第一章 整式的乘除（压轴题专练）【北师】七下数学专题复习

第一章整式的乘除（压轴题专练）一．选择题（共22小题）1．如图，先将图1中边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF，然后沿直线EF将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC．根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是（）（用含a，b式子表示）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）b＝ab+b22．观察（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，x2023的结果是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣23．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（）A．22 B．﹣22 C．±22 D．04．计算20232﹣2024×2022的结果为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．下列能用平方差公式进行计算的式子，有（）个．①（a+2b）（a﹣2b）； ②（x2﹣1）（1+x2）；③（﹣3s+2t）（3s+2t）； ④（2a+1）（﹣2a﹣1）．A．1 B．2 C．3 D．46．如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（）A．4a﹣8b B．2a﹣3b C．2a﹣4b D．4a﹣10b7．如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝4ab+（a﹣b）28．已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则a2+b2的值为（）A．30 B．24 C．25 D．139．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣ C．0 D．310．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．（a+b）211．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.512．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（）A．128 B．64 C．32 D．1613．如图1是宽为a，长为b（a＜b）的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a，b满足的数量关系（）A．b＝2a B．b＝3a C．b＝4a D．b＝5a14．如果（5﹣a）（6+a）＝12，那么﹣2a2﹣2a+8的值为（）A．﹣28 B．26 C．28 D．4415．设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c．其中正确推断的序号是（）A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④16．如图，四边形ABCD和BFGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（）A．18 B．20 C．22 D．2417．已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（）A．3 B．6 C．8 D．1118．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣119．若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（）A．0.25 B．0.5 C．1 D．﹣0.2520．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（）A．30ab B．60ab C．15a D．12ab21．在矩形ABCD内将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值为（）A．4a B．4b C．4a﹣4b D．5b22．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：⋅⋅⋅根据以上规律，则210+29+28+...+23+22+2+1的结果可以表示为（）A．211 B．211﹣1 C．210 D．210﹣1二．填空题（共10小题）23．若a+b＝10，ab＝20，则a2+b2＝．24．已知实数a，b满足a2+b2＝3+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值为．25．计算：＝．26．如图是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间一个等量关系式：．27．已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，那么a，b，c，d从小到大的顺序是．28．已知在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝5，现将两个边长分别为a和b的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2；若S2﹣S1＝3时，则b﹣1值为．29．观察下列各式及其展开式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，……请你猜想（a+b）8的展开式第三项的系数是．30．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为．31．已知：x+＝3，则x2+＝．32．现有3张正方形甲卡片、10张正方形乙卡片、6张长方形丙卡片，其边长（b＞a）如图所示．（1）要求用这三种卡片（每种卡片至少取一张）紧密拼接成一个大正方形，①若大正方形的边长为（a+b），则需取丙卡片张；②大正方形的边长最长为（用含a，b的代数式表示）；（2）若用这三种卡片紧密拼接成一个面积为a2+nab+6b2的长方形，则满足条件的整数n的值为．三．解答题（共10小题）33．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：．34．将两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a﹣b＝3，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．35．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．36．如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．（1）利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出（a+b）2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是；（2）若m满足（2024﹣m）2+（m﹣2023）2＝4047，请利用（1）中的数量关系，求（2024﹣m）（m﹣2023）的值；（3）若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．37．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：①长方形ABCD的面积；②S1﹣S2的值；（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．38．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝．（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．39．阅读材料，回答问题．材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25．材料二：求31+32+33+34+35+36的值．解：设S＝31+32+33+34+35+36①则3S＝32+33+34+35+36+37②用②﹣①得，3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3所以2S＝37﹣3，即，所以．这种方法我们称为“错位相减法”．（1）填空：5×58＝5（），a2•a5＝a（）．（2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒米．（用幂表示）②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．40．探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．41．阅读理解：若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值．解：设210﹣x＝a，x﹣200＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝210﹣x+x﹣200＝10．因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508．即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：若x满足（2024﹣x）2+（2022﹣x）2＝4038，试求（2024﹣x）（2022﹣x）的值．42．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．（1）如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；（2）我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足（2﹣x）（x﹣5）＝1，可设2﹣x＝a，x﹣5＝b，则ab＝1，a+b＝﹣3．则a2+b2＝；（3）若x满足（x﹣10）（5﹣x）＝3，则（x﹣10）2+（5﹣x）2的值为；（4）小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为（3a+b）（a+b）的大长方形，则x+y+z＝；（5）如图3，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．

第一章整式的乘除（压轴题专练）一．选择题（共22小题）1．如图，先将图1中边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF，然后沿直线EF将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC．根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是（）（用含a，b式子表示）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）b＝ab+b2【答案】A【解答】解：图1中的阴影部分面积为a2﹣b2，图2中的阴影部分面积为（a﹣b）（a+b），依题意，根据图1和图2的面积关系可以写出的等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．2．观察（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，x2023的结果是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣2【答案】C【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，……，∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1，∴（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x＝1时，x2023＝12023＝1；当x＝﹣1时，x2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故选：C．3．x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（）A．22 B．﹣22 C．±22 D．0【答案】C【解答】解：∵（x±11）2＝x2±22x+121，∴在x2+ax+121中，a＝±22．故选：C．4．计算20232﹣2024×2022的结果为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：20232﹣2024×2022＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）＝20232﹣20232+1＝1；故选：A．5．下列能用平方差公式进行计算的式子，有（）个．①（a+2b）（a﹣2b）；②（x2﹣1）（1+x2）；③（﹣3s+2t）（3s+2t）；④（2a+1）（﹣2a﹣1）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，则能用平方差公式进行计算；②（x2﹣1）（1+x2）＝（x2）2﹣12，则能用平方差公式进行计算；③（﹣3s+2t）（3s+2t）＝（2t）2﹣（3s）2，则能用平方差公式进行计算；④（2a+1）（﹣2a﹣1）＝﹣（2a+1）（2a+1）＝﹣（2a+1）2，则不能用平方差公式进行计算，则能用平方差公式进行计算有3个，故选：C．6．如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（）A．4a﹣8b B．2a﹣3b C．2a﹣4b D．4a﹣10b【答案】A【解答】解：根据题意得：新矩形的长为a﹣b，宽为a﹣3b，则新矩形周长为2（a﹣b+a﹣3b）＝2（2a﹣4b）＝4a﹣8b，故选：A．7．如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2【答案】B【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a﹣b）2，图2中阴影部分的面积a2﹣2ab+b2，根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．故选：B．8．已知一个长方形的长为a，宽为b，它的面积为6，周长为12，则a2+b2的值为（）A．30 B．24 C．25 D．13【答案】B【解答】解：根据题意得：ab＝6，a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝24．故选：B．9．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣ C．0 D．3【答案】A【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x，∵结果中不含有x2项，∴﹣2a﹣6＝0，∴a＝﹣3．故选：A．10．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．（a+b）2【答案】A【解答】解：图中阴影部分的面积为＝＝，故选：A．11．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】B【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b，由图甲可得，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝．由图乙可得，（a+b）2﹣a2﹣b2＝a2+b2+2ab﹣a2﹣b2＝2ab＝，∴a2+b2＝2ab+＝＝4.5．故选：B．12．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2x+y的值等于（）A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【解答】解：由题意，得5﹣2y+2x+2y＝29+2y﹣2x＝29+2x﹣2x﹣2y，即5+2x＝29+2y﹣2x＝29﹣2y，∴解得∴2x+y＝2x×2y＝16×8＝128，故选：A．13．如图1是宽为a，长为b（a＜b）的小长方形纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a，b满足的数量关系（）A．b＝2a B．b＝3a C．b＝4a D．b＝5a【答案】D【解答】解：由题意知，面积为S1的长方形一边为b，设另一边为m；面积为S2的长方形一边为5a，设另一边为n，则S＝S1﹣S2＝bm﹣5an，由图知：m+3a＝b+n，即m＝b+n﹣3a，∴S＝b（b+n﹣3a）﹣5an＝b2+bn﹣3ab﹣5an＝b2﹣3ab+（b﹣5a）n，∵S为定值，∴b﹣5a＝0，即b＝5a．故选：D．14．如果（5﹣a）（6+a）＝12，那么﹣2a2﹣2a+8的值为（）A．﹣28 B．26 C．28 D．44【答案】A【解答】解：由（5﹣a）（6+a）＝12，得﹣a2﹣a+30＝12，即﹣a2﹣a＝﹣18，则﹣2a2﹣2a＝﹣36，所以﹣2a2﹣2a+8＝﹣28．故选：A．15．设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c．其中正确推断的序号是（）A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：①a*b＝（a﹣b）2，b*a＝（b﹣a）2＝（a﹣b）2，故①正确；②（a*b）2＝[（a﹣b）2]2＝（a﹣b）4，a2*b2＝（a2﹣b2）2＝（a+b）2（a﹣b）2，故②错误；③（﹣a）*b＝（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，a*（﹣b）＝（a+b）2，故③正确；④a*（b+c）＝（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，a*b+a*c＝（a﹣b）2+（a﹣c）2＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2＝2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac，故④错误；即正确的为①③，故选：A．16．如图，四边形ABCD和BFGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形BEGF的边长为b，依题意得：AE＝a﹣b，a2﹣b2＝36，∴S阴影＝S△AE+S△AEFC＝AE•BC+AE•BF＝AE•（BC+BF），即：S阴影＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×36＝18．故选：A．17．已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（）A．3 B．6 C．8 D．11【答案】B【解答】解：∵b＝2a﹣3，4a2﹣3ab+b2＝11，∴4a2﹣3a（2a﹣3）+（2a﹣3）2，＝11，整理得2a2﹣3a﹣2＝0，∴（2a+1）（a﹣2）＝0，∴2a+1＝0或a﹣2＝0，∴a＝2或﹣，当a＝2时，b＝1，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，当a＝﹣时，b＝﹣4，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，∴2a2b﹣ab2＝6．故选：B．18．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1【答案】D【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（28﹣1）（28+1）•••（264+1）＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1，故选：D．19．若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（）A．0.25 B．0.5 C．1 D．﹣0.25【答案】B【解答】解：∵（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，∴2023x﹣x2﹣2022×2023+2022x＝0.25．∴﹣x2+4045x﹣2022×2023＝0.25．∴﹣x2+4045x＝2022×2023+0.25．∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝x2+20222﹣4044x+20232+x2﹣4046x＝2x2﹣8090x+20222+20232＝﹣2（﹣x2+4045x）+20222+20232＝﹣2×2022×2023﹣0.5+20222+20232＝（2022﹣2023）2﹣0.5＝1﹣0.5＝0.5．故选：B．20．设（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，则A＝（）A．30ab B．60ab C．15a D．12ab【答案】B【解答】解：∵（5a+3b）2＝（5a﹣3b）2+A，∴A＝（5a+3b）2﹣（5a﹣3b）2＝25a2+30ab+9b2﹣（25a2﹣30ab+9b2）＝25a2+30ab+9b2﹣25a2+30ab﹣9b2＝60ab．故选：B．21．在矩形ABCD内将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB＝4时，S2﹣S1的值为（）A．4a B．4b C．4a﹣4b D．5b【答案】B【解答】解：由图可得，S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），S2＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a），S2﹣S1＝[AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]＝AD•AB﹣a2﹣b（AB﹣a）﹣AD•AB+a2+b（AD﹣a）＝﹣b•AB+ab+b•AD﹣ab＝b（AD﹣AB），∵AD﹣AB＝4，∴b（AD﹣AB）＝4b，即S2﹣S1＝4b，故选：B．22．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：⋅⋅⋅根据以上规律，则210+29+28+...+23+22+2+1的结果可以表示为（）A．211 B．211﹣1 C．210 D．210﹣1【答案】B【解答】解：原式＝（2﹣1）（210+29+28+...+23+22+2+1）＝211﹣1．故选：B．二．填空题（共10小题）23．若a+b＝10，ab＝20，则a2+b2＝60．【答案】60．【解答】解：∵a2+b2＝a2+2ab+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab，又∵a+b＝10，ab＝20，∴原式＝102﹣2×20＝100﹣40＝60，故答案为：60．24．已知实数a，b满足a2+b2＝3+ab，则（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值为22．【答案】22．【解答】解：∵a2+b2＝3+ab，∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）＝4a2+9b2﹣12ab+a2﹣4b2＝5a2+5b2﹣12ab＝5（a2+b2）﹣12ab＝15+5ab﹣12ab，＝15﹣7ab，∵a2+b2＝3+ab，∴（a+b）2＝3+3ab，∴ab＝（a+b）2﹣1，∴ab的最小值为﹣1，∴﹣7ab的最大值为7，∴（2a﹣3b）2+（a+2b）（a﹣2b）的最大值为22．故答案为：22．25．计算：＝．【答案】．【解答】解：原式＝（1﹣）×××…×＝×…×＝＝．故答案为：．26．如图是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间一个等量关系式：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．【答案】（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．【解答】解：如图所示，大正方形的面积＝空白正方形的面积+4个长方形的面积，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．27．已知a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，那么a，b，c，d从小到大的顺序是a＜d＜b＜c．【答案】见试题解答内容【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11＝3611，∵32＜36＜81＜125，∴a＜d＜b＜c，故答案为：a＜d＜b＜c．28．已知在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝5，现将两个边长分别为a和b的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2；若S2﹣S1＝3时，则b﹣1值为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：如图所示：由题意可知：DE＝a，CN＝b，AE＝AD﹣DE＝5﹣a，GF＝AB﹣EG＝6﹣a，NF＝DE﹣CN＝a﹣b，BM＝AB﹣AM＝6﹣b，BQ＝BC﹣QC＝AD﹣QC＝5﹣a，SC＝CD﹣DS＝AB﹣DS＝6﹣a，QC＝a，∴S1＝S四边形AEFB+S四边形GHNF＝AB•AE+GF•NF＝6（5﹣a）+（6﹣a）（a﹣b）＝30﹣6a+6a﹣6b﹣a2+ab＝30﹣6b﹣a2+ab，S2＝S四边形MOQB+S四边形＝BM•BQ+SC•QC＝（6﹣b）（5﹣a）+a（6﹣a）＝30﹣6a﹣5b+ab+6a﹣a2＝30﹣5b+ab﹣a2，∵S1﹣S2＝3∴（30﹣6b﹣a2+ab）﹣（30﹣5b+ab﹣c2）＝3，30﹣6b﹣a2+ab﹣30+5b﹣ab+c2＝3，5b﹣6b＝3，﹣b＝3，b＝﹣3，∴b﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．29．观察下列各式及其展开式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，……请你猜想（a+b）8的展开式第三项的系数是28．【答案】28．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……∴依据规律可得到：（a+b）2第三项的系数为1，（a+b）3第三项的系数为3＝1+2，（a+b）4第三项的系数为6＝1+2+3，…（a+b）8第三项的系数为：1+2+3+…+6+7＝28．故答案为：28．30．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为24．【答案】24．【解答】解：设FK＝a，FL＝b，由题意得：四边形BHKE、四边形KFLI、四边形DGLJ都为长方形，∴EK＝BH＝LJ＝GD＝4﹣a，KH＝EB＝GL＝DJ＝4﹣b，∴S1＝2（4﹣a）（4﹣b）+ab＝（32﹣8a﹣8b+3ab），S2＝（4+4﹣b）（4+4﹣a）＝（64﹣8a﹣8b+ab），∵3S2﹣S1＝96，∴3（64﹣8a﹣8b+ab）﹣（32﹣8a﹣8b+3ab）＝96，整理得：a+b＝4，∴长方形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+4﹣b+4+4﹣a）＝2×（16﹣4）＝24，故答案为：24．31．已知：x+＝3，则x2+＝7．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝x2+2+＝9，∴x2+＝7，故答案为：7．32．现有3张正方形甲卡片、10张正方形乙卡片、6张长方形丙卡片，其边长（b＞a）如图所示．（1）要求用这三种卡片（每种卡片至少取一张）紧密拼接成一个大正方形，①若大正方形的边长为（a+b），则需取丙卡片2张；②大正方形的边长最长为（a+3b）（用含a，b的代数式表示）；（2）若用这三种卡片紧密拼接成一个面积为a2+nab+6b2的长方形，则满足条件的整数n的值为5．【答案】（1）①2；②（a+3b）；（2）5．【解答】解：（1）①大正方形的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．∴需要甲纸片1张，乙纸片1张，丙2张，故答案为：2；②∵a2+6ab+9b2＝（a+3b）2，∴大正方形的边长最长为（a+3b），故答案为：（a+3b）；（2）∵6b2＝b•6b＝2b•3b，∴n＝1+6＝7＞6（舍去）或n＝2+3＝5，故答案为：5．三．解答题（共10小题）33．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：．【答案】（1）B；（2）①7；②．【解答】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a﹣b），∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，∴（a+b）（a﹣b）＝21，即3（a+b）＝21，∴a+b＝7；②原式＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×＝×××××××＝＝．34．将两数和（差）的平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a﹣b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a﹣b＝3，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：（1）若x+y＝10，x2+y2＝56，求xy的值；（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．【答案】（1）22；（2）11．【解答】解：（1）∵x+y＝10，∴（x+y）2＝100，∴x2+2xy+y2＝100，∵x2+y2＝56，∴；（2）阴影部分的面积为：S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG＝＝＝＝＝，∵x+y＝8，xy＝14，∴．35．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1所以a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，则（4﹣x）2+（x﹣5）2＝17．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【答案】（1）12；（2）17；（3）4.5．【解答】解：（1）2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝24，∴xy＝12，（2）由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17；故答案为：17．（3）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝6，∴m+n＝6，又∵S1+S2＝18，∴m2+n2＝18，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴62＝18+2mn，∴mn＝9，∴S阴影部分＝0.5×mn＝0.5×9＝4.5，答：阴影部分的面积为4.5．36．如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．（1）利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出（a+b）2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）若m满足（2024﹣m）2+（m﹣2023）2＝4047，请利用（1）中的数量关系，求（2024﹣m）（m﹣2023）的值；（3）若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF＝8，NH＝32，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）﹣2023；（3）576．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab，（2）设2024﹣m＝a，m﹣2023＝b，则（2024﹣m）（m﹣2023）＝ab，a+b＝1，由已知得：a2+b2＝4047，（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴12＝4047+2ab，∴ab＝﹣2023，∴（2024﹣m）（m﹣2023）＝﹣2023；（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG＝x﹣8，NG＝32﹣x，∵S阴＝S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN，∴，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴．37．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：①长方形ABCD的面积；②S1﹣S2的值；（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S2﹣S1的值．【答案】（1）①510；②﹣48；（2）ab+30a﹣120b【解答】解：（1）①长方形ABCD的面积为30×（4×2+9）＝510；②S1﹣S2＝（30﹣9）×4×2﹣（30﹣3×2）×9＝﹣48；（2）S2﹣S1＝a（30﹣3b）﹣4b（30﹣a）＝30a﹣3ab﹣120b+4ab＝ab+30a﹣120b．38．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为a2+b2．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝90．（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．【答案】【教材原题】：（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】：a2+b2；【应用】（1）90；（2）（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5；【拓展】种草区域的面积和为12．【解答】解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2，故答案为：a2+b2；【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90，故答案为：90；（2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5，∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5；【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE，∴S△ADE＝AE2，S△BEC＝CE2，∵种花区域的面积和为，∴AE2+CE2＝25，∵AC＝7，∴AE•CE＝12，∴AE•BE＝DE•CE＝12，∴种草区域的面积和＝（AE•BE+DE•CE）＝12．39．阅读材料，回答问题．材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25．材料二：求31+32+33+34+35+36的值．解：设S＝31+32+33+34+35+36①则3S＝32+33+34+35+36+37②用②﹣①得，3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3所以2S＝37﹣3，即，所以．这种方法我们称为“错位相减法”．（1）填空：5×58＝5（9），a2•a5＝a（7）．（2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放263粒米．（用幂表示）②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．【答案】（1）59，a7；（2）①在第64格中应放263粒米，②S＝264﹣1．【解答】解：（1）由题意得，5×58＝59，a2•a5＝a7，故答案为：59，a7；（2）（2）①由题意得，第一格放的米粒数为1＝20；第二格放的米粒数为2＝21；第三格放的米粒数为4＝22；第四格放的米粒数为8＝23；……∴第n格放的米粒数为2n﹣1，∴在第64格中应放263粒米，②由题意得，S＝1+2+22+23+……+263，2S＝2+22+23+……+264，∴2S﹣S＝2