小学四年级数学《乘除法的关系：基于核心素养的单元整体建构》教学设计

小学四年级数学《乘除法的关系：基于核心素养的单元整体建构》教学设计一、教材与学情双维解码：素养导向的起点分析（一）【基础】教材体系定位与内容架构本课是西南师范大学出版社（西师大版）《义务教育教科书·数学》四年级下册第二单元“乘除法的关系和乘法运算律”的起始课，也是整个小学阶段代数思维建构的关键节点。本册教材在“数与代数”领域集中体现了《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于“数与运算”及“数量关系”两个主题的深度融合5。在此之前，学生已经掌握了表内乘除法以及多位数的乘除法计算，具备了初步的运算技能；在此之后，学生将学习乘法运算律、小数的意义与性质等内容。因此，“乘除法的关系”一课起着承上启下的重要作用，它不仅是对乘除法运算的理性认识升华，更是后续学习等式的性质、解简易方程以及代数思维的重要基石6。本单元内容以“关系”为核心，旨在引导学生从运算意义的角度，深刻理解乘法与除法这一对互逆运算的本质联系，构建结构化的知识体系。（二）【重要】真实学情分析与认知障碍研判四年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，即皮亚杰认知发展理论中的“具体运算阶段”向“形式运算阶段”的过渡期5。他们的求知欲旺盛，对具有挑战性的问题充满好奇，但其思维仍带有较大的具体性。在知识与经验层面，学生能熟练计算乘除法，并能初步感知到乘除法算式间的表面联系，如“乘法的积可以做除法的被除数”。然而，这仅仅停留在操作层面，对于“除法是乘法的逆运算”这一高度概括的抽象关系，学生往往难以形成本质的理解。尤其对于“0不能做除数”这一数学规定，多数学生只知其然，而不知其所以然，这是本课最核心的认知障碍。此外，学生在解决实际问题时，容易混淆数量关系，难以自觉运用乘除法各部分间的关系进行验算或求未知数，符号意识和推理意识有待加强5。（三）【热点】核心素养聚焦点基于上述分析，本课教学将着力培育学生的以下核心素养：1.抽象意识：经历从具体的乘除法算式和生活情境中，抽取出一般性数量关系的过程。2.推理意识：通过观察、比较、类比、归纳，自主发现乘除法的互逆关系，并能进行有条理的表达。3.模型意识：初步建立“因数×因数=积”、“被除数÷除数=商”以及变形式子的数学模型，并用于解决实际问题5。4.运算能力：理解算理，能够运用关系进行乘除法的验算，提升计算的准确性与灵活性。二、逆向教学设计：目标与评估证据（一）【核心】学习目标的三阶叙写基于课程标准和学情，本课的学习目标设定为以下三个递进层次：1.基础性目标（知识理解）：结合具体的情境（如植树、购物、排列队列等），通过观察、比较，理解乘法和除法互为逆运算的关系，掌握在有余数的除法里，被除数、除数、商与余数之间的关系1。2.核心性目标（能力迁移）：能够运用乘除法的关系，求算式中的未知数（如□×5=20，36÷□=6），并能对乘除法计算进行验算，初步养成检查和验算的良好习惯1。3.发展性目标（观念建构）：通过探究“0为什么不能做除数”的数学辩论，感悟数学概念的严谨性与确定性，发展辩证思维，体会数学内部结论的和谐一致。（二）【难点】表现性评估证据设计为了证明学生达成了上述目标，我们需要在教学过程中收集以下评估证据：1.解释性证据：能用自己的语言清晰表述“为什么除法是乘法的逆运算”，并能举例说明。2.应用性证据：能独立且准确地完成乘除法的互逆填空、验算及求未知数的练习，正确率达标。3.洞察性证据：在小组讨论中，能结合乘除法的关系，从“商不存在”和“商不唯一”两个角度，有理有据地反驳“0可以做除数”的错误观点。4.自我监控证据：在课堂尾声，能利用本课所学知识，对自己或同伴的解题过程进行反思和评价。三、【核心环节】教学实施过程：从经验到理性的深度建构（一）【重要】任务驱动：唤醒经验，初建关联（本环节预计用时8分钟）1.情境创设，激活经验课件出示学校“阳光体育运动”主题图：操场上，四年级的同学们正在为运动会进行队列训练。画面呈现三组信息：①每行站8人，站了5行，共40人；②四年级2班有48人，平均分成6列，每列8人；③学校买了3盒跳绳，每盒12根，共36根跳绳。教师提问：“请同学们仔细观察，从这些运动场景中，你能找到哪些乘除法数学信息？并列出算式。”学生自主列式，教师有选择性地将算式板书在黑板的左侧区域：8×5=4048÷6=812×3=3640÷5=848÷8=636÷3=1240÷8=536÷12=32.初次对比，发现联系【基础】教师引导学生横向观察每一组算式（如8×5=40，40÷5=8，40÷8=5）：“请同学们看第一组关于队列人数的三个算式，它们说的是同一件事吗？每个数字在三个算式中分别叫什么名字？你有什么发现？”组织同桌两人进行微型讨论。学生基于已有经验，很容易发现：乘法中的“积”在后面的除法中变成了“被除数”，而乘法中的两个“因数”在除法中分别变成了“除数”和“商”。它们讲述的是同一个数量关系（总人数、行数、每行人数）的三种不同表达。教师顺势揭题：“同学们，这种千丝万缕的联系，就是数学中所说的‘乘除法的关系’。今天我们就来当一次数学小侦探，彻底揭开它们之间的秘密。”（板书课题：乘除法的关系）（二）【难点】任务链探究：深度建模，辨析明理（本环节预计用时20分钟，是本课的核心部分）1.探究任务一：抽象概括，揭示逆运算关系【重要】【高频考点】教师将黑板上的算式进行分类整理，并追问：“如果抛开具体的‘队列’、‘跳绳’这些生活情境，仅仅从‘数’和‘运算’本身来看，你能试着将这几组算式的关系总结成一个公式吗？”学生以四人小组为单位，借助学习任务单，进行探究。任务单包含三个引导性问题：（1）观察乘法算式（因数×因数=积），乘法的结果（积）在对应的除法算式中是什么位置？（2）观察除法算式（被除数÷除数=商），除法的结果（商）在对应的乘法算式中是什么位置？（3）你能用字母或者符号来表示这种关系吗？小组汇报交流，逐步形成共识，教师板书核心关系式：因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数【非常重要】教师在此处进行关键点拨：“同学们，通过刚才的推导，我们发现，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，就是除法。这说明除法是乘法的逆运算。‘逆’就体现在运算过程与运算顺序的还原上。”（板书：除法是乘法的逆运算）2.探究任务二：极限挑战，攻克“0不能作除数”【难点】【热点】教师利用学生的认知冲突，抛出挑战性问题：“既然除法是乘法的逆运算，那我们就用这个法宝来研究一个数学界的‘铁律’——0为什么不能作除数？谁能用我们今天学的关系把它讲明白？”教师引导学生分成两大阵营进行探究：第一阵营（探究5÷0）：假设0可以做除数，且5÷0=□，根据逆运算关系，那么□×0应该等于5。大家思考，存在哪个数乘0等于5吗？（学生立刻反应：不存在，因为0乘任何数都得0，不可能得5。）由此得出结论：当被除数不是0，除数是0时，商不存在。第二阵营（探究0÷0）：假设0÷0=□，根据逆运算关系，那么□×0应该等于0。大家思考，存在哪个数乘0等于0吗？（学生发现：任何数乘0都得0，所以□可以是1、2、3、4……任何数，有无数个答案。）由此得出结论：当被除数和除数都是0时，商不确定，不唯一。【非常重要】教师总结升华：“一个算式要么有唯一确定的商，要么没有商，决不能出现‘商不确定’的情况。为了保证计算结果的唯一性和确定性，数学家们规定——0不能作除数。这不仅是规定，更是数学逻辑的必然。”3.探究任务三：迁移类推，完善有余数除法教师出示问题：“小东带了50元钱去买笔记本，每本笔记本7元，最多能买几本？还剩多少钱？”学生列式：50÷7=7（本）……1（元）。教师追问：“你能根据上面的关系，结合这个具体的算式，猜一猜在有余数的除法里，被除数与除数、商、余数之间又有什么关系吗？”学生类比无余数除法的关系式，进行迁移思考，通过小组讨论，得出：被除数=商×除数+余数。教师引导学生进行验证：7×7+1=49+1=50，与原被除数一致，证明猜想正确。【重要】教师强调：“这个关系式非常重要，它不仅是检验有余数除法计算是否正确的依据，也是今后解决很多复杂数学问题的钥匙。”（三）【基础】分层练习：在应用中走向深刻（本环节预计用时8分钟）1.第一层：基础巩固（面向全体）根据算式，直接写出另外两个算式。（1）18×5=90→90÷（）=（），（）÷（）=（）（2）256÷16=16→16×（）=（），（）÷（）=（）设计意图：巩固乘除法各部分名称及互逆关系的基本应用。2.第二层：变式提升（面向多数）求算式中的未知数。（1）□×25=400（2）672÷□=28（3）一个数除以15等于12，这个数是多少？要求学生写出计算过程，并说出应用了哪个关系式。例如第（1）小题，应用“一个因数=积÷另一个因数”。设计意图：将文字关系转化为符号运算，渗透方程思想，提升符号意识。3.第三层：思维拓展（面向学有余力）小马虎在计算一道除法算式时，把除数6看成了9，结果得到的商是12，余数是3。正确的商应该是多少？（提示：先根据错误算式“被除数÷9=12……3”，利用“被除数=商×除数+余数”求出正确的被除数，再重新计算。）设计意图：在复杂情境中灵活运用本课核心关系式，培养学生逆向思维和问题解决能力。（四）课堂总结：建构知识网络（本环节预计用时4分钟）1.回顾梳理教师引导学生从知识与方法两个维度进行回顾：“这节课我们研究了什么问题？我们是用什么方法来研究的？”（观察、比较、归纳、举例验证）2.自我评价出示评价量规，学生进行星级自评：我能说出乘法和除法互为逆运算。☆☆☆☆☆我能写出乘除法各部分间的关系式。☆☆☆☆☆我能用关系解释0为什么不能作除数。☆☆☆☆☆我能用关系进行验算或求未知数。☆☆☆☆☆3.结语延伸教师总结：“今天我们从表面的计算深入到了运算的内部，发现了乘除法之间深刻的互逆关系。这种‘关系’的眼光，会帮助我们在未来的数学学习中，把‘新知识’不断转化成‘旧知识’，构建起越来越强大的数学王国。”四、作业设计：减负提质的实践路径（一）【基础】必做作业（限时10分钟）完成课本练习三第13题。要求：独立完成，并选择其中一道乘法算式和一道除法算式，口头向家长叙述每个部分的名称以及它们之间的关系。（二）【拓展】选做作业（二选一）1.我是小主编：制作一张名为“乘除法关系知多少”的数学思维导图或数学小报，内容包括本课的核心关系式、你理解的“逆运算”含义、以及关于0不能作除数的数学小故事。2.我是小侦探：寻找生活中可以用乘除法关系解释的实际问题（如购物算账、分配物品、行程问题等），编两道数学题，考考你的同桌，并利用本课知识进行验算。五、板书设计：思维可视化的逻辑图谱乘除法的关系——除法是乘法的逆运算具体情境→抽象算式→数学模型8×5=40因数×因数=积40÷5=8一个因数=积÷另一个因数40÷8=5↓↓（总数）（份数与每份数）被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数【难点突破】0不能作除数：5÷0→？×0=5→不存在0÷0→？×0=0→无数个→商不存在或不确定→规定：0不能作除数【关系延伸】有余数除法：被除数=商×除数+余数六、教学反思：基于循证的专业进阶本设计秉持“以终为始”的逆向设计理念，将核心素养的培育贯穿始终3。最大的亮点在于将“0不能作除数”这一枯燥的数学规定，转化为学生运用新知（乘除法关系）进行逻辑推演的探究活动，不仅让学生“知其然”，更“知其所以然”，有效锤炼了学生的推理意识。同时，通过“任务链”驱动，将静态的教材知识转化为动态的探究历程，学生在解决挑战性问题的过程中，