广东省2026-2027北师大版第一学期初中九年级数学科目期中信息卷（A）

广东省2026~2027北师大版第一学期初中九年级数学科目期中原创信息卷本试卷共8页，25小题。满分120分。考试用时120分钟。注意事项；1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．B．C． D．2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）．A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直3．下列说法错误的是（

）A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（

）A．3 B． C．10 D．7．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（

）A．①②③ B．②③ C．①② D．①③8．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（

）A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．二、填空题11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________．12．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．13．下列方程，是一元二次方程的有_________________________①，②，③，④．14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______．15．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）．三、解答题16．解方程：17．解方程：．18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．19．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．20．如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，．求的度数．21．如图，四边形为矩形（）(1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长．22．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为．(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．(2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？23．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，．(1)求证：；(2)求此公益广告牌的高度．24．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍．(1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤；(2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值．25．如图所示，将矩形按如下所示步骤进行折叠：步骤一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．(1)请写出_____；(2)若，，点为边上的一个动点，连接、．求的最小值；(3)若，，且上述折叠能完成，求四边形面积的最大值．答案解析一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】一元二次方程的定义【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意；D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意.2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）．A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直【答案】D【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：对角相等、邻边互相垂直、对角线相等均为矩形的性质，正方形是特殊的矩形，正方形也具有这三个性质，选项A、B、C不符合题意，正方形的对角线互相垂直，普通矩形的对角线不互相垂直，只有矩形为正方形时对角线才互相垂直，对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质．3．下列说法错误的是（

）A．对角线相等的平行四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】A【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形才是正方形，说法错误，符合题意；B选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意；C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，说法正确，不符合题意；D选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，说法正确，不符合题意．4．如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】A【知识点】求位似图形的对应坐标【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，∵如图，点的对应点为在第四象限，∴的坐标为，即．5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴，∴．6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（

）A．3 B． C．10 D．【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果．【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴根据根与系数的关系得．7．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（

）A．①②③ B．②③ C．①② D．①③【答案】B【知识点】利用平行四边形的性质求解、添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定．【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；②，在中，，（两直线平行，同旁内角互补），，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；综上，其中正确的是②③．8．“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理求解即可；【详解】解：设的交点为O，菱形，且，，则，，故；9．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求位似图形的对应坐标【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点的坐标为，即．10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用、不等式的性质【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，则将方程变形为，由“同形二次方程”定义可知，“同形二次方程”定义中，，则两边同时除以得，，由②得，将代入①得，∴代数式．二、填空题11．若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________．【答案】【知识点】由一元二次方程的解求参数【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是，将代入方程得：，整理得：，解得：．12．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．【答案】【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解，，整理得，．13．下列方程，是一元二次方程的有_________________________①，②，③，④．【答案】①④/④①【知识点】一元二次方程的定义【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程．①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义；③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义；④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；综上所述，是一元二次方程的有①④．14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______．【答案】【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案．【详解】解：∵，，∴，∵与位似，位似中心是原点，∴，∵，∴，即：.15．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）．【答案】①②③【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明【分析】先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误．【详解】解：∵正方形，∴,∴,∵交于，∴，∴,∴，∴，故①正确；∵，∴,∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即②正确；∵，∴，即，∵中，，∴，∵中，，∴，∴，即③正确；当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误．综上，正确的有①②③．三、解答题16．解方程：【答案】，【知识点】因式分解法解一元二次方程【详解】解：，或，解得：，．17．解方程：．【答案】，【知识点】因式分解法解一元二次方程【详解】解：，，或，或，即原方程的根是，．18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解．【答案】(1)(2)当时，，【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论；（2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可；【详解】（1）解：∵，，∴，∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴；（2）解：由（1）可知∴当时，一元二次方程为，解得，19．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)；【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论；（2）把代入方程，求出的值，再解方程即可.【详解】（1）证明：∵，∴，∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：把代入方程，得，解得，∴方程化为，∴，∴；故方程的另一个根为.20．如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，，．求的度数．【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵O为中点，∴，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形；(2)【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长【分析】（1）由题意得，，然后可得，则有，进而问题可求证；（2）由题意证出四边形为菱形，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】（1）略（2）解：∵四边形为平行四边形，，∴四边形为菱形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．21．如图，四边形为矩形（）(1)请利用圆规在边上寻找一点，使得平分；（只限使用一次，并保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，连接，．若，且平分，求的长．【答案】(1)如图所示，(2)【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，，可知，于是得到，又由四边形为矩形，得到，两直线平行内错角相等，即，可证得，即平分；（2）四边形为矩形，平分，可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，由（1）可知，，即可求解的长．【详解】（1）略（2）解：如图所示，∵四边形为矩形，∴，，∵平分，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，由（1）可知，又∵，∴，∴，∴．22．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为，扫过的图形面积为．(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．(2)当扫过的图形面积由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？【答案】(1)(2)【知识点】求一次函数解析式、根据矩形的性质求面积【分析】（1）分和两种情况建立函数关系式即可；（2）分别求出矩形面积的和矩形面积的，然后分别代入和求出对应的时间，再求解时间差即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，当时，；当时，扫过的图形为四边形，此时∴∴；（2）解：由题意得，，当时，则，解得；当时，则，解得∴点运动了．23．图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，．(1)求证：；(2)求此公益广告牌的高度．【答案】(1)证明：∵，∴，∵，∴，∴；(2)米【知识点】实际问题中角度计算问题、垂线的定义理解、相似三角形实际应用【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可；（2）通过和求出，再由求解即可．【详解】（1）略（2）解：由题意得，，∴，∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，∴（米），同理可得，，∴，∵米，∴，∴（米），∴（米）．答：公益广告牌的高度为4.5米．24．漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍．(1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤；(2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值．【答案】(1)黄翅鱼