第五章 生活中的轴对称（压轴题专练）【北师】七下数学专题复习

第五章生活中的轴对称（压轴题专练）一．选择题（共18小题）1．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．63．四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°4．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．216．将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将图形沿着BD折叠，点C落在AC上的点F处，再将图形沿FE折叠，点A正好落在AB的点G处，此时GB＝GF，则∠BAC的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°8．如图，把一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的有（）①△ABC≌△AB′C；②AE＝CE；③△ADE≌△CB′E；④∠B′CE＝∠EAB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）A． B． C． D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（）A．5 B．6 C．12 D．2411．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（）A．10 B．8 C．6 D．512．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13 B．15 C．16 D．1714．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则∠CFG的度数是（）A．60° B．55° C．50° D．45°15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④16．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α17．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：518．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）19．如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列结论中正确的个数有_______个．①∠PAO＝∠QAO； ②∠AOB＝∠ACB；③2∠COB＝180°+∠CAB； ④∠PAQ+2∠COB＝180°．20．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接_______根．21．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为_________．22．如图所示，图中所有的三角形都是等边三角形．若其中最小的等边三角形的边长为1cm，则图中涂有阴影的等边三角形的边长为_______cm，周长为_________cm23．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N、P、Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为_______．三．解答题（共7小题）24．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．（2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．25．如图，已知∠AOB＝n，P，Q两点分别是OA、OB上的两动点，QD，PE分别平分∠PQO和∠APQ，射线PE的反向延长线与射线QD相交于点D．（1）如图1，若n＝60°，求∠EDQ的度数；（2）如图2，作∠PQB的角平分线QE交射线PE于点E，求∠PEQ的度数；（3）如图3，M、N为线段PE和EQ上的两定点，若将△MNE沿MN翻折，点E对应点E'在△PEQ的内部，且满足∠E'PQ＝∠EPQ，∠E'QP＝∠EQP，请求出∠PE'Q与∠1，∠2的关系．26．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．27．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．28．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：____________．（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．29．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

第五章生活中的轴对称（压轴题专练）一．选择题（共18小题）1．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：作点F关于BD的对称点G，连接CG，交BD于E，作CH⊥AB于H，∴CE+CF＝CG，∵BD平分∠ABC，∴点G在AB上，∴CG≥CH，∴CE+EF的最小值为CH的长，∵，∴，∴CH＝6，∴CE+EF的最小值为：6，故选B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【解答】解：如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM．∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠DCN+∠DCM＝180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，∵CD⊥AB，∴AB•CD＝BC•AC，∴CD＝＝2.4∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．3．四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58° B．64° C．61° D．74°【答案】B【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故选：B．4．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故选：C．5．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值为19，故选：B．6．将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°【答案】C【解答】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠性质可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝8°，∴∠DAF＝8°+β，∠BAE＝8°+α，∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°，∴8°+β+β+8°+8°+α+α＝90°，∴α+β＝33°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′＝8°+α+β＝8°+33°＝41°．则∠EAF的度数为41°．故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将图形沿着BD折叠，点C落在AC上的点F处，再将图形沿FE折叠，点A正好落在AB的点G处，此时GB＝GF，则∠BAC的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【答案】C【解答】解：设∠A＝α，由折叠可知：∠AGF＝∠A＝α，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，又由折叠可知：∠BFC＝∠C＝90°﹣α，∴∠CBF＝180°﹣∠C﹣∠BFC＝180°﹣2（90°﹣α）＝α，∴∠GBF＝∠ABC﹣∠FBC＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α，∵GB＝GF，∴∠GFB＝∠GBF＝90°﹣α，∵∠AGF＝∠GFB+∠GBF，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得α＝45，则∠BAC的度数为45°．故选：C．8．如图，把一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的有（）①△ABC≌△AB′C；②AE＝CE；③△ADE≌△CB′E；④∠B′CE＝∠EAB．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴△ABC≌△AB′C，故①正确；∴∠BAC＝∠CAB′，AD＝BC＝B'C，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CAB′，∴∠ECA＝∠EAC，∴AE＝CE，故②正确；∵AE＝CE，AD＝BC＝B'C，在Rt△ADE和Rt△CB'E中，，∴Rt△ADE≌Rt△CB'E（HL），故③正确；∴∠DEA＝∠B′CE，∵∠DEA≠∠EAB，∴∠B′CE≠∠EAB，故④错误．∴结论正确的有①②③，共3个，故选：C．9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）n×70°．故选：A．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC的中点．若BC＝5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为（）A．5 B．6 C．12 D．24【答案】C【解答】解：连接AP，AH，如图所示：∵AB＝AC，点H为BC中点，∴AH⊥BC，∴△ABC的面积是30，∴BC•AH＝30，∵BC＝5，∴AH＝12，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AP＝BP，∴PB+PH＝PA+PH≥AH，∴AH的长为PB+PH的最小值，∴PB+PH的最小值为12．故选：C．11．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是（）A．10 B．8 C．6 D．5【答案】D【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，∴PA＝PE＝PD，∵AD＝10，∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，故选：D．12．如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：如图：共3个，故选：C．13．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13 B．15 C．16 D．17【答案】A【解答】解：如图，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，∴MP＝GP，∵GN⊥AB，∴MP+NP＝GP+NP，由垂线段最短可知，MP+NP的最小值为NG，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵GN⊥AB，∴∠BNC＝90°，∴∠G＝30°，∵BN＝9，∴BG＝2BN＝18，∴MG＝BG﹣BM＝10，∴MC＝MG＝5，∴BC＝BM+MC＝13＝AC．故选：A．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则∠CFG的度数是（）A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠EAC＝25°，∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，AE是△ABC边上BC上的中垂线，又∵DE是AB边上的中垂线，∴点E是△ABC的外心，∴AE＝CE，∴∠ECA＝∠EAC＝25°，∴∠FCH＝∠ACB﹣∠ECA＝65°﹣25°＝40°，由折叠得，FG是EC的中垂线，设EC与FG的交点为点H，则FH⊥HC，∴∠FHC＝90°，∴∠GFC＝180°﹣∠FCH﹣∠FHC＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故选：C．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④【答案】C【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，故①符合题意；连接BD，CD，∵E是AB的中点，ED⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∵F是AC的中点，DF⊥AC，∴DF是AC的垂直平分线，∴AD＝BD＝CD，BH＝AH，AG＝CG，∴∠DBA＝∠DAB，∠HBA＝∠HAB，∠DAC＝∠DCA，∠GAC＝∠GCA，∴∠DBH＝∠DAH，∠DAG＝∠DCG，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠DAH＝∠DAG，∴AD平分∠HAG，故②符合题意；∵BH＝HA，∴∠HBA＝∠HAB，∵∠GAC＝∠GCA，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，∵AD平分∠HAG，∴∠HAD＝∠DAG＝30°，∴∠DAF＝30°+60°﹣∠B＝90°﹣∠B，∵∠DFA＝90°，∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝∠B，故③符合题意；∵ED⊥AB，DF⊥BC，∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，∠B≠∠C，∠DHG≠∠DGH，∴DH≠DG，∵∠HDG＝60°，∴△DHG不是等边三角形，∴GD≠GH，故④不符合题意；故选：C．16．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（）A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α【答案】B【解答】解：作点C关于OM的对称点C′，过点C′作射线OP，则∠MOP＝α，连接C′B，C′D，则C′B＝CB，C′D＝CD，作点D关于OP的对称点D′，过点D′作射线OQ，则∠POQ＝α，连接C′D′，则C′D′＝C′D＝CD，∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，要使AB+BC+CD最小，需点A，B，C′，D′在一条直线上，且AD′⊥OQ，∵α＜30°，∴∠NOQ＝3α＜90°，∴可以过点A作AD′⊥OQ，此时∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，∴当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，故选：B．17．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】D【解答】解：过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分线，∴EO＝FO，∵CO是∠ACB平分线，∴EO＝DO，∴EO＝DO＝FO，∵S△ABO＝AB•EO，S△BCO＝CB•FO，S△CAO＝AC•DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．故选：D．18．如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PD，∵PM⊥BE，PD⊥AC，∴AP平分∠EAC，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵BP平分∠ABC，CP平分∠FCA，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCF，∠PCF＝∠ABC+∠BPC，∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴S△APD＝S△MAP，S△CPD＝S△NCP，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确，故选：D．二．填空题（共5小题）19．如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列结论中正确的个数有__3__个．①∠PAO＝∠QAO；②∠AOB＝∠ACB；③2∠COB＝180°+∠CAB；④∠PAQ+2∠COB＝180°．【答案】3．【解答】解：∵OM⊥AP，ON⊥AQ，OM＝ON，∴AO平分∠PAQ，∴∠PAO＝∠QAO＝∠PAQ，故①正确；∵BO平分∠CBQ，∴∠OBQ＝∠CBQ，∵∠CBQ＝∠PAQ+∠ACB，∠OBQ＝∠QOA+∠AOB，∴∠AOB＝∠ACB，故②正确；过O作OE⊥BC于E，∴∠OMC＝∠OEC＝90°，OM＝OE，在Rt△COM和Rt△COE中，∴Rt△COM≌Rt△COE（HL），∴∠COM＝∠COE，即∠COE＝∠MOE，同理：∠BOE＝∠EON，∴∠COB＝∠MON，即∠MON＝2∠COB，∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO＝360°，∠AMO＝∠ANO＝90°，∴∠CAB+∠MON＝180°，即2∠COB+∠CAB＝180°，故③错误；∴∠PAQ+2∠COB＝180°，故④正确．即正确的个数有3个，故答案为：3．20．如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接__17__根．【答案】17．【解答】解：∵添加的钢管长度都与CD相等，∠MAN＝5°，∴∠DCE＝∠DEC＝10°，…，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是5°，第二个是10°，第三个是15°，第四个是20°，第五个是25°，第六个是30°，第七个是35°，第八个是40°，…，第十八个是90°就不存在了．所以一共有17个．故答案为：17．21．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为__96__．【答案】96．【解答】解：∵∠MON＝30°，∠A1A2B1＝60°，∴∠OB1A2＝90°，∴A2B1＝A1A2＝OA2＝（OA1+A1A2），∴A1A2＝OA1＝1．∴A1为OA2的中点．同理可证，A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯∴A2A3＝2，A3A4＝4，A4A5＝8，⋯∴A6A7＝32，∴△A6A7B6的周长为3A6A7＝3×32＝96．故答案为：96．22．如图所示，图中所有的三角形都是等边三角形．若其中最小的等边三角形的边长为1cm，则图中涂有阴影的等边三角形的边长为__4__cm，周长为__12__cm.【答案】4，12，．【解答】解：如图所示：设△EFG与△EAD、△EDG的边长为acm，则△BND的边长为（a﹣1）cm，△GNH与△NIH的边长为（a﹣1）+a＝（2a﹣1）cm，△BKI的边长为（a﹣1）+（2a﹣1）＝（3a﹣2）cm，△CLK与△CLM的边长为（3a﹣2）﹣1＝（3a﹣3）cm，△AMF的边长为＝（3a﹣3）﹣1＝（3a﹣4）cm，根据题意得：AF＝AE+EF＝2EF＝2a，即2a＝3a﹣4，解得：a＝4，即阴影等边三角形的边长为4cm，∴周长为4×3＝12cm，23．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N、P、Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为__8__．【答案】8．【解答】解：如图，分别作点Q关于AB，AC的对称点G、H，连接GH分别交AB、AC于点N、P，连接AG、AH、GQ、HQ、AQ，由对称性可知，NG＝NQ，PH＝PQ，AQ＝AG＝AH，∴△NPQ的周长＝PN+NQ+PQ＝PN+NG+PH＝GH，∵∠GAN＝∠QAN，∠HAP＝∠QAP，∠BAC＝30°，∴∠GAH＝2∠BAC＝60°，∴△AGH是等边三角形，∴GH＝QA，当AQ⊥BC时，AQ最短，即GH最短，此时△NPQ的周长最小，∵BC＝6，S△ABC＝24，∴AQ＝8，即△NPQ的周长的最小值为8，故答案为：8．三．解答题（共7小题）24．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．（2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．【答案】（1）证明见解答；（2）∠B的度数为60°或15°或37.5°．【解答】（1）证明：如图2中，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线；（2）解：∵线段AD即为所求分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角形，①如图3，AD＝CD＝BD，∴∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝30°+30°＝60°，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝60°；②如图4，AD＝BD＝AC，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，∴∠B＝15°；③如图5，AD＝BD，AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°，∠B＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝37.5°，综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．25．如图，已知∠AOB＝n，P，Q两点分别是OA、OB上的两动点，QD，PE分别平分∠PQO和∠APQ，射线PE的反向延长线与射线QD相交于点D．（1）如图1，若n＝60°，求∠EDQ的度数；（2）如图2，作∠PQB的角平分线QE交射线PE于点E，求∠PEQ的度数；（3）如图3，M、N为线段PE和EQ上的两定点，若将△MNE沿MN翻折，点E对应点E'在△PEQ的内部，且满足∠E'PQ＝∠EPQ，∠E'QP＝∠EQP，请求出∠PE'Q与∠1，∠2的关系．【答案】（1）当n＝60°时，∠EDQ＝30°；（2）∠PEQ＝90°﹣n；（3）6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．【解答】解：（1）设∠APE＝x，∠PQD＝y，∵PE、DQ分别平分∠APQ、∠PQD，∴∠APE＝∠EPQ＝x，∠PQD＝∠OQD＝y，∵∠APQ是△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠PQO，∵∠AOB＝n，即2y＝n+2x，∴y﹣x＝n，又∵∠APE是△PQD的外角，∴∠APE＝∠PQD+∠EDQ，即y﹣x＝∠EDQ，∴∠EDQ＝n，当n＝60°时，∠EDQ＝30°；（2）∵∠APQ、∠PQB均为△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠POQ，∠PQB＝∠AOB+∠QPO，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+∠POQ+∠AOB+∠QPO，∵∠POQ+∠AOB+∠QPO＝180°，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，∵PE平分∠APQ，∠PQB的角平分线QE，∴∠EPQ＝∠APQ，∠EQP＝∠PQB，∵∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP，∴∠PEQ＝180°﹣∠APQ﹣∠PQB＝180°﹣（180°+n）吗，即∠PEQ＝90°﹣n；（3）设∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，∵∠E'PQ＝∠EPQ，∠E'QP＝∠EQP，∴3α＝∠EPQ，3β＝∠EQP，∵∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，∴∠PE′Q＝180°﹣α﹣β，∴α+β＝180°﹣∠PE′Q，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β）．∴∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°，由折叠可得∠EME′＝2∠EMN，∠ENE′＝2∠ENM，∵∠1＝180°﹣∠EME′，∠2＝180°﹣∠ENE′，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠PEQ，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠PEQ）＝2∠PEQ，∴∠PEQ＝（∠1+∠2），∴3∠PE′Q﹣360°＝（∠1+∠2），∴6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．26．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）EC＝BD，理由为：∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，AD＝AC，∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴EC＝BD；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE＝∠ADB，∵∠EOD为△COD的外角，∴∠EOD＝∠ODC+∠OCD＝∠ODC+∠ACD+∠ACE＝∠ODC+∠ADB+∠ACD＝∠ADC+∠ACD＝120°，即∠DOC＝60°，则BD和CE的夹角大小为60°．27．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD与△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∴∠MDN＝∠NDE＝60°，在△DMN与△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN＝EN，又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，∴MN＝BM+NC；（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN，△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM＝（AM+BM）+（NC+AN）＝AB+AC＝2+2＝4．28．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：__∠BAC＝2∠EDC__．（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．（3）在（2）