而∠ODA+∠ODB+∠CDB=180°（平角∠ADC），所以∠ODB=180°-(∠ODA+∠CDB)=180°-90°=90°。即OD⊥BD。因为OD是半径，所以BD是⊙O的切线。这里采用了“连半径（OD），证垂直（OD⊥BD）”的思路，关键在于利用角度之间的转化和互余关系。证明过程：连接OD。∵OA=OD，∴∠A=∠ODA（等边对等角）。∵∠CBD=∠A，∴∠ODA=∠CBD（等量代换）。∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°。∵∠ABC=∠ABD+∠CBD，∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°。∴∠ODA+∠ABD+∠ODA=90°？（此处原分析有误，修正如下）∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°（直角三角形两锐角互余）。∵∠ODA=∠CBD，∴∠ODA+∠CDB=90°。∵点A、D、C在同一直线上，∴∠ADC=180°（平角定义），即∠ODA+∠ODB+∠CDB=180°。∴∠ODB=180°-(∠ODA+∠CDB)=180°-90°=90°。∴OD⊥BD。∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线（切线的判定定理）。三、解题总结与温馨提示通过以上练习题的分析和证明，我们可以看出，解决圆的切线证明题，关键在于：1.准确识别题型：判断待证切线与圆是否有明确的公共点，从而选择“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”。2.巧妙添加辅助线：辅助线是连接已知与未知的桥梁。遇到切线，常连圆心和切点（用于已知切线或“连半径证垂直”）；遇到不确定的切点，常过圆心作垂线（用于“作垂直证半径”）。3.灵活运用性质：熟练掌握切线的性质与判定定理，以及之前学过的几何图形（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形）的性质和判定，综合运用，进行角或线段关系的转化。4.