25.2.3 因式分解法（能力提升）（原卷版）

.2.3因式分解法知识点一需先整理化为一般形式再因式分解解方程1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程：．2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：．3．（25-26八年级下·上海·期中）解方程：．4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程(1)；(2)．知识点二换元法解一元二次方程1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料：解方程．解法如下：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为．请你参考明明同学的思路，解方程．2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（

）A． B．4 C．或4 D．23．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则_________．4．（24-25八年级上·上海·月考）解方程：．知识点三已知方程的根，因式分解求参数1．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____．3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为4，求m的值．4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程．(1)若是该方程的一个解，求的值；(2)若该方程有实数根，求的取值范围．知识点四解分式方程（化为一元二次方程）1．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式方程的正数解为（

）A． B． C． D．2．（2026九年级下·北京·专题练习）分式方程的解为__________．3．（2026·上海徐汇·二模）分式方程的解是___________．4．（2026·上海普陀·二模）解方程：．知识点五因式分解法解一元二次方程实际应用题1．（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为．(1)小球的滚动速度平均每秒减少______m．(2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案）(3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）2．（2026·重庆·模拟预测）跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高．(1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套?(2)小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个?3．（25-26九年级下·重庆开州·期中）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作．(1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？(2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？4．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．知识点一含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有实数根；(2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围．2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判断该一元二次方程根的情况；(2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；(3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值．3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知：关于x的方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值．4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程．(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值．知识点二结合几何图形的方程综合题1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根．(2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．2．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；(2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值．3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)当为何值时，为直角三角形．4．（25-26八年级下·山东德州·期中）阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设，如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时，如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为请直接利用两点间距离公式，解决下列问题：(1)平面直角坐标系中有两点，，则线段长为__________．(2)已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状；(3)若平面内有两