第四章 三角形（8个易错点）【北师】七下数学专题复习

第四章三角形（8个易错点）易错点1三角形的角平分线、中线和高【指点迷津】熟悉掌握并区分三角形的角平分线、中线和高的性质1．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝cm．易错点2三角形的面积【指点迷津】巧用三角形的面积。3．如图，在△ABC中，若点D、E分别为边BC、AD的中点，且△ABC的面积等于16，则图中阴影部分的面积为（）A．12 B．8 C．6 D．44．如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（）A．4 B． C． D．易错点3三角形三边关系【指点迷津】三角形三边关系：三角形的第三边大于两边之差小于两边之和。5．已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（）A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4易错点4三角形内角和定理【指点迷津】三角形内角和180°6．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（）度．A．84 B．111 C．225 D．2017．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120° B．110° C．100° D．90°8．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2⋯∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（）A．° B．° C．° D．°9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，CE为AB边上的高，AF与CE交于点G．若∠AFC＝80°，求∠AGC的度数．11．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝，∠XBC+∠XCB＝．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．12．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．13．在△ABC中，（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．若∠A＝60°，求∠BPC的度数．若∠A＝n°，则∠BPC＝．（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．易错点5全等三角形的判定【指点迷津】熟记判定三角形全等的方法：SSS,SAS，AAS，ASA，HL。14．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC15．如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（）A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB16．如图，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝AE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AB＝AC B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD17．如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（）个不同的格点三角形与△ABC全等．A．8 B．9 C．10 D．1118．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS19．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．易错点6全等三角形的判定与性质【指点迷津】熟悉全等三角形的判定定理和性质20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④21．如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②22．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝．23．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝度．24．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为度，线段AD与BE的数量关系为（用几何语言填写）．（2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．26．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．易错点7全等三角形的应用【指点迷津】巧用全等三角形的判定和性质解决实际问题27．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA28．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是．易错点8作图—基本作图【指点迷津】掌握五种基本作图方法32．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB＝32°，则∠BOD的度数为（）A．32° B．54° C．64° D．68°33．下列尺规作图，能确定∠BAD＝∠CAD的是（）A． B． C． D．34．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．∠DAE＝∠B B．∠C＝∠EACC．∠DAE＝∠EAC D．AE∥BC35．如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（） A B C D

第四章三角形（8个易错点）易错点1三角形的角平分线、中线和高【指点迷津】熟悉掌握并区分三角形的角平分线、中线和高的性质1．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【答案】D【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．2．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝cm．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线，∴BD＝CD，∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC，∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，∴|BA﹣5|＝2，∴解得BA＝7或3．故答案为：3或7．易错点2三角形的面积【指点迷津】巧用三角形的面积。3．如图，在△ABC中，若点D、E分别为边BC、AD的中点，且△ABC的面积等于16，则图中阴影部分的面积为（）A．12 B．8 C．6 D．4【考点】三角形的面积．【答案】B【解答】解：∵点D为边BC中点，△ABC的面积＝16，∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ABC的面积＝8，∵点E为边AD的中点，∴△BED的面积＝△ABD的面积＝4，△ECD的面积＝△ACD的面积＝4，∴图中阴影部分的面积＝△BED的面积+△ECD的面积＝8，故选：B．4．如图，△ABC，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，若△A1B1C1的面积是13，那么△ABC的面积是（）A．4 B． C． D．【考点】三角形的面积【答案】A【解答】解：连接AB1，A1C，BC1，设△ABC的面积为2a，∵A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，∴△A1BC的面积＝△ABC的面积＝a，△AB1C的面积＝△ABC的面积＝a，△ABC1的面积＝△ABC的面积＝a，∴△A1CB1的面积＝△A1BC的面积＝0.5a，△AB1C1的面积＝△AB1C的面积＝0.5a，△A1BC1的面积＝△ABC1的面积＝0.5a，∵△A1B1C1的面积是13，∴△ABC的面积+△A1BC的面积+△AB1C的面积+△ABC1的面积+△A1C1B的面积+△A1B1C的面积+△AB1C1的面积＝13，∴2a+a+a+a+0.5a+0.5a+0.5a＝13，∴6.5a＝13，∴a＝2，∴△ABC的面积＝2a＝4，故选：A．易错点3三角形三边关系【指点迷津】三角形三边关系：三角形的第三边大于两边之差小于两边之和。5．已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（）A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4【考点】三角形三边关系；绝对值．【答案】C【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4．故选：C．易错点4三角形内角和定理【指点迷津】三角形内角和180°6．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（）度．A．84 B．111 C．225 D．201【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【答案】D【解答】解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°故选：D．7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120° B．110° C．100° D．90°【考点】三角形内角和定理．【答案】A【解答】解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°．故选：A．8．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2⋯∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（）A．° B．° C．° D．°【考点】三角形内角和定理．【答案】D【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故选：D．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝26°，则∠BDE＝．【考点】三角形内角和定理．【答案】38°．【解答】解：∵将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，∴∠CED＝∠A，∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝180°﹣90°﹣26°＝64°，∴∠CED＝64°，∴∠BDE＝64°﹣26°＝38°．故答案为：38°．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，CE为AB边上的高，AF与CE交于点G．若∠AFC＝80°，求∠AGC的度数．【考点】三角形内角和定理．【答案】120°．【解答】解：∵CE是AB边上的高，∴∠BEC＝90°，在△ABC中，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°﹣∠ABC﹣∠BEC＝40°，∵∠AFC＝80°，∴∠CGF＝180°﹣∠AFC﹣∠BCE＝60°，∴∠AGC＝180°﹣∠CGF＝120°．11．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝，∠XBC+∠XCB＝．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．【考点】三角形内角和定理．【答案】（1）150°；90°．（2）不变化，∠ABX+∠ACX＝60°．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，故答案为：150°；90°．（2）不变化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）＝150°﹣90°＝60°．12．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．【考点】三角形内角和定理．【答案】【探究】①25；②不变，理由见解答过程；【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由见解答过程．【解答】解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；②不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．13．在△ABC中，（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．若∠A＝60°，求∠BPC的度数．若∠A＝n°，则∠BPC＝．（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【考点】三角形内角和定理．【答案】（1）120°，90°+n°．（2）∠BQC＝90°﹣n°．（3）∠BPC+∠BQC＝180°（4）60°，90°，120°．【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°．故答案为：90°+n°．（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°．∵△ABC的外角平分线相交于点Q．∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+n°）＝90°+n°．∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，由（2）知：∠BQC＝90°﹣n°，∴∠BPC+∠BQC＝180°．（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，∴∠EBQ＝90°．当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠BQC＝2∠E时，∵∠BQC+∠E＝90°．∴∠BQC＝60°．∴90°﹣n°＝60°．∴n＝60．∴∠A＝60°．当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，∴∠E＝45°．∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠E＝2∠BQC时，∵∠E+∠BQC＝90°．∴∠BQC＝30°．∴90°﹣n°＝30°．∴n＝120．∴∠A＝120°．综上：∠A＝90°，60°，120°易错点5全等三角形的判定【指点迷津】熟记判定三角形全等的方法：SSS,SAS，AAS，ASA，HL。14．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC【考点】全等三角形的判定．【答案】B【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；故选：B．15．如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（）A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB【考点】全等三角形的判定．【答案】A【解答】解：A、若添加BC＝DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意；B、若添加AC＝AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；C、若添加∠ACB＝∠AED＝90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；D、若添加∠BCD＝∠DEB，则可证明∠ACB＝∠AED，可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意；故选：A．16．如图，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且AD＝AE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AB＝AC B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD【考点】全等三角形的判定．【答案】D【解答】解：A、∵AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故A不符合题意；B、∵AD＝AE，BD＝CE，∴AD+BD＝AE+CE，∴AB＝AC，∵∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），故B不符合题意；C、∵∠B＝∠C，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（AAS），故C不符合题意；D、∵BE＝CD，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ABE和△ACD不一定全等，故D符合题意；故选：D．17．如图所示，在5×4的长方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，以点C为顶点的三角形最多能再画出（）个不同的格点三角形与△ABC全等．A．8 B．9 C．10 D．11【考点】全等三角形的判定．【答案】B【解答】解：如图，共有9种情况：故选：B．18．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【考点】全等三角形的判定．【答案】B【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，在△OMD与△CEN中，∴△OMD≌△CEN（SSS）；∴∠O＝∠NCB，∴CN∥OA．故选：B．19．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【考点】全等三角形的判定．【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ；理由见解答过程；（2）x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s．【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ．理由如下：∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s，∴AP＝BQ＝1，∵AB＝4cm，∴PB＝3cm，∴AC＝PB＝3cm，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠CAP＝∠PBQ＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ，∵∠CAP＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∴∠BPQ+∠APC＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，∴PC⊥PQ．（2）∵点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，∴BQ＝xtcm，∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，又∵∠CAB＝∠DBA＝60°，当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，∵AC＝3cm，由AC＝BP，得：3＝4﹣t，解得：t＝1，由AP＝BQ，得：t＝xt，解得：x＝1，∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等；②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如下图所示：由AP＝BP，得：t＝4﹣t，解得：t＝2，由AC＝BQ，得：xt＝3，将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5．∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．综上所述：当x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等易错点6全等三角形的判定与性质【指点迷津】熟悉全等三角形的判定定理和性质20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】B【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故选：B．21．如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵∠EBC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠ACB，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，故①正确；∵BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正确；∵＝＝，∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，故③正确；∵△BDF≌△ADC，∴BF＝AC∵BF＝2EC，∴AC＝2EC，∴E为AC的中点，∵BE⊥AC，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，故④正确，所以，正确结论的序号是：①③④，故选：A．22．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝．【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】3.5．【解答】解：延长AE交BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABF，∵BE⊥AF，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，AB＝BF＝5，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，∵∠BEF＝90°，∴∠EBF+∠AFB＝90°，∴∠ABC+∠AFB＝90°，∵∠ABC+4∠C＝180°，∴∠BAC+2∠C＝90°，∴∠AFB＝2∠C，∵∠AFB是△AFC的一个外角，∴∠AFB＝∠C+∠CAF，∴∠C＝∠CAF，∴AF＝CF＝7，∴AE＝EF＝AF＝3.5，故答案为：3.5．23．如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝度．【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，∴∠1＝∠4，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝115°，∴∠ADB＝115°，又∠ADB+∠3＝180°，∴∠3＝65°，故答案为65．24．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为90度，线段AD与BE的数量关系为AD＝BE（用几何语言填写）．（2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系．【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】（1）90；AD＝BE；（2）AB⊥BE，理由见解答．【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°，故答案为：90；AD＝BE；（2）AB⊥BE，理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE＝30°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．【考点】全等三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴当AE＝DC，时，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案为：3；（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．26．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．