25.2.3 因式分解法（讲义）（原卷版）

第二十五章一元二次方程25.2.3因式分解法知识点一因式分解法定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.关键：将一元二次方程因式分解，降次为一元一次方程.依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：一般步骤方法典例移项将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0化积将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式原方程变形为转化令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程求解解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解即学即练1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______．2．（25-26九年级上·四川泸州·月考）方程的两个根是__________．3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________．知识点二选用合适的方法解一元二次方程方法说明直接开平方法方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法）配方法二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用此方法较为简单（最基本的方法）公式法在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能方法）因式分解法方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法）即学即练1．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）解下列方程：(1)(2)2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解下列方程：(1)(2)(3)3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）解下列一元二次方程：(1)；(2)．题型01提公因式法解一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（

）A．，， B．，C．，， D．，变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）方程的解是（）A． B．C． D．2．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，则__________．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____．题型02公式法解一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建·期末）方程的根为（

）A． B．C．， D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）方程的解为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的解是（

）A．2或0 B．或0 C． D．或03．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，．题型03判断因式分解法解方程的正误典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下：第一步：根据因式分解法，将右边分解为；第二步：直接将方程两边同时除以，得到；第三步：去括号，得到；第四步：移项，得到；第五步：系数化为1，解得请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．小刚同学：解：第一步第二步第三步解得第四步小颖同学：解：第一步第二步第三步或第四步解得第五步任务一：①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________任务三：解方程：；2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程．甲同学：解：，，

第一步∴

第二步∴

第三步，

第四步乙同学：

第一步

第二步

第三步(1)甲同学解一元二次方程的方法是；(2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误；(3)从甲、乙两位同学中任选一个方程进行正确解答．题型04非标准形式方程，先整理再因式分解典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如若，则（

）．A．3或 B．或 C．或 D．3或变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东聊城·月考）一元二次方程的解为______．2．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）若，则__________3．（25-26九年级上·广东湛江·期末）解方程：．题型05因式分解法解含括号的方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）解下列方程2．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）用适当的方法解方程：(1)；(2)；(3)．3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）解下列方程：(1)；(2)题型06十字相乘法解简单一元二次方程十字相乘法是因式分解当中的一种方法，分解二次项系数和常数项为两数相乘的形式，竖排排列，十字交叉相乘并相加后的结果等于一次项系数，即分解完成，“数分成竖，交叉验;横写成因，不能乱”.典｜例｜精｜析1．（山东省菏泽市成武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．32．（25-26九年级上·山东聊城·月考）我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（

）A．2 B．4 C．2或4 D．或3．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______．4．（河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷）已知，且，则的值为（

）A．3 B． C． D．或5．（25-26九年级上·天津·期末）已知方程的两个解为，则的值为（

）A． B． C． D．题型07换元法解一元二次方程换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识.典｜例｜精｜析1．（四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若,则=（）A．或 B．或 C． D．变｜式｜巩｜固1．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，则_________．2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）方程，则______．3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料：解方程．解法如下：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为．请你参考明明同学的思路，解方程．4．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程化为，解得，．或．，．以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：(1)．(2)．题型08因式分解法与含参问题综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为__________．2．（2025九年级上·全国·专题练习）用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（

）A． B．5 C． D．13．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）关于的一元二次方程有一根为0，则的值为_____．题型09选用合适的方法解一元二次方程典｜例｜精｜析1．（24-25八年级下·全国·课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适．①；②；③；④．变｜式｜巩｜固1．（22-23八年级下·山东泰安·月考）用合适方法解下列方程(1)；(2)．(3)(4)2．（23-24九年级上·天津东丽·月考）（1）解方程：

（2）解方程：

（3）解方程：

（4）解方程：题型10解含绝对值/根号的一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）阅读下面的例题：解方程，解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），．原方程的根是，．(1)解方程；(2)解方程．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）真正的学习是自学的，下面是小诗同学的数学笔记，请认真学习笔记内容．解方程：．解：设，则原方程化为，解得，（舍去）．