初中数学九年级上册《用树状图或表格求概率（放回与独立事件）》教案

初中数学九年级上册《用树状图或表格求概率（放回与独立事件）》教案

一、单元整体分析与设计理念

本单元隶属于“统计与概率”知识板块，是学生在初中阶段系统学习概率知识的起点。学生在此之前已经了解了必然事件、不可能事件和随机事件的概念，并初步接触了古典概型中概率的古典定义，即事件A发生的概率P(A)=事件A发生的可能结果数/所有可能的结果数（在有限等可能事件中）。然而，当试验涉及两步或两步以上，且每一步都有多种可能时，学生系统、不重不漏地列举所有等可能结果的能力尚显薄弱。因此，本课时的核心价值在于为学生提供两种系统化、结构化的列举工具——树状图和表格，用以清晰、直观地分析和求解较为复杂的等可能事件的概率，特别聚焦于“放回”与“独立”这两种重要情境的初步建模。

设计遵循“建构主义”与“问题驱动”理念，将教学置于一个连贯的、富有现实意义的大情境之中。教学以“游戏规则的公平性探究”为主线，通过精心设计的、逐层递进的问题链，引导学生亲身经历从“感觉不公平”到“尝试列举”再到“寻求优化方法”，最终“自主建构工具”并“严谨论证”的完整数学化过程。这不仅关注工具的操作性掌握，更着力于培养学生严谨的概率思维、数据驱动的决策意识以及模型化思想。同时，在本单元视角下，本课时是列举法的奠基课，为后续学习“不放回”事件、涉及三步及以上的复杂事件、乃至高中学习条件概率、事件的独立性等概念，奠定了坚实的思维方法与工具基础。教学中将适时渗透分类讨论、数形结合（图形化表征）等数学思想方法。

二、学情分析与核心素养培养目标

学生已知分析：九年级学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象概括意愿。在知识储备上，他们已经掌握了事件分类、概率的古典定义，并能计算简单的等可能事件的概率（如掷一枚均匀骰子）。在方法上，他们接触过简单的列表法（如解二元一次方程组时的取值列表）和树形分类思想（如数的分类），这为学习树状图和表格提供了认知锚点。

学生障碍预测：主要困难可能存在于三个方面。一是思维的顺序性与系统性不足，在列举多步骤事件结果时容易出现重复或遗漏。二是对“等可能性”这一前提的敏感性不足，容易忽略模型应用的条件。三是难以区分“放回”与“不放回”对样本空间造成的本质影响，这在本课时虽仅初步接触，但需埋下清晰辨别的种子。

基于以上分析，设定本课时核心素养培养目标如下：

1.知识技能目标：理解并掌握用树状图或列表格的方法，列举出一次试验中涉及两步或两步以上，且每一步均为有限等可能事件的所有可能结果；能准确判断“放回”与“独立”情境，并运用上述工具计算相应事件的概率。

2.数学思维目标：经历从具体问题抽象为数学模型的过程，感受树状图和表格作为列举工具在清晰化、结构化思维上的优越性；通过对比两种方法，发展根据问题特征优化选择策略的能力；初步形成运用概率模型进行说理和判断的理性精神。

3.问题解决与情感态度目标：在探究游戏公平性等现实问题的过程中，提高运用数学工具分析和解决实际问题的兴趣与能力；体会概率在决策中的价值，培养尊重数据、实事求是的科学态度。

三、教学重难点

教学重点：指导学生规范地绘制树状图或设计表格，系统地列出所有等可能结果，并正确计算相关事件的概率。

教学难点：理解“放回”确保各步试验的“独立性”，从而保证表中或树状图中每一个有序结果的“等可能性”；根据问题情境的特征，合理选择并灵活运用树状图或表格。

四、教学准备

教师准备：交互式智能白板课件（内含动态模拟试验工具，如虚拟转盘、骰子）、实物教具（两个质地均匀的骰子、一个不透明袋子、红白两色小球若干）、设计打印的探究学习单。

学生准备：复习概率的古典定义，准备直尺、铅笔、草稿纸。

五、教学实施过程（核心环节详案）

（一）情境导入，聚焦问题——感知“列举”的必要性

活动1：创设认知冲突

教师呈现一个自制的“双色转盘”游戏（转盘被均匀分成红、蓝、黄三个扇形区域）。游戏规则：连续转动转盘两次。若两次颜色相同，则甲得1分；若颜色不同，则乙得1分。先得10分者胜。

提问1：凭直觉判断，这个游戏规则对双方公平吗？请举手表达你的观点，并简要说明理由。

（预设：学生观点会产生分歧，有的认为公平，因为结果无非“相同”或“不同”两种；有的认为不公平，但说不清理由。教师不急于评判，而是激发探究欲。）

提问2：仅凭感觉可靠吗？数学中如何严谨地判断公平性？

（引导学生回顾：游戏公平性取决于双方获胜的概率是否相等，即需计算P(两次颜色相同)与P(两次颜色不同)。）

提问3：要计算概率，首先需要知道什么？

（引导学生明确：需要知道所有可能的结果，以及符合条件的结果数。但“连续转两次”的所有结果并不直观，产生“列举”的需求。）

提问4：你能尝试写出所有可能的结果吗？请一位同学上台尝试列举。

（预设：学生可能无序地写出“红红、红蓝、红黄、蓝蓝……”容易出现遗漏或难以确认是否完备。教师通过追问“你的列举有规律吗？如何确保不重不漏？”将学生的思维引向对“有序、系统化方法”的渴望。）

设计意图：从直觉分歧切入，迅速点燃思维火花。通过追问，将实际问题转化为概率计算问题，进而自然聚焦到“系统列举所有等可能结果”这一核心任务上，让学生深刻体会到学习新工具的必要性。

（二）合作探究，建构工具——初识树状图与表格

活动2：探究系统化列举方法——以“放回”情境为例

教师将问题具体化、简化，进入第一个探究任务。

探究任务一：一个不透明袋中装有红、白两个除颜色外完全相同的小球。随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子并摇匀，再随机摸出一个球。问：两次摸球的所有可能结果有哪些？两次摸到颜色相同的概率是多少？

步骤1：独立思考与初步尝试。

学生独立在草稿纸上尝试列举。教师巡视，收集典型的列举方式（如无序的文字列举、初步的树状雏形、可能的表格雏形）。

步骤2：小组交流与优化。

学生在四人小组内交流各自的列举方法，讨论哪种方式更清晰、更系统、更容易检查是否完备。教师深入小组，倾听讨论，适时点拨：“是否考虑了顺序？”“第一步的结果对第二步有影响吗？为什么？（强调‘放回并摇匀’的作用）”

步骤3：全班分享与提炼——树状图的生成。

请一个采用类似树状图方法的小组代表上台展示。

学生可能展示的雏形：先写出第一次摸球可能的结果“红、白”，然后从“红”出发，画出两条分支，分别写上第二次的“红、白”；同样从“白”出发，也画出两条分支，分别写上“红、白”。最终形成类似树杈的结构。

教师引导全班共同优化：

（1）规范绘图：用“树根”表示试验开始；第一层分支表示第一次试验的所有可能结果，并标注概率（均为1/2）；从第一层的每个末端点（称为“节点”）出发，引出第二层分支，表示在第一次结果确定后，第二次试验的所有可能结果（同样标注概率1/2）。

（2）生成结果：沿着从树根到每一个“末梢”的路径，读出一个有序结果，如“红-红”、“红-白”、“白-红”、“白-白”。

（3）明确特点：树状图能直观地展示试验的层次和步骤，尤其适合步骤清晰、每一步选项明确的问题。

板书规范绘制过程，并强调：由于“放回”，第二次摸球的条件与第一次完全相同，所以第二层分支都是从各自节点等可能地分出，这体现了步骤间的“独立性”。

提问：从树状图看，共有多少种等可能的结果？其中“颜色相同”（红红、白白）的结果有几种？计算P(颜色相同)。

步骤4：对比引新——表格法的生成。

教师提问：除了像树枝一样展开，还有别的方法能系统列出所有有序结果吗？

展示或请另一个小组分享列表格的方法。引导学生共同构建一个二维表格：表格的行标题表示第一次摸球的结果（红、白），列标题表示第二次摸球的结果（红、白）。表格内部的单元格则填写对应的有序数对（红，红）、（红，白）、（白，红）、（白，白）。

引导学生观察对比：

（1）表格的特点：将所有有序对呈现在一个矩阵中，非常紧凑，尤其适合每一步结果都是有限个，且两步对称的情形。

（2）与树状图的联系：表格的行对应树状图的第一层分支，列对应第二层分支；每个单元格对应树状图的一条路径。

提问：用表格法如何计算P(颜色相同)？（找出对角线上的单元格）

步骤5：归纳工具名称与适用情境。

教师总结：像这样分层展开的图形叫“树状图”或“树形图”；这种表格我们通常称为“列表法”或“二维表格”。它们都是帮助我们进行“有序枚举”的有效工具。

设计意图：将抽象问题具体化为摸球模型，降低起点。让学生在尝试、交流、对比中亲身经历两种工具的“再创造”过程。教师的角色是引导者与规范者，帮助学生将朴素的方法规范化、数学化。通过对比，让学生初步体会两种工具的不同呈现特点。

（三）变式辨析，深化理解——聚焦“放回”与“独立”

活动3：变换条件，对比分析

探究任务二：其他条件不变，若第一次摸出球后不放回，则两次摸到颜色相同的概率是多少？

步骤1：学生先凭经验猜测概率是变大、变小还是不变。

步骤2：学生独立选择树状图或表格，尝试分析“不放回”情境。

关键性提问引导：

（1）当第一次摸走一个球且不放回后，袋中球的情况发生了什么变化？第二次摸球时，可能的结果还和原来一样吗？概率还相等吗？

（2）在画树状图时，第二层分支应该怎么画？从“第一次摸到红球”这个节点出发，第二次可能摸到什么球？概率是多少？（此时袋中只有白球，摸到白球的概率是1）从“第一次摸到白球”这个节点出发呢？

（3）如果用表格，还能用之前的2x2表格吗？表格中所有的单元格还都是等可能的吗？为什么？（重点辨析：在不放回条件下，（红，白）和（白，红）是可能的，但（红，红）和（白，白）不可能发生。因此，原有表格中的四个单元格不再是等可能的，直接使用原表格计算概率是错误的。）

步骤3：学生修正自己的分析，画出正确的树状图（第二层分支的概率发生变化）或列出所有可能的结果组合（红，白）、（白，红），并计算P(颜色相同)=0。

步骤4：对比“放回”与“不放回”。

教师引导学生从列举工具和概率结果两个维度进行对比总结：

（1）工具应用前提：无论是树状图还是表格，其基础是列出所有“等可能”的结果。“放回”保证了每次试验的条件相同，各步骤相互独立，使得树状图每一层分支概率恒定，表格中每个有序对等可能。“不放回”则改变了试验条件，步骤间不独立，树状图的分支概率随之变化，简单的方形表格可能不再适用。

（2）概念初步渗透：“放回”使得前后两次摸球互不影响，这就是“相互独立”的直观体现（暂不提出严格定义）。而“不放回”则产生了关联。

（3）概率结果：本例中，“放回”时P(同色)=1/2；“不放回”时P(同色)=0。规则的公平性发生了根本改变，凸显了严谨分析的重要性。

设计意图：通过改变“放回”这一关键条件，制造认知冲突，引导学生深入思考工具应用的底层逻辑——等可能性。让学生在对比中深刻理解“放回”与“独立性”的内在联系，以及“不放回”对样本空间的改变，为后续学习非独立事件埋下伏笔，同时强化了应用工具时审题辨境的重要性。

（四）迁移应用，内化技能——解决导入问题

活动4：回归初始，解决问题

现在，请学生运用刚掌握的工具，严谨分析课堂伊始的“转盘游戏”。

任务：使用树状图或表格，计算连续转动转盘两次（视为放回型试验），“颜色相同”与“颜色不同”的概率，并判断游戏公平性。

步骤1：学生独立选择工具进行求解。教师巡视，关注学生是否能正确标注三步（第一次有3种等可能，第二次也有3种等可能），是否能正确计数。

步骤2：不同方法展示。

请一位用树状图的学生和一位用表格的学生上台板演或通过投影展示。

树状图板演：树根→第一层分支：红、蓝、黄（各概率1/3）→从每个节点引出第二层分支：红、蓝、黄（各概率1/3）→共9条等可能路径，其中“同色”路径有3条（红红、蓝蓝、黄黄），“不同色”路径有6条。

表格板演：设计3行3列表格，行列标题均为红、蓝、黄。表中9个单元格代表9个有序结果，对角线3个为同色，其余6个为不同色。

步骤3：计算与结论。

P(同色)=3/9=1/3；P(不同色)=6/9=2/3。两者不相等，游戏规则不公平，对“乙”（猜不同色）有利。

步骤4：决策与改造。

提问：基于我们的数学分析，这个游戏规则需要如何修改才能变得公平？

学生可能提出多种方案，如：修改得分规则（同色得2分，不同色得1分）；修改转盘区域划分（使两次同色的概率与不同色的概率相等，这需要计算与设计）；或改为三次转动等。教师鼓励开放思考，并引导学生用概率知识解释其方案的公平性原理。

设计意图：首尾呼应，让学生运用新建构的工具解决最初的复杂问题，体验学以致用的成就感。通过完整的“发现问题-建立模型-求解分析-做出决策”过程，巩固技能，深化对概率工具价值的认识。开放性的规则改造问题，激发了学生的创新思维。

（五）归纳反思，体系初建

活动5：总结梳理，提升认知

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行课堂小结：

1.知识层面：我们学习了哪两种列举等可能结果的工具？（树状图、表格）它们主要适用于解决什么类型的问题？（两步或两步以上的有限等可能事件概率计算）特别关注了什么情境？（放回型/步骤独立型）

2.方法层面：如何选择这两种工具？（树状图适用于步骤分明、层次清晰的问题，尤其当步骤多于两步时更显优势；表格适用于两步且结果对称的问题，呈现紧凑）使用它们的关键步骤是什么？（①审题，明确步骤与每步可能结果；②判断是否为“放回”或“独立”情境；③规范画图或制表，确保有序、不重不漏；④读取结果，计算概率。）

3.思想层面：我们经历了怎样的学习过程？（从直觉到理性，从无序到有序，从具体到抽象）概率分析的核心精神是什么？（基于等可能性的严谨推理，而非主观臆断）

教师进行最终提炼，并指出：树状图和表格是概率列举法的“左膀右臂”，它们将伴随我们解决更多更复杂的概率问题。今天重点探讨的“放回”情境，是概率世界中“独立性”这一重要概念的直观原型。下节课，我们将进一步探索“不放回”情境下的概率计算。

六、分层作业设计

1.基础巩固题（全体必做）：

（1）教材对应章节的基础练习题，重点练习规范绘制树状图和表格。

（2）一个盒子中装有标号1,2,3的三张卡片，随机抽一张记下标号后放回，再随机抽一张。用树状图和表格两种方法，列出所有可能结果，并求：①两张卡片标号之和为偶数的概率；②第一张标号大于第二张标号的概率。

2.能力提升题（中等及以上学生选做）：

（1）小明和小华用一副去掉大小王的扑克牌（共4种花色，每种13张）设计游戏：随机抽一张牌记下花色后放回，洗匀后再抽一张。若两次花色相同，则小明胜；若不同，则小华胜。这个游戏公平吗？请用列举法分析。若不公平，请你修改规则（可改动得分或抽牌方式），使其公平，并说明理由。

（2）探究：若将“连续转动转盘两次”改为“连续转动转盘三次”，仍判断颜色全相同与不全相同的概率。尝试用树状图进行分析，感受树状图在处理多步骤问题时的优势。

3.拓展探究题（学有余力者挑战）：

查阅资料或自主思考：在“不放回”的摸球情境中，能否设计一种经过改良的表格，依然能清晰、等可能地列出所有结果？请尝试以“从红、白、黑三个球中不放回地摸两个”为例进行设计，并与树状图法进行比较。

七、教学评价设计

1.过程性评价：通过课堂观察，评价学生在探究活动中的参与度、合作交流情况、思维逻辑性（如列举是否有序、作图是否规范）。通过追问和学生的回答，评估其对“放回确保等可能性”这一关键点的理解程度。

2.纸笔评价：通过课后作业的完成质量，评价学生对两种工具的掌握水平和计算准确性。特别关注在“放回”与“不放回”对比性题目中，学生是否能够正确判断并应用相应方法。

3.表现性评价：在“改造游戏规则”和拓展探究任务中，评价学生灵活运用知识解决新问题的能力、创新意识以及数学表达的严谨性。

八、板书设计（示意）

（左侧主板书区域）

课题：用树状图或表格求概率（放回与独立事件）

一、核心问题：系统列举所有等可能结果

二、工具建构

1.树状图（层次清晰）

示例（放回摸两球）：

开始

├─第一次：红(1/2)─第二次：红(1/2)→(红,红)

│└─白(1/2)→(红,白)

└─白(1/2)─第二次：红(1/2)→(白,红)

└─白(1/2)→(白,白)

特点：按步骤展开，直观体现过程。

2.表格法（两步对称）

示例：

第二次|红白

第一次|-----------

红|(红,红)(红,白)

白|(白,红)(白,白)

特点：矩阵呈现，紧凑。

三、关键辨析：“放回”vs“不放回”

放回：条件不变→步骤独立→每步概率恒定→有序结果等可能。

不放回：条件改