24.2.1 点和圆的位置关系课件·2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

24.2.1点和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系一、情境导入展示飞镖盘以及飞镖扎在不同位置的图片，或者打靶时子弹落在靶子不同区域的场景，提问学生：“飞镖扎的点或者子弹落点与靶心（可看作圆心）的位置关系有几种？如果把靶心当作圆心，飞镖落点或子弹落点当作点，这就涉及到数学中的点和圆的位置关系，今天我们就来探究一下。”通过贴近生活的实例，引发学生的好奇心和求知欲，自然引入本节课内容。二、点和圆的位置关系及判定（一）位置关系分类点在圆内：点到圆心的距离小于圆的半径，此时点在圆的内部区域。例如，在圆\(\odotO\)中，半径\(r=5cm\)，若点\(A\)到圆心\(O\)的距离\(d_{OA}=3cm\)，因为\(3cm<5cm\)，所以点\(A\)在圆\(\odotO\)内。点在圆上：点到圆心的距离等于圆的半径，该点正好处于圆周上。如点\(B\)到圆心\(O\)的距离\(d_{OB}=5cm\)，则点\(B\)在圆\(\odotO\)上。点在圆外：点到圆心的距离大于圆的半径，点位于圆的外部区域。像点\(C\)到圆心\(O\)的距离\(d_{OC}=7cm\)，由于\(7cm>5cm\)，所以点\(C\)在圆\(\odotO\)外

。（二）数量关系判定设圆\(\odotO\)的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(d\)，则有：点\(P\)在圆内\(\Leftrightarrowd<r\)；点\(P\)在圆上\(\Leftrightarrowd=r\)；点\(P\)在圆外\(\Leftrightarrowd>r\)。通过这种数量关系，我们可以准确判断点与圆的位置关系，反之，已知点与圆的位置关系也能确定距离\(d\)与半径\(r\)的大小关系。三、过点作圆的相关探究（一）过一点作圆经过平面上一个点\(A\)作圆，因为圆心的位置可以是平面上除点\(A\)外的任意一点，半径为圆心到点\(A\)的距离，所以这样的圆有无数个。以点\(A\)为圆心，不同长度为半径可以作出无数个大小不同的圆；以平面上其他点为圆心，只要半径合适也能作出经过点\(A\)的圆。（二）过两点作圆经过平面上两个点\(A\)、\(B\)作圆，圆心一定在线段\(AB\)的垂直平分线上，因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，都可以作为圆的半径，所以这样的圆同样有无数个。圆心位置不同，半径也不同，可作出无数个满足条件的圆。（三）过不在同一条直线上的三点作圆存在性证明：已知平面上不在同一条直线上的三点\(A\)、\(B\)、\(C\)，连接\(AB\)、\(BC\)，分别作线段\(AB\)、\(BC\)的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于一点\(O\)。因为点\(O\)在线段\(AB\)的垂直平分线上，所以\(OA=OB\)；又因为点\(O\)在线段\(BC\)的垂直平分线上，所以\(OB=OC\)，从而\(OA=OB=OC\)。以点\(O\)为圆心，\(OA\)为半径作圆，这个圆就经过\(A\)、\(B\)、\(C\)三点，所以经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆。唯一性证明：由于线段\(AB\)、\(BC\)的垂直平分线只有一个交点，即圆心是唯一确定的，半径\(OA\)也是确定的，所以经过不在同一条直线上的三点只能作一个圆

。四、三角形的外接圆与外心三角形外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。例如对于\(\triangleABC\)，其外接圆就是经过\(A\)、\(B\)、\(C\)三点的圆。三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径。通过画图展示不同类型三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的外心位置，让学生观察发现：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。五、反证法初步介绍定义：反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后推导出与已知条件、定义、定理等相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。应用示例：以“经过同一条直线上的三个点不能作圆”为例，假设经过同一条直线\(l\)上的\(A\)、\(B\)、\(C\)三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为\(P\)。那么点\(P\)既在线段\(AB\)的垂直平分线上，又在线段\(BC\)的垂直平分线上。但因为\(A\)、\(B\)、\(C\)在同一条直线上，所以线段\(AB\)、\(BC\)的垂直平分线是平行的，不可能相交，这与点\(P\)是两条垂直平分线的交点相矛盾，所以假设不成立，即经过同一条直线上的三个点不能作圆。六、典型例题（一）例1：点和圆位置关系的判断题目：已知圆\(\odotO\)的半径\(r=4cm\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(OP=5cm\)，点\(Q\)到圆心\(O\)的距离\(OQ=4cm\)，点\(R\)到圆心\(O\)的距离\(OR=3cm\)，判断点\(P\)、\(Q\)、\(R\)与圆\(\odotO\)的位置关系。解答：因为\(5cm>4cm\)，即\(OP>r\)，所以点\(P\)在圆\(\odotO\)外；因为\(4cm=4cm\)，即\(OQ=r\)，所以点\(Q\)在圆\(\odotO\)上；因为\(3cm<4cm\)，即\(OR<r\)，所以点\(R\)在圆\(\odotO\)内。（二）例2：三角形外接圆相关问题题目：在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=5cm\)，\(BC=6cm\)，求\(\triangleABC\)外接圆的半径。解答：作\(AD\perpBC\)于点\(D\)，因为\(AB=AC\)，所以\(D\)为\(BC\)中点，\(BD=\frac{1}{2}BC=3cm\)。在\(Rt\triangleABD\)中，根据勾股定理\(AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4cm\)。设\(\triangleABC\)外接圆的圆心为\(O\)，半径为\(R\)，连接\(OB\)。因为\(O\)在\(BC\)的垂直平分线上，即\(O\)在\(AD\)上，所以\(OD=4-R\)。在\(Rt\triangleOBD\)中，根据勾股定理\(OB^{2}=BD^{2}+OD^{2}\)，即\(R^{2}=3^{2}+(4-R)^{2}\)，展开得\(R^{2}=9+16-8R+R^{2}\)，移项化简得\(8R=25\)，解得\(R=\frac{25}{8}cm\)。七、课堂练习已知点\(M\)到圆\(\odotO\)的圆心\(O\)的距离为\(d\)，圆\(\odotO\)的半径为\(r\)，若\(d=6cm\)，\(r=5cm\)，则点\(M\)在圆\(\odotO\)______（填“内”“上”或“外”）。经过______的三点确定一个圆。直角三角形的两条直角边分别为\(6cm\)和\(8cm\)，求这个直角三角形外接圆的半径。用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。八、课堂小结回顾点和圆的三种位置关系以及对应的数量判定方法，强调\(d\)与\(r\)的大小比较是判断关键。总结过点作圆的不同情况，明确经过不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形外接圆和外心的概念、性质。简单回顾反证法的思路和应用，鼓励学生在课后思考更多可以用反证法证明的命题，加深对知识的理解和应用能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解学习目标（1）掌握点和圆的三种位置关系.（重点）（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.（3）了解三角形外心的概念.（4）了解反证法的证明步骤.（难点）

问题我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.左图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.说一说，点和圆有几种位置关系？A·OCBOA<rOB=rOC>r设⊙O

的半径为

r反过来成立吗？

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆内点P在圆上点P在圆外d<rd=rd>r位置关系点在圆内点在圆上点在圆外图示对应关系点在圆内d<r点在圆上d=r点在圆外d>r射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示.弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆.经过一个已知点A

能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？探究O1O2O3无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.经过两个已知点A，B

能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？O1O2l无数个，它们的圆心在线段AB

的垂直平分线上.思考经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？O连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE

与FG相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径作圆条件作圆的个数图示经过一个点A作圆无数个经过两点A，B

作圆无数个经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆一个

不在同一直线上的三个点确定一个圆.O经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并说说各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.思考经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？怎么证明？l1l2证明：假设过同一直线上的三点可以作圆.则该圆的圆心到A、B、C

三点的距离都相等，即圆心是线段AB、BC

垂直平分线的交点.分别作AB、BC

垂直平分线l1、l2.显然l1∥l2，l1与l2

无交点，故产生矛盾.所以假设不成立.即过同一直线上的三点不能作圆.假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.已知：在△ABC

中，AB=AC，求证：∠B，∠C

一定是锐角.证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C

是直角或钝角.（1）若∠B，∠C是直角，即∠B=∠C=90°，

故∠A+∠B+∠C>180°,

这与三角形的内角和定理矛盾，

所以∠B，∠C不是直角.（2）若∠B，∠C

是钝角，即∠B=∠C>90°，

故∠A+∠B+∠C>180°，

这与三角形的内角和定理矛盾，

所以∠B，∠C

不是钝角.综上所述，∠B，∠C

不是直角也不是钝角，

即∠B，∠C

是锐角，

所以等腰三角形的底角一定是锐角.随堂练习【教材P95练习第1题】1.画出由所有到已知点O

的距离大于或等于2cm，并且小于或等于3cm的点组成的图形.如图所示，圆环即为所求图形.2.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，

他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？【教材P95练习第2题】3.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用

这样的工具找到圆形工件的圆心？【教材P95练习第3题】ABCD解：转动两次即可，CD所在的两条直线的交点就是圆心.返回1．[2025扬州月考]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与⊙B的位置关系是(

)A．点A在⊙B外

B．点A在⊙B上C．点A在⊙B内

D．无法确定A返回2．若用反证法证明“若a>b，b>c，则a>c”，则应先假设(

)A．a<b，b<c

B．a≤b，b≤cC．a<c

D．a≤cD3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(

)A．点P

B．点Q

C．点R

D．点M返回【点拨】如图，连接AB，BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q.故选B.【答案】B返回4．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆的个数是(

)A．1B．2C．3D．4C返回5．如图，X，Y，Z是某社区内的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是(

)A．X，Y，Z

B．X，ZC．Y，Z

D．YA6．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，B(0，2)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为________时，过P，A，B三点不能作出一个圆．(2，－2)返回返回7．尺规作图：如图，已知△ABC．(1)求作：△ABC的外接圆⊙O；(2)若AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为________