26.3 二次函数与一元二次方程（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.3二次函数与一元二次方程知识点一二次函数图像与x轴的交点和一元二次方程根的关系求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程与x轴交点个数图像与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点一元二次方程有两个不相等的实数根2个交点△＝0抛物线与x轴交于这一点一元二次方程有两个相等的实数根1个交点△＜0抛物线与x轴无交点一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）0个交点即学即练1．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（

）A． B．C．且 D．且3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线与轴交于、两点，则______．4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________．知识点二利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根1）利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下：（1）作图：通过列表、描点、连线，作二次函数的图像；（2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点；（3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围；（4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值.2）由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值.3）在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.当x由x1取到x2对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看作方程的近似根.即学即练1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（

）x1.61.82.02.22.4y0.220.72A． B． C． D．2．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（

）…1.21.31.41.5……0.160.75…A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.483．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数中部分和的值如表所示：0.890.560.25则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B． C． D．知识点三二次函数与不等式的关系不等式图像解集抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n即学即练1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．或2．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是________．4．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：则当时，的取值范围是________．题型01求抛物线与x轴的交点坐标典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）抛物线的对称轴为（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（

）A． B．1 C．2 D．02．（25-26九年级上·天津和平·期中）一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·吉林松原·月考）若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______．4．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________．题型02求抛物线与y轴的交点坐标典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川南充·月考）抛物线与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）二次函数中x与的部分对应值如表，下列说法错误的（

）x…01………A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线C．c的值为 D．当时，随x的增大而增大2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·吉林·期末）二次函数的图象如图所示，则的面积为________．题型03抛物线与坐标轴交点个数典｜例｜精｜析1．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（

）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与坐标轴的交点个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如．3．（24-25九年级上·贵州·期末）抛物线与坐标轴交点个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点题型04由二次函数图像与坐标轴的交点情况求参数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______．2．（25-26九年级上·江苏连云港·周测）函数的图象与轴有且只有一个交点，那么的值为______．3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）若二次函数的图像与x轴没有交点，则a的值可以是________．（填一个即可）4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若二次函数经过点，，则的值是________．题型05根据二次函数图像确定相应方程根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图是二次函数的图象，与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点坐标为，则关于x的方程的解为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图是二次函数的图象，则关于的方程根的情况是______．3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________．4．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________…0123……3003．…(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①关于的方程实数根为___________；②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________．题型06图像法求一元二次方程近似解典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值：判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示：则方程的一个较大的根的范围是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力．【问题再现】你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值【解决问题】解：当时，当时，．x的近似值可能为1或2当时，∴（精确到1）．(1)补充以上解题过程；(2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为，所以．题型07求x轴与抛物线的截线长典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（

）A．2 B．3 C．4 D．5变｜式｜巩｜固1．（浙江省台州市椒江区界牌中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学卷）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________．2．（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数的图像与一次函数的图像交于点，若函数的图像与轴仅有一个交点，则的值是（

）A．6 B．8 C． D．73．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线过点，对称轴是直线，且在x轴上截取的线段长度为，则抛物线的表达式为________________．题型08图像法解一元一次不等式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．或变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________．3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________．题型09二次函数与直线的交点问题典｜例｜精｜析1．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个变｜式｜巩｜固1．（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为______个．2．（2024·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数）（1）直线经过的定点坐标为______；（2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______．3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（为常数且）的图像与轴交于点，(1)求该二次函数的表达式；(2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由．题型10抛物线与x轴交点上的四点问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建南平·月考）将抛物线位于x轴上方的图象沿着x轴翻折，原抛物线在x轴下方的部分与翻折后所得图象共同组成的新图象与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，，，（其中），若，则t的取值范围为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2022九年级·全国·专题练习）如图，将抛物线yx2+x+3位于x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的直线AD∥x轴，且与翻折后的图象交于A、B、C、D四点，若AB＝BC＝CD，则BC的长度是（）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，该二次函数的图象经过点，，，四点，则的取值范围是______．4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____．题型11由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围典｜例｜精｜析1．（2022·广西南宁·一模）当时，抛物线与直线有交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：（1）若二次函数（m为