数理金融复习要点

数理金融复习要点

一、名词解释

1.冗余资产组合与冗余资产：冗余资产组合是指能够起复制作用的套利资产组合；冗余资产

组合中权重系数非零的资产称为冗余资产。

2.“均值-方差”有效资产组合：如果一个资产组合对确定的方差具有最大期望收益率，同

时对确定的期望收益率水平有最小的方差，则称这样的资产组合为“均值-方差”有效资产

组合。

3.套利与套利资产组合套利是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入,

而在1期刻获得无风险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。套利

资产组合设为一资产组合，如果满足，则称为一套利资产组合

4.最小方差资产组合：又称前沿组合，是指对确定的期望收益率水平有最小的方差的资产

组合。

5.证券市场线是指对任意资产组合，由点所形成的轨迹。证券市场线方程为：。其中

为资产组合的市场系数，为无风险利率。它是过无风险资产对应的点和市场资产

组合对应的点的一条直线。

6.资本市场线是由所有有效资产组合所对应的点所形成的轨迹。资本市场线的方程为:

7.看涨期权又称买入期权，敲入期权，是给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任一

时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。期权包含四个要素：执行

价、执行日、标的资产和期权费。

8,看跌期权：又称卖出期权、敲出期权，是指给予其持有者在给定时间或在此时间之前的任

一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。

9.无摩擦市场：是指无任何交易成本、税收、无卖空限制、资产数量单位无限可分的资产市

场。

10.套利是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入，而在1期刻获得无风

险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。

二.简答题

1.设投资者效用函数为双曲绝对风险从恶函数。其中为实数。求该效用函数的绝

对风险厌恶函数，风险容忍函数和相对风险厌恶函数。

解：因为

“一“、〃ax-i

所以A(x)二---——〃(z-----Hb)；

小幻1-r

~、11ax,、xb

T(x)=-----=—(z-----+h)=-----+—；

A(x)a1-r1-ra

HY

R(x)=x?A(x)ax(—+hy

1-r

2.设一投资者的效用函数为负指数效用函数，求该效用函数的绝对风险厌恶函数、风险容

忍函数和相对风险厌恶函数。

解:因为

所以45)=-巳3=〃,7")二」一=-,7?(x)=xA(x)=ax

u^x)A(x)a

3.投资者有几种类型？他们的效用函数有什么特点？

解：根据投资者对风险的态度，投资者可以分为三种类型：风险厌恶型，风险中性型及风险

爱好型。设为投资者的效用函数，为投资者的期望效用函数。

风险厌恶型投资者的效用函数满足：因而为凹函数；

风险爱好型投资者的效用函数满足：因而为凸函数；

风险中性型投资者的效用函数满足：因而为线性函数

4.叙述Sharpe-Linter-MGssinCAPM模型

解：所谓Sharpe-LinterTlossinCAPM模型是指在市场上可以获得无风险资产的条件下，当

市场达到均衡时，任意风险资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率有如

下关系式：，其中；

或者写成分量的形式为：，其中

三、计算题

1.经济系统在时期1有3个"J能的状态，市场中有2利川交易证券，它们的收益矩阵为:

，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会。

解：令正状态定价向量

则：

即：解得.

所求向量/=(/-J2)3/r=(―1^―7-M-最5-T

当时，市场无套利，因而存在等价概率分布律。等价概率分布律为:

I123

P(i)1/37/3-RR-5/3

在其他情形都会存在套利机会。

2.假定预测公司一年后每股价值为100美元，已知无风险利率为5乳市场期望收益率为15眼

公司市场系数为2.0,如果现在想购买该公司的股票，所愿意支付的合理价格是多少？

解：由风险自行调节收益率定价公式得

n100100。八

P(,--------------------------------80

1+5%+2.0?(15%5%)1.25

3.假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%,无风险利率为7%,市场风险

溢价为8乐假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于巾场资产组合收益率的协

方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。

解：设此证券为

由证券市场线方程，可知

因为，当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍时，。则收

益，

4.(股票定价)企业I在0期将发行100股股票，企业在1期的价值为随机变最o企业

的资金都是通过发行这曲股票而筹措的，以致于股票持有者有资格获得完全的收益流。最

后给出的有关数据是：

试用资本资产定价方程或风险自行调节定价公式求出该股票在0期的合理价值。

解法一：应用证券市场线方程

E[X/)=r+'COV(X.XM)

S(XM)

=0.10+Q，2Q-0JQ?0.0450.15

0.09

即普通股所需的收益率为15%,这就意味着市场将以15%的贴现，以确定股票在0期

的市场价格，于是我们有

3

£[V；(1)]=-?1000-?800900$

2

E（匕⑴）/100900/100

卜?7.83

1+r1.15

解法二：：由风险自行调节定价公式

P=£代).4匕⑴)/1()。(/=夙X,”)--表

°1+r+/cov(XpXA/)\+r+Icov(XpXw)var(Xw)、

示没单位风险的市场资产组合的超额收益率。)

二一幽则一」？7.83$

“0.10+铛？0.0451.15

5(债券定价)有一面值为100元的债券，约定到期付息8乳假设在债券有效期内有70%

的时间可以赎回本金并获得利息，30%的时间不能还本付息，但将支付50元的承保金。即可

将债券在时期2的价值表示为随机变量

6⑵二管p=0.7

150,p=0.3

设,

,试确定债券在时期1的合理价值。

解由证券市场线性方程(3.2.1)可得确定等价定价公式。

2

E(B)-{[E(XMyrA(XM)}cov(B,XM)

PB

1+r

90.60-[(().20-().10)/009J?7

1.10

90.60」.Z8=空=75.29$

1.101.10

市场所需的期望收益率为

90.60^529^1531

E(X")==20J3%

75.2975.29

6某公司在时期1的市场价值为900元。现有•项目，其在时期2的期望收益为E(Vi)

=1000,E(XM)=0.5,r=0.05<)

公司现考虑一个新的投资项目，其单位成本为60元。在时期2的

现金收益流为E(F)=130元，cov(F,XM)/。2(XM)=250元。试回答，该公司管理者应

怎样考虑这个项目？

解：由确定等价定价公式可得

r......

1+r

由此式得

1000-0.[08乎心)

900=-------------$(X”)

1.05

求解上式得

"X")二550$

5-(X3

又

cov(V+E，XM)=COV(V，X,W)+cov(4,X”)

故

cov(1+E，XM)=550+250=800$

乂

E(H，E)=1000+130=1130

假如投资新项目，那么公司在时期1的总收入(不考虑投资成本)是

&匕+£)・8VC;)(E(XM)・r)

n+_S(人)

P0-w

1130-8(X)?().1()1050sc”

=---------------=-----=1000$

1.051.05

因为公司市场价值比原来的上涨了100元，而投资成本为60元，故可以得到补偿，所

以可以投资该项目。

7.己知某股票在时刻0的价格为100元，在时刻1股票价格有两种可能：股票价格为

120元的概率为P；股票价格为90元的概率为1-巴以该股票为表的资产的欧式看涨期权的

执行价格为105元，无风给利率厂0.05.试求此欧式看涨期权的无套利价格。

解法一：设时刻0的比欧式看涨期权价值即无套利价格为，则：

第一步：从股票二叉树图得到。股票的二叉树图为：

qSi=120

So=100

由无套利原理知：

1.05?100120g+90(1-q)

从

105=120g+90(1-q)

我们得到

15=120〃-90q=30</

所以

q=—=().5

30

第2步：对此欧式看涨期权价值和先求期望,然后贴现。

执行价K=105美元的欧式看涨期权的二叉树图为:

U=max(Sv-K,0)=15

Vo

D=max(S「K,0)=0

所以此看涨期权的价格为:

175

卬?15(1-//)?0]—=7.14(美元)

1.051

解法二：

由二项式期权定价公式，其中

由'题意知,

U=(O,MSO-K)+=max(0,120-105)=15

D=(O,dS。-K)+=max(0,90-105)=0

r=().05,R=1+r=1.05

所以，欧式看涨期权的无套利价格

1S.05-0.9

1.05®.2-0.9

7口乂

7.5

?7.14

L05

8股票现在的价值为50美元。六个月后，它的价值可能是55美元或45美

元。一年期无风险利率为10%。请计算执行价K=50美元，6个月到期的欧式看

涨期权的无套利价格是多少？欧式看跌期权的价值又是多少？

9.某股票现在的价值为50美元。两个月后,它的价值可能是53美元或48美元。

一年期无风险利率为10%。请用无套利原理说明执行价K=49美元,两个月到期

的欧式看涨期权的无套利价值是多少?欧式看跌期权的价值又是多少?

10.某股票现在的价值为50美元。六个月后，它的价值可能是60美元或42美

元。一年期无风险利率为12机请用无套利原理说明执行价K=48美元，6个月到

期的欧式看涨期权的价值是多少？欧式看跌期权的价值又是多少？

四、综合题

1.市场上有两种股票，股票A的价格为60元/股，每股年收益为元，其均值为6元，方

差为50o股票B的价格为40元/股，每股年收益为元，其均值为3.2,方差为25o设

和相互独立.某投资者有4R000元，准备购买股股票A,股股票R,剩余的元存入银

行，设银行一年期定期存款利率为5%,投资者希望该投资策略的年平均收益不少于8%元，

并使投资收益有最小的风险。求这个投资策略，并计算该策略的收益的标准差。

解：由题意知，该市场存在无风险资产，则投资收益最小方差问题可以表为如下优化问题：

s/.vZ2m(1-v/曲々rp

利用乘数法，令

最优解的一阶条件为：

r"?加(]-v/?l)r.()

最优解为：。

fp-rf=I(M遛%-/遨%+'1)

=/(a-2rfb+cr；)

/=▼,

a-2侬+crj

由已知条件可得：，所以

63o

m1=—=10%,ni=—=8%,r=8%,

60~40「

tn-(见，㈣)，=(10%,8%)',分=5%,

a-irl'm=0.000456,

h=wra''1=0.0052,

c=ira-1=().()6

H=a-2br,+crj=0.000456-0.00052+0.00015=0.000086

,rp-rf8%-5%3000015000

~H0.000086864^

*_15000册°置%・5%_15000)

w=置表跖5%=ZF矍

二理费％二矍43?鼾9

43撤2%i/43麓419

所以

151X

60%=机？4300015000,40%=—?4300018000,

%=25()必=225

q、=43(X)0-18000-15000=10(X)()

所以最优策略为(1,%,%)=(250,225,10000)0

收益的方差为：

4/3/=[15/43,18/43]富)鬻

11250810019350,八…

=———+--=——7n10.47

43243243,

标准差为Sp