27.2 反比例函数的图象和性质（讲义）（原卷版）

第二十七章反比例函数27.2反比例函数的图象和性质知识点一反比例函数的图象与性质反比例函数的图像是双曲线，其图像和性质如下表：k的符号k＞0k＜0图像图像位置图像分别位于第一、第三象限（x、y同号）图像分别位于第二、第四象限（x、y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大图像特征1）图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线；2）图像是关于原点对称的双曲线；3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.【补充】1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2）双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.即学即练1．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（

）A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限2．（2026·安徽阜阳·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则该函数图象所在象限为（

）A．一、三象限 B．二、四象限C．一、二象限 D．三、四象限4．（2026·河北唐山·二模）在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（

）A． B． C． D．知识点二反比例函数的对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y=-x，对称中心为原点.【解题技巧】1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上；2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上.即学即练1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____．2．（2025·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______．3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____．知识点三反比例函数的几何意义常见

图形结论即学即练1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（

）A． B． C．2 D．42．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（

）A．3 B．6 C．9 D．123．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（

）A．4 B．6 C．8 D．104．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______．知识点四反比例函数与一次函数关系从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或.即学即练1．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（

）A．B． C． D．3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．或4．（2024·河北邯郸·模拟预测）一次函数与反比例函数的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0题型01根据反比例函数解析式判断其性质典｜例｜精｜析例1．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）对于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．图像分布在第二、四象限内B．当时，随的增大而增大C．图像经过点D．若点都在函数的图像上，且时，则变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南开封·期末）点在函数图像上，下列说法中正确的是（

）A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点2．（25-26九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（

）A．函数图象位于第二、四象限B．若，，是图象上三个点，则C．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值D．函数值y随x的增大而减小3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）关于反比例函数，下列说法正确的是（

）A．点在该函数的图象上 B．图象位于第二、四象限C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值题型02比较反比例函数值/自变量的大小1)当k＞0时，同象限：，整体：.2)当k＜0时，同象限：，整体：典｜例｜精｜析例2．（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2025九年级下·天津·专题练习）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型03已知反比例函数增减性求参数典｜例｜精｜析例3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）若是反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，则a的值为______．2．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是______．3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______．题型04已知双曲线分布象限求参数典｜例｜精｜析例4．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_________．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知反比例函数的图象在第一、三象限内，那么k的取值范围是___________．2．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______．3．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限题型05反比例函数代数最值问题典｜例｜精｜析例5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（）A．最小值 B．最大值C．最小值 D．最大值2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______．3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，其中，且．(1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是________；(2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为________．题型06由反比例函数图象的对称性求点的坐标典｜例｜精｜析例6．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______．2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______．3．（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____．题型07比较反比例系数大小典｜例｜精｜析例7．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系是__________题型08根据反比例函数图象确定比例系数k的范围典｜例｜精｜析例8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）．变｜式｜巩｜固1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可）2．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________．题型09与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题典｜例｜精｜析例9．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______．变｜式｜巩｜固1．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为___________（写出一个即可）．2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则的值可以是________．（写出一个即可）3．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是___________．（写出一个即可）．

4．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．

题型10判断反比例函数图象典｜例｜精｜析例10．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（

）A．B．C．D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的图象大致为（

）A．B． C． D．2．（21-22九年级上·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____．A．B．C．D．3．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______．题型11根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质典｜例｜精｜析例11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义．任务一：自变量分析与数据采集（1）函数中自变量的取值范围是_____；（2）补全数据表：．．．11．5246．．．．．．13_____664_____1．．．任务二：图象绘制与对称性探究（3）绘制图象在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象．（4）图象分析该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____．任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展）（5）数值估算当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）．（6）性质总结请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）．（7）变式探究我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·北京平谷·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数的自变量的取值范围是；(2)取几组与的对应值，填写在下表中．…011.21.252.752.834568……11.52367.5887.5631.51…的值为_____________；(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；(4)获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________；②过点作直线轴，与函数的图象交于点(点在点的左侧)，则的值为____________．2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质．【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表：…1234……124…012…1234………（备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．）描点：如图所示．（1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到；（3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立．题型12已知比例系数求特殊图形的面积典｜例｜精｜析例12．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，则四边形的面积为_________．2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为________．（用含k的式子表示）3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________．4．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______．题型13根据图形面积求比例系数典｜例｜精｜析例13．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______．2．（2025·陕西商洛·一模）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________．3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，点为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且与交于点M，连接，若的面积等于矩形面积的，则点P的坐标为__________．4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____．题型14函数图象的综合典｜例｜精｜析例14．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（

）A．B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（

）A．B．C．D．题型15一次函数与反比例函数交点问题将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：.典｜例｜精｜析例15．（2025九年级下·河北·专题练习）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是______．2．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______．3．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：(1)建立函数模型．设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标．(2)画出函数图象．函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线．(3)观察函数图象．平移直线，①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______；②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．(4)得出结论．面积为的矩形，它的周长的取值范围为______．题型16反比例函数与一次函数图像比高低，谁高谁大.典｜例｜精｜析例16．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．变｜式｜巩｜固1．（2025九年级·辽宁·专题练习）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（

）A．或或 B．或C．或 D．或或2．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．题型17反比例函数与几何综合（面积问题）典｜例｜精｜析例17．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标．变｜式｜巩｜固1．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求与一次函数的函数表达式；(2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标．2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点、在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图像相交于、两点，且点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图像上（点不与点、重合），其横坐标为．(1)求的值；(2)连接、，当的面积是该矩形面积的一半时，求点的坐标．题型18反比例函数与几何综合（将军饮马问题）典｜例｜精｜析例18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点与，过点A作轴，垂足为C，连接、．(1)求k的值；(2)D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C．(1)求一次函数y与反比例函数y的表达式；(2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标；(3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标．2．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．(1)分别求出和的值；(2)结合图象直接写出中的取值范围；(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．3．（2022·四川乐山·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点，且，．(1)求直线的解析式；(2)若点为双曲线上的一点，点Q为y轴上的一动点，当的值达到最大值时，求点Q的坐标．题型19反比例函数与几何综合（几何图形存在性问题）典｜例｜精｜析例19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求此反比例函数的表达式：(2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．(3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为