第26章 二次函数（七大考点＋八大易错＋易错训练）（知识清单）（原卷版）

第二十六章二次函数

考点一二次函数的有关概念定义

一般形式y=____________________（a、b、c为常数，a≠0），自变量x最高次数为三种标准解析式

①一般式：y=_________________，适合已知三点求函数；

②顶点式：y=___________________，直接读出对称轴x=h、顶点(h,k)，平移、最值题型首选；

③自变量取值：全体实数。考点二二次函数的图象与性质图像特征二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式图像a>0a<0对称轴顶点坐标图象：抛物线，是轴对称图形，对称轴垂直于x轴。开口

a>0向______，函数有最______值；a<0向______，函数有最对称轴与顶点

一般式对称轴x=____________，顶点纵坐标是函数最值；顶点式直接观察增减性

以对称轴为分界，开口向上：左______右______；开口向下：左______右______。比较函数值大小可利用对称轴转化到同侧再判断。最值

自变量取对称轴横坐标时，函数取得最大/最小值；给定区间求最值需讨论对称轴是否在区间内。考点三二次函数解析式的确定三点条件：设一般式，代入三组(x顶点条件：已知顶点、对称轴、最值，优先顶点式，再代入一个点求a；交点条件：已知与x轴两个交点，设交点式，代入第三点求a；检验：求出系数后代回点验证，保证等式成立。考点四二次函数的平移核心规则：仅对____________式使用“左______右______，上______下______”；自变量x左右平移，只改变h；常数项k上下平移；平移不改变抛物线形状，a永远不变；逆向平移题目，把平移过程反向运算即可。考点五图象与系数a、b、a：控制开口______与宽窄；a、b：“左______右______”判断对称轴在y轴左侧还是右侧；b=c：抛物线与____________交点纵坐标，x=0时Δ=b2-特殊点赋值：x=1对应y=a+考点六二次函数与一元二次方程转化关系：令y=交点个数由____________决定，交点______坐标就是方程实数根；两根满足韦达定理，可求两点距离、两根代数式的值；顶点在x轴上对应方程有两个相等实数根。考点七二次函数与一元二次不等式解题优先图像法：结合开口方向、抛物线与x轴交点划分取值范围；a>0向上开口：大于0取______，小于0取a<0向下开口：大于0取______，小于0取无交点时，不等式恒成立或无解，直接根据开口判断。易错点1二次函数与x轴的交点易错提醒易错点总结 1.误以为二次函数一定与x轴有两个交点，忽略Δ=0（一个交点）、Δ<0（无交点）。 2.求交点坐标时解方程计算错误，符号出错、漏根。 3.混淆“与x轴交点个数”和“方程根的个数”，理解不到位。 4.误用交点式，在无交点题型中强行设交点式。注意事项总结 1.先算判别式Δ再判断交点个数。 2.Δ>0两个交点；Δ=0顶点在x轴；Δ<0无交点。 3.只有与x轴有交点，才能使用交点式解析式。 4.交点横坐标就是对应一元二次方程的实数根。【对点训练】1．已知关于的函数（是实数）．(1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标；(2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围；(3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围．易错点2二次函数一般式的平移易错提醒易错点总结 1.直接对一般式使用“左加右减”，大量学生直接错。 2.左右平移时搞错自变量变化，平移方向弄反。 3.平移后忘记重新整理解析式、对称轴、顶点坐标。注意事项总结 1.平移口诀只对顶点式生效！一般式必须先配方化为顶点式。 2.严格口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 3.平移不改变a，只改变顶点(h,k)。 4.平移题最后必须还原为一般式。【对点训练】2．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．易错点3含参二次函数的图象与性质问题易错提醒易错点总结 1.题目说是二次函数，忘记限制a≠0，参数范围多解、错解。 2.含参对称轴、增减性分析不全面，漏讨论开口方向。 3.不会根据参数范围判断图象升降、最值、交点情况。注意事项总结 1.含参二次函数第一准则：二次项系数不为0。 2.分析性质顺序：先看a（开口）→再看对称轴→再看增减、最值。 3.参数变化导致图象平移、开口变化，必须分类讨论。【对点训练】3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为．(1)请用含a的式子表示b，c；(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定；①若，，求t的值；②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围．易错点4区间内二次函数的最值问题易错提醒易错点总结1.不管自变量范围，直接默认顶点就是最值，忽略区间限制。2.不会分类讨论：对称轴在区间左、中、右三种位置。3.开口方向判断反，最大值最小值写反。注意事项总结1.区间最值不直接取顶点，必须看对称轴是否在取值区间内。2.三类讨论：①对称轴在区间左侧：区间单调；②对称轴在区间内部：顶点取一个最值，端点取另一个最值；③对称轴在区间右侧：区间单调。3.开口向上：顶点最小；开口向下：顶点最大。【对点训练】4．已知二次函数的图象经过，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当时，直接写出y的取值范围．易错点5二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系易错提醒易错点总结 1.对称轴“左同右异”记混，a、b符号判断错误。 2.乱判a+b+c、a-b+c、4a+2b+c等特殊代数式符号。 3.混淆Δ大小、误以为交点多Δ越大。 4.无法判断2a+b、2a-b等组合式符号。注意事项总结 1.a看开口，c看y轴交点，a、b看对称轴。 2.特殊值速判：x=1⇒a+b+c，x=-1⇒a-b+c。 3.2a+b用对称轴与1比较判断。 4.Δ只判断交点个数，不判断开口宽窄。【对点训练】5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5易错点6二次函数中的线段长与周长问题易错提醒易错点总结 1.竖线段、横线段坐标差值计算符号出错，线段长度漏绝对值。 2.动点线段表达式列错，不会用横坐标统一表示线段。 3.周长最值不会转化，不会利用对称、两点之间线段最短。注意事项总结 1.竖线段长：|y_1-y_2|；横线段长：|x_1-x_2|。 2.所有动点线段先写成含x的函数表达式。 3.周长最值：固定边不动，动边利用对称转化为直线距离。【对点训练】6．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P．(1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值；(2)若，求点P的坐标．易错点7二次函数中的面积问题易错提醒易错点总结 1.直接底乘高乱算，不会处理斜三角形、不规则图形。 2.铅垂高、水平宽公式记混、用错。 3.面积最值求解忘记自变量取值范围，出现超范围最值。注意事项总结 1.抛物线上三角形面积首选：铅垂高水平宽法。 2.公式：S=×水平宽×铅垂高。 3.不规则图形面积：割补法、大减小。 4.求面积最值必须检验点的取值范围。【对点训练】7．在如图所示平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段的中点P为抛物线的顶点，．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的面积．易错点8二次函数中的特殊图形存在性问题易错提醒易错点总结1.等腰、直角三角形、平行四边形存在性漏分类讨论。2.找点逻辑混乱，不会按边、角、对角线分类。3.求出点坐标后不检验，出现不符合图形的点。注意事项总结1.等腰三角形：三分类（三边两两相等）。2.直角三角形：三分类（三个顶点分别为直角顶点）。3.平行四边形：按对角线分类，中点坐标公式解题。4.所有存在性问题解完必须验图形、验范围、舍去废解。【对点训练】8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求直线和抛物线的解析式．(2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

一、单选题1．已知二次函数的图像不经过第三、四象限，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．3．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．4．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．图象的对称轴是直线5．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（

）A． B． C． D．二、填空题6．如图，已知二次函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于x的不等式的解集是______．7．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．8．二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________．9．将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为______．10．对于二次函数，当时，的取值范围是__________．三、解答题11．如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过两点，该抛物线的顶点为．(1)求此抛物线的解析式．(2)设点是直线下方抛物线上的一动点，连接，，请求出的最大面积是多少．(3)设直线与该抛物线的对称轴交于点，点为射线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标．13．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线．(1)求抛物线的函数表达式．(2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值．(3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由．

14．如图，抛物线与x轴