26.1 二次函数的概念（讲义）（解析版）

第二十六章二次函数26.1二次函数的概念知识点一二次函数的概念二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【解读】1）二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2；③二次项系数不能为0.2）自变量x的取值范围是全体实数.3）当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数.即学即练1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．选项A是含有分式的函数，选项B和C是一次函数，只有选项D符合定义．【详解】解：A、，不是二次函数，故选项A不符合题意；B、，是一次函数，故选项B不符合题意；C、，是一次函数，故选项C不符合题意；D、是二次函数，故选项D符合题意．故选：D．2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（

）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型，∴函数图像是抛物线的是二次函数，故选：．3．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（

）A．3 B． C． D．3或【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答．【详解】解：∵（为常数）是二次函数，∴，∴，解得，故选：B．知识点二二次函数的一般式二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数).【解读】1）二次函数的一般形式中，等号右边是关于自变量x的二次三项式.2）二次函数的3种特殊形式：（1)当b＝0时，（2)当c＝0时，（3)当b＝0且c＝0时，即学即练1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的定义．将二次函数整理成一般形式，即可求解．【详解】解：∵，∴，，．故选：D2．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的关系式，根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解．【详解】解：∵二次函数的常数项为零，∴，即，∴或．又∵函数为二次函数，∴二次项系数，∴，∴．故选：B．3．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____．【答案】18【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为．【详解】解：，故常数项为．故答案为：18．题型01二次函数的识别判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理（去括号、合并同类项）后，能写成的形式，那么这个函数就是二次函数.否则，它就不是二次函数.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．【详解】解：①函数不是二次函数；②函数是二次函数；③函数不是二次函数；④函数是二次函数；⑤当时，函数不是二次函数；⑥函数不是二次函数；∴二次函数有②④，共2个，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数；②，是二次函数；③，最高次数为3，不是二次函数；④，含有分式，不是二次函数；⑤，可能为0，不一定是二次函数；∴只有②是二次函数，个数为1，故选：A．2．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列各式中，二次函数的个数是（）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：①，故不是二次函数；②是二次函数；③当时，，故不是二次函数；④，不是二次函数；⑤是二次函数，则二次函数的个数有2个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号）【答案】④【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案．【详解】解：①时是一次函数，②是一次函数；③不是整式，不是二次函数；④是二次函数，故答案为：④．题型02由二次函数的定义求字母的值忽略二次项系数不能为0的限制条件.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____．【答案】【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可.【详解】解：是关于的二次函数，，且，.变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________．【答案】1【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴将，代入解析式得，即，解得．故答案为：1．2．（24-25九年级上·山东济宁·月考）若二次函数，则________．【答案】2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0，列式解答即可．【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：．故答案为：2．3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数．(1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值；(2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______．【答案】(1)(2)且【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值，对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n；对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可．【详解】（1）解：∵函数是一次函数，∴且，解得，∴一次函数.∵点在一次函数的图象上，∴，解得；（2）解：∵函数是二次函数，∴∴且．故答案为：且．题型03由二次函数的定义求字母的取值范围典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵函数是二次函数，∴二次项系数，∴，故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键．将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解．【详解】解：，∵该函数为二次函数，∴其二次项系数，∴．故答案为：．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数．（1）若这个函数是一次函数，则的值为______．（2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是______．【答案】0且【分析】本题主要考查了一次函数的定义以及二次函数的定义，解题的关键是应用定义得到有关字母系数的等式或不等式．（1）由一次函数的定义可得，且，进而求解即可；（2）由二次函数的定义可得，，进而求解即可．【详解】解：（1）这个函数是一次函数，且，解得：(已舍去)．故答案为：．（2）这个函数是二次函数，，解得且．故答案为：且．3．（黑龙江省大庆市龙凤区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？【答案】乙说法正确，理由见解析．【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．【详解】解：乙说法正确，理由：由题意得：，∴关于的函数（为常数）一定是二次函数，所以乙的说法正确．题型04二次函数的一般形式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式．将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数．【详解】解：∵，∴一次项系数为．故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成的形式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键．【详解】解：化成一般式为，∴二次项系数和一次项系数分别为，，故选：．2．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______．【答案】【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答．根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可．【详解】解：由题意知，，∴，故答案为：．3．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．函数解析式二次项系数一次项系数常数项（1）（2）（3）（4）【答案】见解析【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理．【详解】解：函数解析式二次项系数一次项系数常数项（1）2（2）0（3）10（4）100【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．4．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】(1)(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．（1）根据二次函数的定义，即列式求解即可；（2）根据二次函数一般式判定即可．【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，由得，由得且，∴．（2）解：由（1）得：二次函数解析式为，故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为．题型05求二次函数的值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在函数的图象上，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可．【详解】解：∵点在函数的图象上，∴当时，，代入得：，解得：．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(

)A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键．【详解】解：∴，，∴．故选：A．2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（

）A． B． C．或 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．把代入求解，注意的取值范围．【详解】解：把代入得，解得或，，，故选：B．3．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．【答案】2020【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【详解】解：将代入函数解析式得，，∴，∴．故答案为：2020．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关m的代数式的值．4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于______．【答案】3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．【详解】解：点在函数的图象上，，，则代数式，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．题型06判断函数关系典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断．【详解】解：由题意得：，整理得：，，∴y与x满足一次函数的关系，S与x满足二次函数的关系，故A正确．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（

）A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，∴，∴，∵，∴，∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．2．（24-25九年级上·天津河西·月考）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（

）①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系；②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系；④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．【详解】解：①依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意；②依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意；③依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意；④依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意；综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个．故选：B．3．（25-26九年级上·广西防城港·月考）写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．(1)圆的面积与它的周长之间的关系式；(2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式．【答案】(1)，二次函数(2)，二次函数【分析】此题考查列二次函数解析式．根据题意列出函数解析式，并进行判断即可．（1）根据圆面积和周长之间的关系列出函数解析式并判断即可；（2）根据菱形的面积和对角线长之间的关系列出函数解析式并判断即可．【详解】（1）解：∵，

∴圆的面积与它的周长之间的函数关系，

所以，是的二次函数．（2）解：菱形的另一条对角线的长是，

，

所以，是的二次函数．题型07列二次函数关系式(几何图形)典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键．【详解】解：∵其中一个正方形的边长为，∴其中一个正方形的周长为，∴另一个正方形的周长为，∴另一个正方形的边长为，∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，∴面积之和为，故选：C．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南许昌·月考）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______．【答案】【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式．【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为，由于两个正方形的周长之和为，因此另一个正方形的周长为，故另一个正方形的边长为，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，所以两个正方形的面积之和，即．故答案为：．2．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：，故选：D．3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米，平行于墙的一边长为米．根据题意得：．故选：A．题型08列二次函数关系式(增长率)典｜例｜精｜析1．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·福建南平·月考）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键；根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方．【详解】解：∵每次降价的百分率都是，∴第一次降价后价格为，第二次降价后价格为，∴，故选：B．2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式．【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得：与满足的函数关系式是．故选：D3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________．【答案】【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案．【详解】解：由题意得，，故答案为：．题型09列二次函数关系式(循环)典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可．【详解】∵参加会议的人两两彼此握手，∴．故选：B．变｜式｜巩｜固1．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】一共有n名同学，由于每两名同学之间互发一次信息，那么每一名同学都需给（n-1）名同学发一次信息，进而得出总次即可．【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为：m=n(n−1).故答案选：D.【点睛】本题考查了二次函数关系式，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式.2．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为_____（列出函数关系式）【答案】【分析】每两队之间都要赛一场，列出函数关系式即可；【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，所以比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为y=，故答案为y=．【点睛】本题考查根据实际问题列出二次函数解析式．解题的关键是正确的找到等量关系，列出表达式．题型10列二次函数关系式(销