26.2.3 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象与性质（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质知识点一二次函数的图像及性质函数a的符号a＞0a＜0图像开口方向向上向下对称轴x=-x=-顶点坐标(-b2a，(-b2a，函数的增减性x＞-b2a时，y随x＜-b2a时，y随xx＞-b2a时，y随x＜-b2a时，y随x最值抛物线有最低点，当x=-b2a时，y抛物线有最高点，当x=-b2a时，y即学即练1．（24-25九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数，那么它的图像大致为（

）A．B．C．D．2．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（

）A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有唯一交点3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（24-25九年级下·四川自贡·月考）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（

）A．B．C． D．知识点二利用待定系数法求二次函数解析式根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况:1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解；2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程；3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式；4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式.即学即练1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：…0134……8038…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

）A．图象经过第一、二、三象限 B．C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象的对称轴为2．（25-26九年级上·河南周口·月考）已知二次函数的图象经过点，，，则a的值为（

）A．1 B． C．2 D．3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，灯柱，C为抛物线支架的最高点，距的水平距离为，距离地面，灯罩D与点C的水平距离为，在图中建立平面直角坐标系．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（

）嘉嘉：落地灯抛物线部分的解析式为；淇淇：灯罩D距地面的高度为A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对 D．两人都错题型01将一般式转化为顶点式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（2025九年级上·全国·专题练习）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（

）A．只有丁 B．乙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁2．（25-26九年级上·河北沧州·月考）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·山西朔州·期中）若抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是__________．题型02待定系数法求函数解析式典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________．2．（25-26九年级上·山东威海·期末）表中与满足某种函数关系，其函数表达式为_____．…………3．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线的开口大小与开口方向均与抛物线相同，且与轴相交于点，，则该抛物线的表达式为______．4．（山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______．题型03根据解析式判断二次函数的性质典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）对于抛物线，下列结论正确的是（

）A．顶点坐标是 B．开口向下C．当时，随的增大而增大 D．与轴没有交点变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（

）A．当时，函数图象过点 B．不论a取何值，函数图象都经过点C．函数图象与x轴必有两个交点 D．当时，y随x的增大而减小2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的部分对应值如下表：x0123ymn有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（）A．① B．② C．③ D．②③3．（2025·江苏连云港·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．函数有最大值 B．C．当时，随的增大而增大 D．当时，题型04根据二次函数的图像判断式子符号典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程有实数根．其中正确的结论个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，y随着x的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（

）A．①②⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．②③④3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________．题型05函数图象的综合判断典｜例｜精｜析1．（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（

）A．B．C． D．2．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）A．B．C． D．3（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（

）A．B．C． D．题型06比较抛物线上两点的函数值大小典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）二次函数上有两点，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知点、在抛物线上，则与的大小关系是（  ）A． B． C． D．无法确定2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）若，是抛物线上两点，若，，则与的大小关系是_________．3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知二次函数（为常数且），若该函数图象上有三点，，则、、的大小关系为_____．（用“”连接）题型07二次函数代数最值问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（）A．5或1 B．5或 C．或1 D．或2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数解析式，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（

）A．或 B．或2 C． D．3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________．4．（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．题型08二次函数与将军饮马综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·月考）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点，当的周长最小时，则此时的面积为_____．3．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为________．题型09二次函数平移问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东威海·期末）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到的抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若二次函数有最大值为，则的最小值为______．3．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则_______．题型10利用二次函数对称性求解典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为（

）A． B． C．或 D．或变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知二次函数，当时，取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（

）A． B．4 C． D．62．（24-25九年级下·广东广州·月考）若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______．题型11线段、周长存在性最值典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______．变｜式｜巩｜固1．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____．2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______．3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________．题型12二次函数面积问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点．（1）该抛物线的解析式为________；（2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线与轴交于、两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为______．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当______时，四边形的面积最大，最大面积为______．3．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____．题型13二次函数与特殊三角形综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为______.2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标______．题型14二次三角形与特殊四边形综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P