四、高职不定积分教案

第四章不定积分

一、基本要求：

1、理解原函数与不定积分的概念；

2、掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。

二、授课容：

§4-1原函数与不定积分

-、原函数

定义1如果对任一xe/，都有

F(x)=/(x)或dF(x)=f(x)dx

则称E(x)为/(x)在区间/上的原函数。

例如：(sin尤)'=cosx，即sinx是cos九的原函数。

[ln(x+Jl+X?)'=‘即ln(x+Jl+x~)是—-的原函数。

7i+%27i+x2

原函数存在定理：如果函数/(X)在区间/上连续，则/(X)在区间/上一定

有原函数，即存在区间/上的可导函数口(幻，使得对任一/，有k(x)=/(x)。

注1：如果/(X)有一个原函数，则/(X)就有无穷多个原函数。

设尸(X)是/(X)的原函数，则[产(%)+3'=/0：)，即产(x)+C也为/(X)的原

函数，其中C为任意常数。

注2：如果尸(x)与G(x)都为/(x)在区间/上的原函数，则F(x)与G(x)之

差为常数，即

F(x)-G(x)=C(，为常数)

注3:如果/(幻为/(x)在区间/上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意

常数)可表达/a)的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2在区间/上，/0)的带有任意常数项的原函数，成为/(x)在区间/

上的不定积分)记为]7(x)公。

如果砥x)为/(x)的一个原函数，则

J/(x)^=F(x)+C，(C为任意常数)

3.3

例1.因为(彳_)，=/r，得J_rds=q_+c

例2•因为'x>0时1(1x)5=—；x<0时,

X

Ii-n)](=—(-xy=i，得

-XX

(In\x\y=-'因此有

X

f-=In|x|+C

Jx

例3•设曲线过点(1,2)，且其上任一点的斜率为该点横坐标的

两倍，求曲线的方程。

解：设曲线方程为y=/(x)，其上任一点(x,y)处切线的斜率为半=2%

ax

从而

y=J2xdx=x2+C

由y(l)=2，得C=1，因此所求曲线方程为

y=Y+1

三、不定积分的性质

由原函数与不定积分的概念可得：

1)引f(x)dx=f(x)

2)f(x)dx-f(x)dx

3)JF(x)或=F(x)+C

4)JdF(x)=F(x)+C

5)Jiix=x+C

四、不定积分的几何意义

不定积分的几何意义如图5—1所示：

图5-1

设/(乃是/(x)的一个原函数，则y=F(x)在平面上表示一条曲线，称它为

Ax)的一条积分曲线•于是/(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由/(%)

的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成

的♦显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标X的点处有互相平行的切线，

其斜率都等于/(X)•

在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y=F(x)+C，

再从中确定一个满足条件y(x())=yo(称为初始条件)的原函数y=y(x)•从几

何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(%,%)的积分曲线•

例4设曲线通过点(0,1)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平

方，求此曲线的方程•

解设所求曲线的方程为y=y(x)，按题意有

y'=x2-

于是

)=旦+。•

3

因为这曲线通过点(0,1)，代入上式可得C=1•故所求曲线的方程为

小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几

个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用。

三、基本要求：

3'巩固不定积分的概念；

4、掌握不定积分的基本公式和不定积分的性质；

5、熟练掌握直接积分法。

四、授课容：

§4-2不定积分的概念与性质

二、不定积分的的基本公式及性质

1、积分公式

1)\kdx=kx+C为常数)

2)\xpdx^~—+C(〃工—1)

J〃+1

3)f—=ln|x|+C

JX

cdx「

4)------arctanx+C

J1+Y

5)[arcsinx+C

6)jcosxdx=sinx+C

7)jsinxdx=-cosx+C

8)[—4一=[sec2xdx=tanx+C

9)[esc2xdx=-cotx+C

Jsin2xJ

10)jsecxtanxdx=secx4-C

11)jcscxcotxdx=-escC

12)^exdx=ex+C

13)\axdx^—+C

JIn。

14)jsinhxdx-coshx+C

15)jcoshxdx=sinhx+C

2、不定积分的性质

性质1,J[f(x)+g(,x)]cbc=jf(x)dx+Jg(x)dx

性质2♦JVCr)公=对7。)公，(女为常数，ZHO)

二、直接积分法

例1•求JVx(x2-5)dx

解：

5]_

JVx(x2-5)dx=j(x1-Sx2)dx

,31

=jx^dx-5^x^dx

2-10-

=-x2-—x2+C

73

=—X3y[x~-Xyfx+C

73

例2•求产—Jdx

JX2

解：

(1)3—3厂+3x—1

-dx-dx

X2x2

x|

=-----3x+31n|x\+一+C

2x

例3-求J(ex-3cosx+2xex)dx

解：

j(ex-3cosx+2Aev)Jx

=jexdx-3^cosxdx+Xdx

e、-3sinx+侬二C

ln(2e)

(x

e*-3sinx+*29e)-+C

l+ln2

,....r1+X+X",

例4•求------T-dx

Jx(l+x2)

解：

l+x+x2(1+X~)+X

-dx=dx

x(l+x2)x(l+x2)

-\—dx+[-rJx

JXJ1+x2

=In|x|+arctanc+C

a)求[tan2xdx

解：

tan2xdx=j(sec2x-V)dx

=Jsec,dx-Jdx

=tanr—x+C

b)求Jsin2■^公

解：

r.zx,r1-cosx,

Jsin—ax-j—ax

-{—dx----fcosxd

J22J

=—(x-sinx)+C

一、基本要求：

1'了解换元积分法的基本思想；

2、熟练掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法。

二、授课容：

§4-3换元积分法

一、第一类换元积分法(或称凑微分法)

设厂(〃)为/(")的原函数，即F(〃)=/(〃)或J/(w)Jw=F(u)+C

如果u=(p{x},且(p{x}可微，则

-j-尸―=F'(u)(p'(x)=f(u)(p'(x)=f[(p(x)](pXx)

ax

即为yie(x)切'(x)的原函数，或

J/[°(x)M(x)dx=F[^(x)]+C=[F(u)+C]“=wx)=叫")

因此有

定理1设F(〃)为/(〃)的原函数，“=9(x)可微，则

Jf[(p(x)](pXx)dx=[Jf(u)du]

U=(p(x)

(2-1)

公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

例1•求j2cos2mr

角单：12cos2xdx=jcos2x(2xydx=jcos2xd2x=sin2x+C

rI

例2•求[------dx

J3+2x

解

f—公—―(3+2x)^=-f—'―J(3+2x)=-ln|3+2x|+C

例3•求j(2xex~+x71-x2+tanx)Jx

角翠：原式二f2xexdx+\x-\/l-x2dx+\S^nX-dx

JJJ8sx

=fexdjc--f(1-x2)^rf(l-x2)-f---Jcosx

J2J」cosx

、1-

=ex~~—(1-x2)2-In|cosx|+C

,r1

例4•求[―-----dx，

Ja+x

解：~~-dx=f----!——dx=—f----!——1/(—)=—arctan—+C

J0+x~aJ]+d)2a\^~(—)2QQa

aa

例5•求f—--dx

Jx2

I

T一-

加[InlIxIcr

lnl一

±1X+

勿+

例6.求R,^7-+-^e^]dx

Jx(l+21nx)«

解:[[-----J------+-Le3c]dx=[--------------dx+[4=e3^dx

Jx(l+21nx)VxJ%(l+21nx)J4x

11Q

=-[----------d(l+21nx)+—fe3Gd34

2」1+21nx3J

1Q

=-ln|l+21nx|+-e377+C

例7・求j00s2xdx

左刀・f2,r1+cos2x,1r,r

角军.Jcos"xdx=J-------ax=—|rJor4-jcos2xdx\

XIfx1.-

二—I—Icos2xd2元——I—sin2x+C

24J24

例8•求jsecxdx

角翠：fsecxdx=f---dx

JJcosx

r1"兀、

-----------------d(x+二)

J刀■2

sin(x+—)

7171

-In|cos(x+—)-cot(r+—)I+C=In|secx+tanx|+C

22

二、第二类换元积分法

定理2设x=是单调的可导函数，且“⑺。0，又设/!”(，)]“⑺具

有原函数，则

Jf(x)dx=|j/[”(-)♦],=一)

(2-2)

其中f=R(x)为x=〃⑺的反函数。

公式(2-2)称为第二类换元积分公式。

例9•求J7«2-x2dx'(tz>0)

JIJI

角早：令x=asint,----<t<—'贝"

22

\cr-x1=acost，dx=amstdt，因此有

2-x1dx=^acQ^tac^tdt

=a21cos2tdt

2fl+cos2r

=a---------dtf

J2

22

=­t+—sin2r+C

24

22

aa.一

--t+——sin，cosr+C

22

22I22

a.xax7-x「

=——arcsin—+-------------+C

2alaa

a2.x1ri---2„

=—arcsin—I—xyja-x4-C

2a2

dx

例10.求-,(a>0)

J7777

JIJI

解：令x=atant、---------<t<—‘贝"

22

y/a^-x2=asect'dx=asec2tdt?因此有

dxr1,

=-------asec2tat

Vz«2+x2"sec/

=jsecrJr

=In|secr+tanr|+C

2

iNa+x?x._].r~i2.》

—In|--------1—|+C=ln|x+4x+ci\+G

aa

其中G=C-1na。用类似方法可得

In|x+J厂—a2|+C

例u•求『京乐

f―数-=[1

解：dx

Jx2+2x+3Jx~+2x+1+2

1

d(x+1)

=J(X+1)2+(V2)2

1x+1

d—aretan不—•+C

小结：本节主要学习了不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法。第一

类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角代换，即

x=asint或x=acost，x=atanz与x=asect，分别适用于三类函数

f^a2-x2)>f^x2+a2)与f(^x2-a2)。“倒代换”x也属于第二类换元

法。

一、基本要求：

1'熟悉不定积分的分部积分公式；

2、掌握三种不同类型函数的分部积分法。

二、授课容：

§4-4分部积分法

一、分部积分法

设〃=u(x)，V=v(x)，则有

(wv)z=urv+uvr

或

d(uv)=vdu+udv

两端求不定积分，得

j(uv)rdx=Jvudx+v'dx

或

jv)=jvJw+jwJv

即

^udv=uv-^vdu

(3-1)

或

^uv'dx-uv-^vu'dx

(3-2)

公式（3-1）或（3-2）称为不定积分的分部积分公式。

例1•求Jxcosxdx

角翠：Jxcosxdx=jAZ/sinx

=xsinx-Jsinxdx

=xsinx+cosx+C

例2,求^x2exdx

解：^x2exdx=jx2dex

=x2ex-jexdx2

=x2ex—2jxexdx

=x2ex-2（xex-Jexdx）

=cx—2xe、++C

注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是赛函数与正弦（余弦）

乘积或是幕函数与指数函数乘积，做分部积分时，取赛函数为〃，其余部

分取为dv。

例3•求Jx\nxdx

解：x\wxdx=—[\nxdx1

2J

；卜Inx-Jxdx]

2i12

xInx——x+C

22

2

=lxMnx-ix+C

24

例4,求Jxarctanxdx

解：jxarctanxdx=~\arctanxdx2

二gb2arctanr-jx2Jarctanx]

1Fr.x2.

=—x~2arctaar------ax

2[J1+x2_

1「2f1-

=—xarctanx-(1---------)dx

2]J1+x2J

=—\x2arctanx-x+arctanx|+C

2L」

注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是暴函数与对数函数乘积或是赛

函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为〃，其

余部分取为小。

例5,求jexsinxdx

M:Jexsinxdx-jsinxdex

=exsinx-exdsinx

=esinx-excosxdx

=exsinx-cosxde”

=exsinx-(evcosx

=exsinx-excosx-jexsinxdx

因此得

2exsinxdx=e'(sinx一cosx)

即

例6・求\e^dx

解：令4x=r，则x=r»dx-2tdt,因此

je'2tdt

=2^te'dt

=2卜-e]+C

=2e«(4-1)+C

小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分

部积分的参考原则，也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。

一、基本要求：

1'了解积分表的结构；

2'掌握积分的使用方法。

二、授课容：

§4-5积分表的使用方法

1.在积分表中能直接查到的

例1查表求J订

Jx（f3+2x）2

解被积函数含a+bx因式，在积分表（一）类中，查到公式9，

当a=3，b=2时，

4日fdx113+2x

彳于I——~~3"=---------In--------+C.

Jx（3+2x/3（3+2X）9]x

例2查表求

解被积函数含a+bsinx因式，在积分表（十一）类中，查到公式

103或104，因为a=5，b=4，a2>b2.

所以用公式103，

2.先进行变量代换，再查表

例3查表求J,产，.

JX2V9XI+4

解该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，

令3x=t=则dx=gdf,

于是有f一加f——1-------

于《有J/匹瓦4=

9

3t2^t2+22

上式右端积分的被积函数中有y/e+22,

在积分表（五）类中,查到公式39，当a=2（x相当于t）时，得

产&”=--^r+L

V9X2+4

I•

代入原积分中，得__严_rdt__Mx2+4

22222=

XV9X+4=Jt/t+2^x~+'

3.用递推公式

例4查表求

Jsinx

解被积函数中含三角函数，在积分表（十一）类中查到公式97,

dx_1cosxn-2edx

递推公式为

sin"xn-1siif-1x+〃-1」sinn-2x

当n=4时，原积分为

--d--x---=--1--c--o--s-x--+—2Ir—1-—

sin4x3sin3x3Jsin2