2026-2027学年北师大版(新教材)初中数学九年级上册期中质量检测卷

2026-2027学年北师大版(新教材)初中数学九年级上册

期中质量检测卷考试时间：120分钟，满分：120分。一、单选题（共30分）1．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（

）A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似2．（本题3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

）A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形3．（本题3分）下列说法错误的是（

）A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．（本题3分）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．5．（本题3分）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A． B．C． D．6．（本题3分）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（

）A． B． C． D．7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（

）A．2 B．4 C． D．8．（本题3分）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．9．（本题3分）如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（

）A．4 B． C． D．610．（本题3分）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空题（共15分）11．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．12．（本题3分）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可）13．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________．14．（本题3分）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______．15．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．三、解答题（共75分）16．（本题5分）解方程：17．（本题5分）用适当的方法解方程：．18．（本题8分）已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．19．（本题10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件．(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________．(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价．20．（本题10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出；(2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．21．（本题10分）阅读与理解下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题．类型一：构造特殊点问题1：求作线段的中点F．思路：如图2，第一步：延长到E；第二步：利用网格构造线段，满足且；第三步：连接、、．与相交于点F．则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2）

类型二：构造角平分线问题2：求作的平分线．思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线．任务：(1)问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______．(2)请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）；(3)请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）．22．（本题13分）如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处．(1)若点在该纸片的边上，则；(2)若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点．①求证：四边形是平行四边形；②当是以为腰的等腰三角形时，求的长．23．（本题14分）我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图，在四边形中，若满足，，则四边形为“双等四边形”．(1)判断命题“有一个内角为的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由．(2)在中，在右侧平面内有一点，连结，以为对称轴将作轴对称变换得到，连接．①如图，，，若四边形是“双等四边形”，且，求的长．②如图，，，当四边形是“双等四边形”时，求的长．答案解析一、单选题（共30分）1．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（

）A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似【答案】A【知识点】图形的平移、位似图形的识别、根据旋转的性质求解【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小．【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到．2．（本题3分）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（

）A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形【答案】D【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、等边三角形的性质、矩形性质理解、正方形性质理解、正多边形概念辨析【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意．3．（本题3分）下列说法错误的是（

）A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】A【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形才是正方形，说法错误，符合题意；B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意；C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意；D选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，说法正确，不符合题意．4．（本题3分）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【详解】设长方形田地的长为步，宽比长小步，宽为步，长方形田地的面积为平方步，可得方程．5．（本题3分）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】添一条件使四边形是矩形【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项．【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确．选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误．选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误．选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误．6．（本题3分）在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用菱形的性质求面积【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，即可计算得到的面积．【详解】解：如图，∵四边形是菱形，∴，，.∵，，∴，.∴．7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵与关于原点位似，∴，∵，∴和的相似比是2，∴，∵的周长为2，∴的周长为4．8．（本题3分）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵，∴四边形是平行四边形∴∴∴由折叠得，，，∵∴，∴∴∴∴∵∴，∴∴∴．9．（本题3分）如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（

）A．4 B． C． D．6【答案】C【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、因式分解法解一元二次方程【分析】根据矩形的性质得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，（舍去），根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，，∴，∵，∴，即，设，则，∵，∴，根据勾股定理得：，，∴，即，解得：，（舍去），∴，∴，∴．10．（本题3分）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】配方法的应用、一元二次方程的定义、不等式的性质【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，则将方程变形为，由“同形二次方程”定义可知，“同形二次方程”定义中，，则两边同时除以得，，由②得，将代入①得，∴代数式．二、填空题（共15分）11．（本题3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．【答案】/【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，，解得．12．（本题3分）已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形是菱形，则添加的条件可以是_______．（只需添加一个即可）【答案】（答案不唯一）【知识点】添一个条件使四边形是菱形【详解】解：∵邻边相等的平行四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，∴可添加的条件为（答案不唯一）.13．（本题3分）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】6【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长【分析】根据矩形的性质得到，，，利用证明，将转化为，最后得出阴影部分的面积．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴．14．（本题3分）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______．【答案】【知识点】利用相似三角形的性质求解【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比．【详解】解：，与的面积之比为，与的相似比为，相似三角形的周长比等于相似比，与的周长之比为．15．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是线段上一点，连结，将沿翻折，点落在点处，交于点．若，，则菱形的面积为_______．【答案】15【知识点】勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求面积、等腰三角形的性质和判定【分析】根据折叠的性质可得，由可得，进而推出，得到，结合可得，在中利用勾股定理求出的值，最后根据菱形面积公式计算即可．【详解】解：由折叠的性质可知，，即∵，交于点，∴在中，，即∴，即在菱形中，，∴在中，∵，∴在中，，，∴是等腰直角三角形，即∵，∴在中，由勾股定理得，即，，即∴菱形的面积∴．三、解答题（共75分）16．（本题5分）解方程：【答案】，【知识点】因式分解法解一元二次方程【详解】解：，或，解得：，．17．（本题5分）用适当的方法解方程：．【答案】，【知识点】因式分解法解一元二次方程【详解】解：，∴，∴或，解得，．18．（本题8分）已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)；【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；（2）把代入方程，求出的值，再解方程即可.【详解】（1）证明：∵，∴，∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：把代入方程，得，解得，∴方程化为，∴，∴；故方程的另一个根为.19．（本题10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件．(1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________．(2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价．【答案】(1)(2)该商品的售价为20元【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)【分析】（1）根据题意列式即可；（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（2）解：根据题意可得，，解得，（舍去）．答：该商品的售价为20元．20．（本题10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．(1)将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，请在网格内画出；(2)以为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【知识点】平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可；（2）利用位似变换的性质，分别作出的对应点即可．【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：如图所示：即为所求．21．（本题10分）阅读与理解下面是王宇同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等．如图1，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点，利用无刻度的直尺解决下面的问题．类型一：构造特殊点问题1：求作线段的中点F．思路：如图2，第一步：延长到E；第二步：利用网格构造线段，满足且；第三步：连接、、．与相交于点F．则四边形是平行四边形（依据1）所以，点F即为线段中点．（依据2）

类型二：构造角平分线问题2：求作的平分线．思路：如图3，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接、，则为的平分线．任务：(1)问题1中“依据1”的内容是______；“依据2”的内容是：______．(2)请用无刻度的直尺在图1中参照问题1的思路，作线段的中点M（保留作图痕迹）；(3)请用无刻度的直尺在图4中参照问题2的思路，作的平分线（保留作图痕迹）．【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；(2)如图，点M即为所求；(3)如图，即为所求．【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求角度、利用二次根式的性质化简、勾股定理与网格问题【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质求解；（2）取格点D，E，连接交于点M即可；（3）延长到格点D，取格点E，连接，，连接即可．【详解】（1）略（2）解：作图略；证明：连接，，，根据题意得，，∴四边形是平行四边形∴点M即为线段中点；（3）作图略；证明：由网格得，∴四边形是菱形∴平分．22．（本题13分）如图，在矩形纸片中，，点是边的中点，沿折叠该纸片，点落在点处．(1)若点在该纸片的边上，则；(2)若点在该纸片内部，连接、，延长与相交于点．①求证：四边形是平行四边形；②当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)12(2)解：①证明：设，由翻折的性质可得，，，∵，∴，∴，∴，∵点是边的中点，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形；②或【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形、相似三角形的判定与性质综合【分析】（1）根据点在该纸片的边上作图，可得到点是边的中点，由此可求解的长度；（2）①根据角度的关系得到，由此可得，再由，即可证明四边形是平行四边形；②分类讨论时，与时两种情况，设出未知数，结