10.2.2 等边三角形 同步练习【鲁教54】七下数学一课一练

第十章三角形的有关证明第2节等腰三角形第2课时等边三角形基础过关全练知识点3等边三角形的性质定理1.如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠2=35°，则∠1的度数为()A.40° B.25° C.30° D.35°2.(2023山东济南历下期末)如图，在△ABC中，D，E是边BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为()A.105° B.120° C.130° D.150°3.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是()A.135° B.125° C.120° D.110°4.如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF=EF.知识点4等边三角形的判定定理5.(2022山东烟台莱山期末)下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④6.(2023山东淄博期末)如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 7.如图，等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是.

8.(2023山东淄博桓台期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC于点E.求证：△ADE是等边三角形.知识点5含30°角的直角三角形的性质9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=1，则AB的长度是()A.8 B.6 C.4 D.2 10.(2023河北沧州海兴期末)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为()A.3 B.4.5 C.6 D.7.511.某部队正在巡海检查，发现上午8时，一艘轮船从海岛A出发，以每小时航行18海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从海岛A，B望灯塔C，测得灯塔C在海岛A的北偏西15°方向上，灯塔C在海岛B的北偏西30°方向上，在灯塔C的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由.知识点6反证法12.(2023湖南衡阳中考)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形三个内角的和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是()A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法13.(2023山东潍坊潍城期中)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.能力提升全练14.(2023山东枣庄四十一中月考)用反证法证明“若a+b≥0，则a，b中至少有一个不小于0”时，第一步应假设()A.a，b都小于0 B.a，b不都小于0 C.a，b都不小于0 D.a，b都大于015.(2023贵州中考)2023年5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是()A.4m B.6m C.10m D.12m16.(2023山东滨州中考)已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为()A.14° B.16° C.24° D.26°17.(2023湖北荆州中考)如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE.求证：CD=CE.18.(2023山东淄博张店二模)如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)求证：DC=CF.素养探究全练19.(2023湖南岳阳期末)如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD.(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)请你探究当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.

第十章三角形的有关证明第2节等腰三角形第2课时等边三角形答案全解全析基础过关全练1.B如图，过点C作DE∥m，∴∠ACD=∠2=35°，∵DE∥m，m∥n，∴DE∥n，∴∠DCB=∠1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=60°-35°=25°，∴∠1=∠DCB=25°.故选B.2.B∵D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.故选B.3.C∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=∠ADB=∠DBA=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴∠ADC=∠ABE，∴∠BOC=∠BDO+∠DBA+∠ABE=∠BDO+∠DBA+∠ADC=∠ADB+∠DBA=60°+60°=120°，∴∠BOC的度数是120°，故选C.4.证明∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，∠∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，∴△BDE为等腰三角形，又∵DF⊥BE，∴F是BE的中点，即BF=EF.5.D①有两个角为60°，则第三个角也是60°，则其是等边三角形，故正确；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故正确；③三个外角(每个顶点各取一个外角)相等，则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④∵一腰上的中线也是这条腰上的高，根据SAS判定两个三角形全等，∴该等腰三角形腰和底边长相等，故该等腰三角形的三边相等，故正确.故选D.6.C∵三角形ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=60°，在△ABD和△ACE中，AB∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴△ADE是等边三角形.故选C.7.答案9解析∵等边三角形纸片ABC的边长为9，E，F是边BC上的三等分点，∴EF=3，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，∴△DEF是等边三角形，∴△DEF的周长是3×3=9.8.证明∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-60°-60°=60°，∴△ADE是等边三角形.9.C∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠BCD=30°.在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BD=1，∴BC=2BD=2.在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4.故选C.10.C∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD平分∠ABC，△ABC是等边三角形，∴AD=CD=3，∴AB=AC=AD+CD=6.故选C.11.解析会有触礁危险.理由：如图，过点C作CE⊥AN于点E.由题意可得AB=2×18=36(海里)，∵∠NBC=∠A+∠ACB，∠NAC=15°，∠NBC=30°，∴∠ACB=∠NAC=15°.∴BC=AB=36海里.∵CE⊥AN，∴∠BEC=90°.∵∠NBC=30°，∴CE=12BC=18海里.∵18<20，∴轮船不改变方向继续向前航行，会有触礁危险12.A13.证明假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，∵∠C>0°，∴∠A+∠B+∠C>180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾，∴假设不成立，∴∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.能力提升全练14.A用反证法证明时，先假设命题结论的反面成立，“a，b中至少有一个不小于0”的反面是“a，b都小于0”，故A项符合题意.故选A.15.B如图，过A点作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=30°∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AD=12AB=1216.B如图，过点P作PE∥AC交AB于点E，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，∵PE∥AC，∴∠BEP=∠BAC=60°，∠BPE=∠C=60°，∴△BEP为等边三角形，∴BP=EP=BE，又∵AB=BC，∴AE=CP，∴△AEP就是以线段AP，BP，CP的长为三边长的三角形，∵∠APC=104°，∴∠APB=180°-∠APC=76°，∴∠APE=∠APB-∠BPE=16°.∠PAE=∠APC-∠B=44°，∠AEP=180°-∠BEP=120°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角度数分别为16°，44°，120°，∴最小内角的大小为16°.故选B.17.证明∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∴∠DBC=30°，由作图过程可知BD=DE，∴∠E=∠DBC=30°，∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠E=∠CDE=30°，∴CD=CE.18.解析(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠A=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=60°，∠DEC=∠A=60°，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE=CD，∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，∴∠CEF=∠F=30°，∴EC=CF，∴CD=CF.素养探究全练19.解析(1)证明：∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC，∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形.(2)△AOD是直角三角形.理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，α=150°，∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形.(3)∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°.∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC