小学六年级数学百分数应用一增减问题探究教案

小学六年级数学百分数应用一增减问题探究教案

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课教学内容为北师大版六年级上册第七单元“百分数的应用”第一课时，教材以“水的体积45ml，结成冰后体积50ml”为现实载体，引导学生探索“冰的体积比水增加了百分之几”这一核心问题。从知识脉络看，本课建立在三年级分数初步认识、五年级分数乘除法应用、六年级上册百分数意义与互化等知识基础之上；同时，本课所建立的“差量÷单位1”模型将直接支撑后续“求比一个数多（少）百分之几的数是多少”以及“已知比一个数多（少）百分之几求这个数”的学习，是整单元的方法论起点。教材编排凸显从具体量差到相对分率差的数学化过程，通过“增加百分之几”与“减少百分之几”的对比，促使学生深刻理解单位“1”的相对性。【基础】【高频考点】

（二）学情分析

知识储备：学生已能熟练进行百分数与小数、分数的互化，会解决“求一个数是另一个数的百分之几”的基本问题，对“率”有初步感知。思维特征：六年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，多数学生能够借助线段图理解数量关系，但将具体情境抽象为“差量÷单位1”的符号模型仍需教师搭设支架。典型困难：其一，单位“1”辨识能力薄弱，尤其是在反向叙述（如“水的体积比冰减少百分之几”）中易错除数为比较量；其二，对“增加百分之几”与“增加了多少”的本质区别理解不透，常将差量直接改写为百分数；其三，受整数思维定势影响，误认为“增加百分之几”与“减少百分之几”在差量相同时结果应相等。【难点】【热点】教学需以可视化工具为支撑，在冲突中重构认知。

（三）设计理念

本设计以大概念“倍比关系”为统摄，践行“学为中心、深度建构”的教学理念。在目标层面，追求从“解题技能”转向“模型意识”与“批判性思维”；在内容层面，将百分数、分数、比置于同一关系网络中，实现跨域联结；在实施层面，采用“问题链—任务群—反思场”三阶推进，借助真实情境引发认知冲突，通过图示表征搭建思维阶梯，依靠对比辨析实现概念深化，最终达成对百分数相对性的本质理解。

二、教学目标与核心素养

（一）知识与技能

1.结合具体生活情境，准确解释“增加百分之几”“减少百分之几”的含义，能用自己的话完整描述谁与谁比、以谁为标准。【基础】

2.掌握（差量÷单位“1”的量）×100%这一基本模型，能够独立解决“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的实际问题，计算正确率稳定在90%以上。【重要】【高频考点】

3.能在较复杂的文字信息中快速锁定单位“1”，并区分“相差率”与“相差量”的不同应用场景。

（二）过程与方法

1.通过“画线段图—列式计算—对比归纳”的探究活动，经历从具体数量关系到抽象数学模型的全过程，感悟数形结合、类比的数学思想。【重要】

2.在小组合作学习中，学会倾听他人思路、有理有据地质疑与补充，发展合作交流能力与批判性思维。

3.通过变式辨析与错例分析，形成自我监控、反思修正的元认知习惯。

（三）情感态度与价值观

1.感受百分数在描述变化幅度时的直观性与普适性，增强用数学语言描述现实世界的意识。

2.在一次次认知冲突与问题解决中获得成功体验，树立学好数学的自信心。

3.培养严谨求实的科学态度，理解数学结论必须基于对标准的准确定义。

三、教学重难点

（一）教学重点

理解“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的数量关系，建构并运用（差量÷单位“1”）×100%的解题模型。【高频考点】

（二）教学难点

1.在不同情境、不同叙述方式中准确辨识单位“1”的量。

2.深刻理解“绝对差量相同，相对比率未必相同”，并能够用单位“1”的变化解释这一现象。【难点】【非常重要】

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“问题驱动·图示支架·对比建构”教学法。教师以核心问题串引领思维方向，以线段图为认知拐杖，以正反例对比为概念澄清工具。倡导独立画图、小组互学、全班辩学相结合的学习方式。

（二）教学准备

1.教师：交互式课件（含冰水体积变化动画、可拖拽的线段图生成器、分层练习题库）；磁性学具贴片（圆形片代表体积单位）；学生任务单（含课前预学单、课中探究单、课后拓展单）；红黄双色反馈牌；手机投屏设备。

2.学生：直尺、铅笔、橡皮、彩笔；复习“求一个数是另一个数的几分之几/百分之几”。

五、教学实施过程

（一）唤醒经验，情境导入（预设6分钟）

1.激活旧知，铺设引桥

师：同学们，数学来源于生活。课前请大家找一找生活中的百分数，谁愿意分享？

生1：纯牛奶包装上写着“蛋白质含量3.2%”。

生2：手机电量显示80%。

师：3.2%表示什么意思？

生1：表示蛋白质的质量占牛奶总质量的3.2%。

师：没错，百分数表示两个数量的倍比关系。今天我们继续研究百分数在比较中的应用。（板书课题：百分数的应用（一））

2.创设情境，聚焦核心

课件播放微视频：实验室中量杯里有45毫升水，放入冰箱完全结冰后，体积变成50毫升。

师：根据这两条信息，你能提出一个用减法解决的数学问题吗？

生3：冰的体积比水增加了多少毫升？（列式50－45＝5毫升）

师：如果老师想知道“冰的体积比水增加了百分之几”，这个问题与刚才的问题有什么不同？

生4：刚才问增加了多少数量，现在问增加了多少百分数。

师：这个“百分之几”究竟表示什么意思？它和5毫升是什么关系？我们今天就一起来解开这个谜题。【核心驱动问题】

设计意图：从学生熟知的“求一个数是另一个数的百分之几”和具体差量切入，通过对比设疑，激发探究“相对差量”的内驱力。

（二）图示分析，模型建构（预设22分钟）

1.独立画图，暴露思维起点

师：要研究“增加了百分之几”，只盯着数字看容易糊涂。我们以前解决分数问题时常用什么工具？

生（齐）：线段图！

师：请你在任务单“探究区”画一画，表示出“水的体积45ml”和“冰的体积50ml”的关系。

学生独立画图，教师巡视并选取典型作品。预设出现以下三种层次：

——层次一：上下画两条独立线段，分别标注45和50，未体现差量关系。

——层次二：画一条线段，平均分成若干份，试图用份数表示，但难以精准。

——层次三：先画一条线段表示水，再在其下方画一条稍长线段表示冰，左端对齐，右端多出部分标5ml。

2.优化完善，确立标准图示

教师用手机拍摄三份作品投屏展示。

师：哪一幅图能最清楚地看出“冰比水增加了多少”以及“增加了这部分和谁在比”？

生5：第三幅图，因为把水的长度作为标准，多出的部分一眼就看到了。

师：在数学上，被用来作为比较标准的量叫作“单位1”。这里谁是单位1？

生6：水的体积45ml。

师：（板书：单位“1”——水的体积45ml）冰的体积是比较量，它比单位1多了5ml。现在谁能指着图说一说，“增加了百分之几”到底是哪两个量在比？

生7：增加的部分和水的体积（单位1）在比。

师：说得非常准确！也就是——（板书：增加量÷单位1）【非常重要】

3.列式计算，初建模型

师：根据这个关系，怎样列式？

生8：（50－45）÷45＝5÷45≈0.111＝11.1%。

师：11.1%表示什么？请完整说一句话。

生8：冰的体积比水的体积增加了水的体积的11.1%。

师：这句话里“水的体积”重复了两次，但恰恰强调了单位1。所以我们求出来的百分数，是相对于单位1而言的。

4.反向迁移，冲突辨析

师：如果问题反过来问——“水的体积比冰的体积减少了百分之几”，线段图该怎么改？单位1变了吗？

小组合作任务（时间5分钟）：

（1）修改或重画线段图，标出新的单位1。

（2）列出算式并计算出减少百分之几。

（3）讨论：为什么增加和减少的差量都是5ml，算出来的百分数却不一样？

教师巡视，重点介入：部分学生会机械照搬原算式，需引导其指着图说“现在是把冰的体积当作标准，所以冰是单位1，水是50ml吗？不，水是45ml，比较量是水”。

小组代表汇报：

生9：我们画图时把冰放在上面作为标准50ml，水在下面短一些，减少的部分还是5ml，列式是（50－45）÷50＝5÷50＝0.1＝10%。

师：大家看黑板——（板书左右对照）左边（50－45）÷45≈11.1%，右边（50－45）÷50＝10%。差量相同，除数不同，结果就不同。这说明什么？

生10：说明单位1不同，就算相差的具体数量一样，相差的百分数也不一样。

师：对！单位1就是比较的标杆，标杆换了，相对比率当然会变。这就是百分数的“相对性”。【难点突破】【非常重要】

5.符号抽象，模型固化

师：现在我们把具体的数字藏起来。如果用A表示单位1，B表示比较量，当B＞A时，B比A增加百分之几怎样表示？

生11：（B－A）÷A。

师：当B＜A时，求B比A减少百分之几呢？

生12：（A－B）÷A。

师：（完成板书核心公式）增加/减少百分之几＝差量÷单位1的量×100%。

学生齐读公式，并用红笔在任务单上框出。教师补充：注意结果要化成百分数，除不尽时通常保留三位小数。

（三）分层练习，深化内化（预设12分钟）

1.基础性巩固——全员独立，即时反馈

（1）某养殖场去年养鸭400只，今年养鸭600只。今年比去年增加了百分之几？【基础】

（2）一台电视机原价2500元，现价2000元。现价比原价降低了百分之几？【高频考点】

学生完成后举反馈牌（红色正确、黄色存疑）。第（2）题常见错例：2000÷2500＝80%。教师展示此错例：

师：80%表示什么？

生13：现价是原价的80%。

师：题目问的是“降低了百分之几”，我们求出现价是原价的80%，能直接回答吗？降低了多少呢？

生14：应该先求降低的钱2500－2000＝500元，再除以原价2500，得20%。

师：对！一定要先找到“差量”，再除以单位1。千万不能看见“比”就直接除。【重要】

2.综合性变式——分层推进

（1）基本变式（必做）：

小华身高150cm，小明身高135cm。小华的身高比小明高百分之几？小明的身高比小华矮百分之几？

学生独立计算，教师追问：高百分之几和矮百分之几加起来是100%吗？

生15：不是，高是（150－135）÷135≈11.1%，矮是（150－135）÷150＝10%，加起来不是100%。

师：为什么？不是相差的都是15cm吗？

生16：因为单位1不一样，高的时候是以小明作标准，矮的时候是以小华作标准，标准不同，百分率当然不能加。

（2）拓展变式（小组共研）：

一台冰箱先提价10%，再降价10%，现价与原价相比是涨了还是降了？【难点】【热点】

教师提示：可以假设原价100元试试。

学生分组计算，教师巡视指导，重点关注学生对第二次运算时单位1变化的处理。

小组展示：

生17：原价100元，提价10%后是100×（1＋10%）＝110元；再降价10%，单位1变成了110元，降价10%就是110×10%＝11元，现价110－11＝99元。99＜100，所以降了。

师：如果原价是a元呢？

生18：提价后1.1a，降价后1.1a×（1－10%）＝0.99a，还是降了。

师：结论具有普遍性。这个题目陷阱就在于第二次降价时的单位1已经变了，不是最初的原价了。【非常重要】

3.诊断补偿——聚焦高频错点

教师出示一道改编题：“某工厂实际生产零件450个，比计划多生产50个，实际比计划多生产百分之几？”

展示典型错误：50÷450≈11.1%。

师：这种做法错在哪里？

生19：他把实际产量当作单位1了，题目是“实际比计划多”，计划才是单位1，应该除以计划产量。

师：计划产量是多少？

生20：实际450个，比计划多50个，计划就是400个，应该用50÷400＝12.5%。

教师小结：找准单位1，口诀是——“比”字后面是标准，差量除以标准量。

（四）跨域联结，拓展视野（预设6分钟）

1.百分数·分数·比三位一体

师：百分数、分数、比都是描述两个数量之间倍比关系的“好朋友”。你能把它们串起来吗？

出示：六（1）班男生人数比女生人数多20%。

（1）男生人数是女生人数的（）%。

（2）女生人数是男生人数的（——）。

（3）男生与女生的人数比是（）:（）。

学生独立填完后全班交流。

生21：男生是女生的120%，因为把女生看作单位1，男生是1＋20%＝120%。

生22：女生是男生的5/6。因为男生︰女生＝120︰100＝6︰5，所以女生︰男生＝5︰6。

师：120%、6︰5、6/5，虽然形式不同，但说的都是男生人数与女生人数的倍数关系。今后遇到百分数问题，有时转化成份数或分数会更简便。【跨学科视野】

2.生活中的百分点

师：我们经常在新闻里听到“CPI同比上涨2.3%，涨幅比上月回落0.2个百分点”。这里的“百分点”和“百分数”有什么不同？

教师简释：百分数描述两个数的比值；百分点是百分数之间的差值单位。例如上月涨3%，本月涨2.8%，就说“回落0.2个百分点”，不能说“回落0.2%”。这个知识点到初中会深入学习，今天先留个印象。

设计意图：将本课知识点置于更宏大的“关系度量”体系中，打通百分数、分数、比的内在关联，并前瞻性渗透百分点概念。

（五）总结反思，评价内化（预设4分钟）

1.思维导图式总结

师：请同学们闭上眼睛，像放电影一样回顾今天的学习历程——我们遇到了什么问题？用什么工具帮助思考？得到了什么公式？发现了什么重要结论？

指名回答，教师同步完善板书核心结构：

情境（冰与水）→线段图（单位1）→数量关系（差量÷单位1）→百分率→反向对比→单位1决定结果

2.错例诊所，防错预警

呈现课前收集的典型错例：

“实际造林比计划多15%”误认为“计划造林比实际少15%”。

师：为什么这种“想当然”是错的？谁来举个例子？

生23：假设计划100公顷，实际115公顷，实际比计划多15÷100＝15%；反过来，计划比实际少15÷115≈13%，不是15%。

师：所以单位1互换时，增加率和减少率并不相等，千万不能直接传递。【重要】

3.自我量规，目标达成

学生对照任务单“学习自检卡”逐项打星：

⭐我能用自己的话说出“增加了百分之几”是什么意思。

⭐⭐我能画出正确的线段图，并指出单位1。

⭐⭐⭐我能正确列式解答，并说清楚为什么这样列式。

⭐⭐⭐⭐我能挑战“先提价再降价”这类变式题。

教师课后收集任务单，针对三星以下学生安排课间微辅导。

六、板书设计（文字全景描述）

整块黑板分为三个功能区域。

左区为“图示生成区”：呈现最终完善的两条线段，上方线段标“水：45ml”，下方线段标“冰：50ml”，多出部分用红色虚线引出并标注“5ml（差量）”，箭头指向水的线段并标注“单位1”。

中区为“模型建构区”：顶部用大号黄色粉笔书写核心公式“增加/减少百分之几＝差量÷单位1的量×100%”。公式下方并排放置两个对比算式：(50-45)÷45≈11.1%，(50-45)÷50=10%，除号下的单位1量用圆圈标出。

右区为“思维延伸区”：粘贴学生典型错例纸条，旁边用绿色粉笔书写警示语“单位1是灵魂！”。下方预留空白用于课堂生成性板书记录。

七、作业设计

1.基础巩固作业（必做，15分钟）

教材第87页“练一练”第1、2、3题。

要求：每道题先用波浪线画出“比”字，圈出比字后面的量（单位1），再列式计算。书写格式模仿课堂板书。

2.生活实践作业（必做，10分钟+2分钟视频）

测量家中一件长方体家具（如茶几、书桌）的长与宽，计算“宽比长短百分之几”以及“长比宽长百分