25.2.1 配方法（讲义）（原卷版）

第二十五章一元二次方程25.2.1配方法知识点一直接开平方法定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型：1）2）3）即学即练1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）方程的解是（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于x的方程没有实数根则a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·四川广元·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______．知识点二配方法定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法.【解读】1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用；2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项.3）由ax①若，则，此时配常数项（即一次项系数一半的平方）即可.②若，则将二次项系数化为1，再用①的方法来处理.4）配方的实质：对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程求解.即将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.即学即练1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（）A．1，2 B．1， C．， D．，23．（25-26九年级上·吉林长春·月考）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______．知识点三用配方法解一元二次方程的一般步骤一般步骤方法典例一移移项将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边二化二次项系数化为1方程两边同时除以二次项系数三配配方方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误.即四开开平方求根利用平方根的定义直接开平方即学即练1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（

）解：……①，即……②……③，……④A．① B．② C．③ D．④2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）用配方法解一元二次方程得，则b的值为（

）A． B． C．6 D．23．（25-26九年级上·北京·期中）解方程：，_____________题型01直接开平方法解一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程：．题型02配方法解一元二次方程（a=1）典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南娄底·月考）若代数式与的值互为相反数，则的值为________．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·全国·期末）一元二次方程的根为_______________

．2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为_________．3．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）用配方法解方程(1)；(2)．题型03配方法解一元二次方程（a≠1）典｜例｜精｜析1．（四川省泸州市泸县五中学区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）将一元二次方程配方，其正确的结果是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·期末）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则，的值分别是（

）A．， B．， C．， D．，2．（25-26九年级上·全国·课后作业）完成下面的解题过程．用配方法解方程．解：移项，得____________，二次项系数化为，得____________，配方，得____________，由此得____________，解得____________，____________．3．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用配方法解下列方程：(1)；(2)．题型04判断配方法解方程的正误典｜例｜精｜析1．（2025·湖南岳阳·一模）某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（

）A．化为B．化为C．化为D．化为2．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列是小静同学解方程的步骤：①；②；③；④；⑤；⑥．小静的解法是从步骤________开始出现错误的（填序号）．3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．解：移项，得．①二次项系数化为1，得．②配方，得，即．③开方，得．④，⑤(1)小聪的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误的原因是_________；(2)用这种方法解方程：．题型05利用配方法判断方程根的情况典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·山西运城·期末）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有一个实数根变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·全国·课后作业）关于的方程无实数根，那么满足的条件是__________．3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______．题型06二次三项式的配方变形典｜例｜精｜析1．（【智】013第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程数学九年级BS版上册）（1）将一元二次方程配方后，得________．（2）将一元二次方程配方后，得________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______．2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______．3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知方程，用配方法化为．则___________．题型07利用配方法求二次三项式的最值典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配方，即可求出代数式的最大值或最小值．例：．，，即，的最小值为1．参照以上方法，对于代数式的最值，下列说法正确的是（

）A．最大值为13 B．最大值为 C．最小值为13 D．最小值为变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）代数式的最小值为（

）A． B． C． D．62．（25-26九年级上·湖南常德·月考）代数式的最大值______．3．（25-26九年级上·河南郑州·月考）对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________．4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值．例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法：解：．∵，∴当时，的最小值是．∴．∴当时，的最小值是．∴的最小值是．根据示例求代数式的最小值是_______．题型08利用配方法证明代数式恒正/恒负典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定变｜式｜巩｜固1．（2022·山东德州·中考真题）已知，（a为任意实数），则的值（

）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．无法确定2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______．3．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与的大小，填“>”“<”或“=”：当时，；当时，；当时，；（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．题型09配方法在实际问题中的最值应用典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．例题：求多项式的最小值．解：．因为，所以，因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：(1)【理解探究】已知代数式，则的最小值为_____；(2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；(3)【拓展应用】如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）阅读理解并解答：我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题．例如：∵是非负数，即∴则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2．(1)仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值；(2)实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边，①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由；②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？2．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3；(1)试说明，无论取何值，二次根式恒有意义；(2)为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值；(3)若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以：就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值．(1)当时，代数式有最（填“大”或“小”）值为；(2)当时，代数式有最（填“大”或“小”）值为．(3)如图，用的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？题型10利用配方法解含参一元二次方程典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求k的取值范围．(2)若k是最小的整数，求此时方程的根．2．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）关于x的一元二次方程有实根．（1）求m的取值范围；