25.2.4 一元二次方程根与系数的关系（讲义）（解析版）

第二十五章一元二次方程25.2.4一元二次方程根与系数的关系知识点一一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程的两个根是，则有：x1+x2＝-ba，x1•x2＝ca.特别地，如果方程的两个根为，则有x1+x2【补充说明】1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下：即学即练1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）请写出一个关于的一元二次方程，满足一根为2，另一根为，则这个方程可能是____．【答案】（答案不唯一）【分析】已知一元二次方程的两个根，可利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再构造满足条件的一元二次方程即可．【详解】解：设该一元二次方程的两根为，，取二次项系数为，根据根与系数的关系可得：，，∴这个方程可能是，（答案不唯一，只要满足条件即可）2．（2026·江苏南京·一模）方程的两个根为、，若，则的值为______．【答案】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据已知的两根之和求出参数的值，再代入计算两根之积即可．【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项，根据根与系数的关系可得：，∵，∴，解得：，又根据根与系数的关系可得，将代入得．3．（2026·河北廊坊·一模）若方程的两个根为和，则______．【答案】【分析】确定方程的二次项系数和常数项，代入关系计算即可．【详解】解：对于一元二次方程，若方程的两个根为，，根据根与系数的关系得，本题中方程为，可得，，代入得．4．（2026·四川成都·一模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______．【答案】【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答．【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根，，，，，则，∴．题型01不解方程，求一元二次方程的两根和/积典｜例｜精｜析1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可．【详解】解：一元二次方程中，，则方程的两根之积为．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过根与系数的关系计算两根之和即可判断选项．【详解】解：∵一元二次方程中，，，又∵对于一元二次方程，两根之和，∴，故选：D．2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（

）A．12 B． C．4 D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即两根之积为；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可.【详解】解：∵方程中，，∴.故选：B.3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握根与系数的关系．利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴．故选：C．题型02已知两数的和与积，求这两个数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·期末）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由，，求出p和q，即可写出这个一元二次方程．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】解：∵方程的两根为,，∴，得，，得，∴这个一元二次方程为，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，有实数根且两根之和为2的（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系（或因式分解法解一元二次方程），熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（或因式分解法解方程）是解题的关键．先判断各一元二次方程是否有实数根，再计算有实根方程的两根之和，最后筛选出两根之和为2的选项．【详解】选项A：∵方程可因式分解为∴解得，∴两根之和为，符合要求．选项B：∵方程可因式分解为∴解得，∴两根之和为，不符合要求．选项C：∵∴此方程无实数根，不符合要求．选项D：∵∴此方程无实数根，不符合要求．故选：A．2．（25-26九年级上·天津南开·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限．【详解】解：∵方程中，，，，∴两根之和，两根之积，∴点为，∵横坐标为正，纵坐标为负，∴点在第四象限，故选：D．3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程两根的和是6，则这两个根的积为（

）A． B． C．7 D．5【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求出k的值，再求两根之积即可．【详解】解：设方程的两根为和．∴两根之和．∵两根的和是6，∴，∴，∴．∴两根之积．故选：A．4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，倒数等知识点，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系．两个根互为倒数需满足乘积为1，即，且判别式确保有实数根．【详解】解：，∵，，∴，故A不符合；，∵，，∴，故B不符合；，∵，，∴，故C不符合；，∵，，∴，且，故D符合，故选：D．题型03不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可．【详解】解：设方程另外一个根为t，根据一元二次方程根与系数的关系得，解得．故选：C．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（

）A．2； B．1； C．； D．2；1【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．利用已知根求另一个根和参数即可．【详解】解：设另一个根为r，∵方程的一个根为，∴根据根与系数的关系可得：，解得：，两根之和为：把代入得：，即．故选：D．2．（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________．【答案】/【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：设方程的另一根为．∵一个根为，∴根据根与系数的关系，得,∴，即，解得或，但时，，不符合一元二次方程的条件，故舍去．当时，方程为，解得另一根为．故答案为：．3．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的方程的一个根是，则它的另一根为_________，_________．【答案】1【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，可得，解之可得．【详解】解：设方程的另一个根为，则，解得：，将代入，得，，解得．故答案为：，1．题型04不解方程，判断一元二次方程两根情况典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）不解方程，的两个根的符号为（

）A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断．【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项，∴，∴一元二次方程的两个根、的符号是异号；故选：B．变｜式｜巩｜固1．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．两根互为相反数C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4【答案】D【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断．【详解】解：方程化为一般式为，，方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误；设方程的两根为、，根据根与系数的关系得，即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确．故选：D．2．（23-24九年级上·四川自贡·期末）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，即可得到答案．【详解】解：∵于的一元二次方程有实数根，∴，，A.，，，故此选项不符合题意；

B.，，，故此选项不符合题意；C.，，，故此选项不符合题意；

D.，，，，故此选项符合题意；故选：D．3．（四题型应用一元二次方程的根与系数的关系及求值）不解方程，判断方程两根的符号．【答案】两根一正一负【分析】由原方程得到：，根据一元二次方程根的判别式求出△的值，进而确定方程根的情况；再根据根与系数关系求出两根之积的值，进而确定两根符号即可解答．【详解】∵，，，∴，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∵，，∴两根一正一负．【点睛】本题考查判断一元二次方程根的符号的题目，掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．题型05利用韦达定理求含两根的代数式的值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（

）A．7 B． C． D．3【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解．【详解】由题意得，，，．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．【答案】【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，∴由根与系数的关系可得：，.∴．2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为、，则的值为________．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后代入数值计算即可．【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为，，，，，故答案为：．3．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知一元二次方程的两根分别是，不解方程求下列式子的值．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．（1）由根与系数的关系可得，，将变形为，代入计算即可；（2）由方程的解的意义，可知，得代入，将变形为，将（1）中结果代入即可解答．【详解】（1）解：∵在方程中，，，，∴，，∴．（2）解：∵是方程的解，∴，即，∴．4．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)-4(2)23【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．（1）先求出，，再展开，再代入求值即可；（2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根，∴，∴；（2）解：∵，，∴．题型06根据根的正负性，判断参数范围使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元二次方程有两个正实数根，则k的取值范围为（）A．且 B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可．【详解】解：∵方程有两个正实数根，∴，即，，解得：，两根之和，两根之积，∵分子均为正，∴，即，综上，，故选：D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】B【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．【详解】解：设方程的两根为、，且，，由根与系数的关系得，，∵，，∴，即，∴，解得，又判别式，当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件；综上，的取值范围是．2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，∴解得：，∴实数m的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键．3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______．【答案】【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程根与系数关系等知识点，灵活利用根的判别式、一元二次方程根与系数关系列出不等式成为解题的关键．由根的判别式列不等式可得，设关于x的方程的两个实数根为，由两个实数根之和大于结合根与系数的关系可得，解得，进而得到即可解答．【详解】解：方程有两个实数根，，解得：．设关于x的方程的两个实数根为，两个实数根之和大于，，解得，．故答案为：．4．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围．【答案】．【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由根的判别式得到，解得，由根与系数的关系及题意得到，解得，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根，，，又∵两根异号，∴，∴，综上，的取值范围为．题型07利用韦达定理构造一元二次方程韦达定理构造，即已知为一元二次方程的两根.典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理：若一元二次方程有两个实数根，那么．首先设一元二次方程为，由二次项系数为1，两个根分别是3和，再根据根与系数之间的关系可知：，继而可求解．【详解】解：设一元二次方程为，∵二次项系数为1，两个根分别是3和，．∴该方程为：，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知、是方程的两根，则和的值为（

）A．1，6 B．1， C．， D．，6【答案】C【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可．【详解】解：依题意，得，解得：．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是本题的关键．2．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据得到的解，求出正确的一次项系数和常数项即可解答，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．【详解】解：根据题意得，，令，则，，∴关于x的一元二次方程是．故选：D．3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（

）A．6 B．8 C．7 D．10【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设两条直角边分别为a和b（），根据条件列出方程，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．【详解】解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（），由题意得：，∴，∵把a和b看作是一元二次方程的两个根，∴解方程得：，∵a是较长直角边，∴；故选：B．题型08韦达定理与判别式综合应用典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程的两实数根为满足，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵方程的两实数根为，，，，解得：．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可；（2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可．【详解】（1）解：由题意得，，即，；（2）解：由根与系数的关系可得：，，，即，，即，，解得或，由（1）知，，．【点睛】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；，是一元二次方程的两根时，一元二次方程根与系数的关系为：，．2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围；（2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，，．，解得；（2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，，∴，，∵，解得，，．3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程．(1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根；(2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．（1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，，，无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根．（2）解：关于x的一元二次方程的两根为，，，，，当时，有最小值，此时，解得．题型09已知一元二次方程两根满足的关系，求参数典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程的两个根满足是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解出p的值．【详解】解：方程的两根为，，，又，即，，解得．故选：D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·天津河北·阶段检测）关于的方程的两实数根为，，若，则的值为(

)．A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与积，代入条件方程求解，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可．【详解】解：∵关于

x

的方程

的两实数根为，

，又方程的二次项系数，一次项系数，常数项，由根与系数的关系：得，．∵，∴，即，解得，∴或．又∵方程有两实数根，∴，即．∴．故选：A．2．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，先将方程化为标准形式，利用判别式得到的取值范围，再根据根与系数的关系代入条件方程求解，最后验证判别式以确定符合题意的值．【详解】解：方程化为方程有两个实数根，，即，解得：，，，由，可得：，，即，整理得：，解得：，又，不符合题意，舍去，时，，符合条件，故答案为：．3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解．【详解】解：由题意，得，，∵，∴，即，解得或．∵，∴或（无解），解得，∴，则．故答案为0．4．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则______．【答案】或【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．【详解】解：，，又是倍根方程，当是的2倍时，则，解得：，当是的2倍时，则，解得：，故答案为：或．题型10韦达定理与几何问题综合典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知菱形的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，菱形的性质，解一元二次方程．由菱形的性质可知邻边相等，即，因此方程有两个相等的实数根，判别式为零，求解的值并排除不合题意的解．【详解】∵四边形是菱形，∴，∵，是方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根，∴判别式，即，∴，∴，∴或，∵当时，方程变为，根为，边长不能为零，故舍去，∴，故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，、的长是方程的两根，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系．在中，，为斜边，根据勾股定理，，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求和，进而计算，进而可知的长．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，．∵，∴，∴．故选：D．2．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·月考）【综合与实践】七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下：配方的过程（如图①）（如图②、③）（如图④）（如图⑤）割、拼、补的过程【初步应用】（1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________；【巩固应用】（2）由图⑥方程配方可得___________；【综合应用】（3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值．【答案】（1）；（2）；（3），2【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键．（1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可；（2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可；（3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴（如图⑥），∴，故答案为：；（2）∵，∴，∴，∴，故答案为：；（3）由图⑦可得：，∴，∴，∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为，∵，为方程的两个根，∴，，∵，∴，整理得：，解得或（舍去），∴．3．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m取最小整数，求此时方程的两个根；(3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴．解得：．（2）解：∵，∴的最小整数值为2．

把代入方程，得，

．（3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，∴，，∵，∴，根据勾股定理得，∴，解得或，∵，∴不合题意，舍去，∴，∴，∴的周长为．题型11新定义问题典｜例｜精｜析1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题：(1)方程的倒方程是．(2)若是的倒方程的解，求出c的值；(3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键．（1）根据新定义的含义可得答案；（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值；（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可；【详解】（1）解：方程的倒方程是；（2）解：由题意得：方程的倒方程为，把代入方程得：，∴（3）由题意得：方程的倒方程为，∵m，n是方程的两个实数根，∴，，∴∴；变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达