24.1.1 圆 课件·2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

24.1.1圆一、情境导入展示生活中大量含有圆的物体图片，如车轮、摩天轮、圆形钟表、碗口等，提问学生：“为什么这些物体的形状都设计成圆形？圆在生活中如此常见，它又有着怎样独特的性质呢？”通过这些贴近生活的例子，激发学生的学习兴趣，引出本节课对圆的学习。二、圆的定义（一）动态定义在一个平面内，线段\(OA\)绕它固定的一个端点\(O\)旋转一周，另一个端点\(A\)所形成的图形叫做圆。固定的端点\(O\)叫做圆心，线段\(OA\)叫做半径，以点\(O\)为圆心的圆，记作“\(\odotO\)”，读作“圆\(O\)”。通过动画演示线段\(OA\)旋转形成圆的过程，让学生直观感受圆的形成过程，加深对圆的动态定义的理解。（二）集合定义圆可以看作是所有到定点（圆心\(O\)）的距离等于定长（半径\(r\)）的点的集合。从集合的角度进一步阐述圆的本质，让学生明白圆上的每一个点都满足到圆心的距离等于半径这一条件，反之，到圆心距离等于半径的点都在圆上。三、圆的相关元素弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。例如在\(\odotO\)中，连接点\(A\)和点\(B\)的线段\(AB\)就是圆的一条弦，通过在圆中多画出几条不同的弦，让学生观察弦的特点。直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中特殊的弦，它是圆中最长的弦，且直径\(d=2r\)（\(r\)为半径）。在圆中画出直径，让学生直观感受直径与弦、半径的关系。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以\(A\)、\(B\)为端点的弧记作\(\overset{\frown}{AB}\)，读作“弧\(AB\)”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如\(\overset{\frown}{ABC}\)；小于半圆的弧叫做劣弧，如\(\overset{\frown}{AB}\)。通过图形展示不同类型的弧，帮助学生区分和理解。等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，等弧不仅长度相等，弯曲程度也相同。四、点与圆的位置关系设\(\odotO\)的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(d\)，则有：点\(P\)在圆外\(\Leftrightarrowd>r\)。例如，若\(\odotO\)的半径\(r=5cm\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(d=6cm\)，因为\(6>5\)，所以点\(P\)在圆外。点\(P\)在圆上\(\Leftrightarrowd=r\)。当\(d=5cm\)时，点\(P\)就在圆上。点\(P\)在圆内\(\Leftrightarrowd<r\)。若\(d=4cm\)，由于\(4<5\)，则点\(P\)在圆内。通过具体的数值计算和图形展示，让学生清晰理解点与圆的三种位置关系。五、典型例题（一）例1：圆的基本概念辨析题目：下列说法正确的是（

）A.直径是弦，弦也是直径B.半圆是弧，弧是半圆C.等弧的长度相等D.圆上两点间的部分叫做弦解答：直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，A错误；半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，B错误；等弧是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，所以等弧的长度相等，C正确；连接圆上任意两点的线段叫做弦，圆上两点间的部分叫做弧，D错误。所以答案选C。（二）例2：点与圆的位置关系应用题目：已知\(\odotO\)的半径为\(3cm\)，点\(A\)到圆心\(O\)的距离为\(4cm\)，点\(B\)到圆心\(O\)的距离为\(3cm\)，点\(C\)到圆心\(O\)的距离为\(2cm\)，判断点\(A\)、\(B\)、\(C\)与\(\odotO\)的位置关系。解答：因为\(4>3\)，所以点\(A\)在\(\odotO\)外；因为\(3=3\)，所以点\(B\)在\(\odotO\)上；因为\(2<3\)，所以点\(C\)在\(\odotO\)内。六、课堂练习下列说法错误的是（

）A.圆有无数条直径B.连接圆上任意两点之间的线段叫弦C.过圆心的弦是直径D.能够重合的弧叫做等弧已知圆的半径为\(5cm\)，点\(P\)到圆心的距离为\(7cm\)，则点\(P\)在圆______（填“内”“上”或“外”）。如图，在\(\odotO\)中，\(AB\)是弦，\(OC\perpAB\)于点\(C\)，若\(OA=5cm\)，\(OC=3cm\)，求弦\(AB\)的长。七、课堂小结回顾圆的两种定义，动态定义和集合定义，加深对圆本质的理解。总结圆的相关元素，包括弦、直径、弧、等圆与等弧的概念和特点。强化点与圆的三种位置关系，以及如何根据点到圆心的距离和圆的半径来判断点与圆的位置。鼓励学生提出疑问，共同探讨解决，巩固本节课所学知识。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解新课导入圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.你能举例说说生活中的圆吗？1.我们已经研究过哪几类几何图形？知识回顾2.我们是如何研究三角形的？学习了哪些知识.三角形图示定义表示方法基本要素与性质相关要素与性质图形与图形的关系在同一平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫做三角形．△ABC边：AB，AC，BC角：∠A，∠B，∠C中线，高，角平分线及其性质相似，全等ABC合作学习2.圆是满足怎样条件的几何图形呢？1.按照这一研究套路，我们先研究圆的什么知识呢？3.请你用尽可能多的方法画圆.探索新知我们在小学已经对圆有了初步认识.观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.OAr圆心半径一、圆的定义及表示方法其固定的端点О叫做圆心，线段OA叫做半径.描述性定义：OAr圆心半径以点O

为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.一、圆的定义及表示方法圆的表示方法：OAr想一想（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）.想一想（2）到定点的距离等于定长的点又有什么特点？OAr到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.圆心为О、半径为r

的圆可以看成是所有到定点О

的距离等于定长r

的点的集合OAr集合性定义：圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点”圆面圆周圆周上的点注意：战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径.OABC二、与圆有关的概念圆是点的集合，圆上任取两点我们可以研究什么呢？连接圆上任意两点的线段叫做弦.弦：直径：经过圆心的弦叫做直径.（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）直径是最长的弦.注意：OABC二、与圆有关的概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．二、与圆有关的概念OACB以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．OO

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．OACB大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的ABC）叫做优弧．AC小于半圆的弧（如图中的

）叫做劣弧．能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.等圆：等圆只与半径的大小有关,与圆心的位置无关.注意：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.等弧：只有在同圆或等圆中才存在等弧,在大小不同的圆中不存在等弧.注意：随堂练习【教材P81练习第1题】1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。OA5m找一个5米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为5m的圆.因为圆是到定点等于定长的点的集合.2.你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是23cm，这棵树的半径平均每年增加多少？【教材P81练习第2题】解：23÷20=1.15（

cm

）1.15÷2=0.575（

cm

）答：这棵树的半径平均每年增加0.575cm.3.△ABC中，∠C=90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上.∴

CD=AB=BD=AD证明：作斜边上的中线CD交AB于点D.∴

A，B，C三点在同一个圆上.∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ABCD返回1．下列说法中：①弦是直径；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧；④过圆心的线段是直径；⑤面积相等的两个圆是等圆．其中错误的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个C返回2．如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C的度数为(

)A．15°B．20°C．25°D．30°C返回3．如图，在⊙O中，弦有________，直径是________，劣弧有_____________________，优弧有____________________________，半圆有__________，若图中最长的弦为12，则⊙O的面积为________．AC，CBCB36π4．我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图①所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．返回我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：__________________________________________．圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合5．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点(不与C，D点重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB的值为________．2返回【点拨】∵圆O的周长为4π，∴OD＝2.∵OC＝OD，∴∠C＝∠D.∵BE∥OC，∴∠EBD＝∠C.∴∠EBD＝∠D.∴BE＝DE.∴EO＋EB＝OD＝2.6．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．返回(1)求∠A